湖南省衡阳市耒阳市第一中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省衡阳市耒阳市第一中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共6题，每题3分，共18分）
1. 耒阳一中开设了劳动教育课程．小明从感兴趣“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由古典概型的概率公式求解即可.
【详解】小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，
共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4种可能的结果，
所以小明恰好选中“烹饪”的概率为.
故选：C
2. 每年的4月23日是“世界读书日”，某中学为了了解高一年级学生的读书情况，随机调查了60名学生的册数，统计数据如表所示，则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ）
A. 3，3B. 3，2C. 2，3D. 2，2
【答案】B
【解析】
【分析】利用众数，中位数的定义，即可得出答案．
【详解】∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2；
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据众数是3；
故B符合题意，
故选：B．
3. 如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍，那么这个多边形的边数为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】利用多边形内角和公式根据题意列方程求解即可
【详解】设这个多边形的边数为，
因为多边形的内角和是它外角和的4倍，
所以，解得，
故选：D
4. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点所在象限求出的取值范围可得答案.
【详解】因为点在第二象限，所以，
解得，
则的取值范围在数轴上表示正确的为C选项.
故选：C.
5. 如图，平行四边形中，点、分别是、的中点，交于点G，那么的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，根据三角形中位线，相似三角形及平行四边形性质得解.
【详解】解：连接，与相交于，

∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∴，
∴，∴，
∴，即为的中点，
∴，又，
∴．
故选：B．
6. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ）
A. B. 3C. D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，从而得到方程，求出的值，检验后得到答案.
【详解】由韦达定理得，
故，解得或，
当或时，均满足，
故的值是或3.
故选：D
二、多选题（本题共2小题，每题4分，共8分）
7. 二次函数的图象为下图，则下面结论中正确的是（ ）

A. B.
C D. 当时，或
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对称轴判断A；根据时的函数值符号判断B；根据该函数图象与轴有两个交点判断C；由点的坐标为，根据对称性求出A的坐标判断D.
【详解】因为二次函数的图象的对称轴为，所以，得，故A正确；
由图可知，当时，，故B正确；
由图可知，该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确；
因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，
所以点的坐标为，由图可知，当时，或，故D错误.
故选:ABC
8. 已知集合，则下列表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先求得集合，集合元素与集合的关系，集合与集合的关系，即可求解.
【详解】由方程，解得或，所以集合可表示为，所以C正确，
根据元素与集合的关系，可得，，所以A正确，B不正确，D不正确.
故选：AC.
三、填空题（共4题，每题3分，共12分）
9. 计算：________
【答案】
【解析】
【分析】从左到右依次计算开方、零次幂、绝对值，求出算式的值即可.
【详解】原式.
故答案为：.
10. 若关于x的分式方程无解，则m的值为________
【答案】或1
【解析】
【分析】解分式方程，再由方程无解的条件求出值.
【详解】由且，去分母得，整理得，
当，即时，方程无解；
当，即时，解得，
而原方程无解，即，解得，
所以m的值为或1.
故答案为：或1
11. 已知二元一次方程组，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】先解方程组得，再求即可.
【详解】因为，所以，
则，
故答案为：1.
12. 我们规定：若,则．例如,则．已知，当时，x值为________．
【答案】或2
【解析】
【分析】由定义的新运算，列方程解出即可.
【详解】，依题意有，
即，解得或.
故答案为：或2.
四、解答题
13. 分解因式：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由因式分解的相关知识求解即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
14. 如图，是的直径，过外一点P作的两条切线，切点分别为C，D，连接．求证：;
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】判断出是的垂直平分线，即可得出结论.
【详解】连接，则有，
是的两条切线，切点分别为C，D，则有，
且，易得，即，
所以直线是线段的垂直平分线，有.
15. 如图，在同一坐标系中，直线交x轴于点P，直线过点P．
（1）求a的值；
（2）点M、N分别在直线上，且关于原点对称，求点M、N的坐标
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）求出点的坐标，进而求出a的值.
（2）由直线的方程设出点的坐标，再结合对称性及直线的方程，求解即得.
【小问1详解】
在中，令，得，即点，
由直线过点P，得，所以.
【小问2详解】
由（1）知，直线，
设直线上的点，则点关于原点对称点，
由点在直线上，得，解得，
所以点，.
16. 抛物线交x轴于两点，交y轴于点，点Q为线段上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最小值；
（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与面积分别为，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）由抛物线交x轴于两点，设，将C0,-3代入，解出，即可求得抛物线的解析式；
（2）作点关于直线的对称点，连接，可得，由，可得，即求得的最小值；
（3）连接，过点作轴交于点，可求得直线的解析式为，由，则，则，设，则，则，则，即可求得点P坐标， S的最大值．
【小问1详解】
因为抛物线交x轴于两点，
设，将C0,-3代入，得，解得，
所以，
所以抛物线的解析式为.
【小问2详解】
作点关于直线的对称点，连接，
因为，
则垂直平分，垂直平分，
所以四边形是正方形，
所以，
在中，，
，
因为，
所以，
即点Q位于直线与交点时，有最小值.
【小问3详解】
如图2，连接，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
因为，C0,-3，
所以，解得，
所以直线的解析式为，
因为，所以，
因为记与面积分别为，设，
所以，
设，，则，
所以，
所以，
所以时，最大，
即时，有最大值.
【点睛】关键点点睛：小问（2），作点关于直线的对称点，可得四边形是正方形，进而得到坐标，再利两点间线段最短；小问（3），连接，过点作轴交于点，由，得，得，设出点P坐标，则可以表示成的二次函数，然后求二次函数的最值和取最值时的值，问题得到解决.
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1