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吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）
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1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )．
A. B. C. D.
3. 计算的结果是（ ）．
A. B. C. D.
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是（ ）
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形
6. 如图，电线杆AB的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆AB的长可表示为（ ）．
A. 米B. 米
C. 米D. 米
7. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）．
A. B.
C D.
8. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点D，过点A作轴与反比例函数的图像相交于点C，若，则k的值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分）
9 因式分解：______．
10. 一元二次方程的根的判别式的值为______.
11. 如图，在中，、、分别是、、中点，若的面积是，则________．
12. 如图，在中,．若的垂直平分线分别交于点点，则_________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，的两点的坐标分别为、，将线段AB绕某点旋转得到线段CD．若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______．
14. 在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则______．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率．
17. 在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？
18. 如图，在矩形中，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，四边形的面积为__________．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，__________．
（2）如图②，在上找一点，使．
（3）如图③，在上找一点，连接，使∽．
20. 某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了50名学生，调查了这些学生某一个周末家务劳动时长（单位：分钟）的数据，并对数据（保留整数）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
a.学生家务劳动时长的数据在这一组的具体数据如下：
72 72 73 74 74 75 75 75 75 75 75 76 76 76 77 77 78 79
b.学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）学生家务劳动时长的数据的中位数为__________；
（3）若该校九年级有学生500人，估计该校九年级学生周末家务劳动时长至少90分钟有_______人.
21. 已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．
（1）分别计算客车从甲地开往乙地的速度及货车的速度；
（2）求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？
22. 在九年级上册第章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】小明想了两种证明定理的方法：
（）延长DE至点，使，连接CF．
（）过点作AB的平行线交DE的延长线于点．请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理．
【定理应用】如图②，在中，延长到，使，取AB的中点，连接交于点，求的值．
【能力提升】如图③，在中，点在上，且，点分别是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．若，，，则的面积为__________．
23. 如图，在中，，，，是的中点、动点从点出发，沿向终点以每秒个单位长度的速度匀速运动，作，交直线于点，设点的运动时间为秒．
（1）求的长．
（2）__________．
（3）若的面积被的一条边平分时，求的值．
（4）当以为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点在该抛物线上，点横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标．
（3）当点在矩形的内部时，求的取值范围．
（4）当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值．
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )．
A. B. C. D.
3. 计算的结果是（ ）．
A. B. C. D.
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是（ ）
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形
6. 如图，电线杆AB的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆AB的长可表示为（ ）．
A. 米B. 米
C. 米D. 米
7. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）．
A. B.
C D.
8. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点D，过点A作轴与反比例函数的图像相交于点C，若，则k的值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分）
9 因式分解：______．
10. 一元二次方程的根的判别式的值为______.
11. 如图，在中，、、分别是、、中点，若的面积是，则________．
12. 如图，在中,．若的垂直平分线分别交于点点，则_________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，的两点的坐标分别为、，将线段AB绕某点旋转得到线段CD．若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______．
14. 在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则______．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率．
17. 在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？
18. 如图，在矩形中，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，四边形的面积为__________．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，__________．
（2）如图②，在上找一点，使．
（3）如图③，在上找一点，连接，使∽．
20. 某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了50名学生，调查了这些学生某一个周末家务劳动时长（单位：分钟）的数据，并对数据（保留整数）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
a.学生家务劳动时长的数据在这一组的具体数据如下：
72 72 73 74 74 75 75 75 75 75 75 76 76 76 77 77 78 79
b.学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）学生家务劳动时长的数据的中位数为__________；
（3）若该校九年级有学生500人，估计该校九年级学生周末家务劳动时长至少90分钟有_______人.
21. 已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．
（1）分别计算客车从甲地开往乙地的速度及货车的速度；
（2）求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？
22. 在九年级上册第章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】小明想了两种证明定理的方法：
（）延长DE至点，使，连接CF．
（）过点作AB的平行线交DE的延长线于点．请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理．
【定理应用】如图②，在中，延长到，使，取AB的中点，连接交于点，求的值．
【能力提升】如图③，在中，点在上，且，点分别是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．若，，，则的面积为__________．
23. 如图，在中，，，，是的中点、动点从点出发，沿向终点以每秒个单位长度的速度匀速运动，作，交直线于点，设点的运动时间为秒．
（1）求的长．
（2）__________．
（3）若的面积被的一条边平分时，求的值．
（4）当以为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点在该抛物线上，点横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标．
（3）当点在矩形的内部时，求的取值范围．
（4）当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值．
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