吉林省长春市吉林省实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷包括三道大题，共6页，满分120分，考试时间为120分钟．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是（ ）
A. -3B. -2C. 0D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】根据0大于负数，小于正数，可得0在﹣1和2之间，故选C．
2. 共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保．2019年全国共享单车投放数量达23 000 000辆．将23 000 000用科学记数法表示为( )
A 23×106B. 2.3×107C. 2.3×106D. 0.23×108
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：23 000 000=2.3×107．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 不等式的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式的解集，然后根据解集选择合适的数轴表示即可．
【详解】解：
故选B
【点睛】本题考查了不等式的解法，以及解集的表示方法，正确解不等式是解题关键．
4. 自从学校开展双减工作，很大的减轻了学生的作业负担，同学们有了更多的时间进行课外活动，增强体质，王同学利用“落实双减政策”做了一个正方体展开图，那么在原正方体中，与“减”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 策B. 实C. 落D. 双
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据同行隔一个，确定相对面即可．
【详解】解：由图可知：与“减”字所在面相对的面上的汉字是“策”；
故选A．
5. 在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题．
【详解】解：，在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，
只需要做线段的垂直平分线即可，
A、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
B、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意；
C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，的弦、交于点E．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形外角的性质得到，由圆周角定理得到，即可得到的度数．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴
∵，，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截是一个轴对称图形，其示意图如图2，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于点F，根据等腰三角形的性质可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题
【详解】作于点F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
8. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C、点D在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为（ ）

A. 3B. C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】作轴于F，先证明四边形是矩形，根据平行四边形的性质得到，再根据矩形与平行四边形面积相等即可求出进而求解．
【详解】解：作轴于F，如下图所示：
平行四边形中，，
∵轴，
∴轴，
∵轴，轴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点A在第一象限，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数中k的几何意义：过反比例函数上任一点作x轴和y轴的垂线，则两个垂足、原点及该点所围成的矩形面积等于反比例函数的．得出，是解答本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
11. 我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：9×人数－11=6×人数+16，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设有人共同买鸡，根据题意得：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】过点作于，交于，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13. 如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是________（结果保留）

【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即，再根据圆的基本概念，得出，再根据弧长公式，计算即可．
【详解】解：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵是的直径，，
∴，
∴的长度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、弧长公式，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
14. 如图，小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器和淋浴喷头所成角，其中，．刚开始时，，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，抛物线开口方向、形状、大小不变，落地点和点O的距离变为，则小刚应把升降器向上平移__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，再用待定系数法求出平移前抛物线的解析式，设升降器向上平移，则平移后的抛物线解析式为，把点代入求解，即可解题．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
抛物线落地点D和点O相距，
，
设抛物线解析式为，
，
解得：，
升降器平移前抛物线解析式为，
设升降器向上平移，则有，
落地点和点O的距离变为，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的平移规律，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
三、解答题（共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，0
【解析】
【分析】先根据整式运算法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
，
将代入，
原式
【点睛】本题考查了整式化简求值，解题关键是熟练掌握乘法公式和整式运算．
16. 王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？
【答案】50
【解析】
【分析】设原计划每小时检修管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数﹣实际完成的天数=2，根据这个关系列出方程求解即可．
【详解】解：设原计划每小时检修管道x米．
由题意，得．
解得x=50．
经检验，x=50是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每小时检修管道50米．
17. 某校初三年级共有3名市级三好学生，其中2名男生，1名女生，想从中随机选取两人参加市里举办的“红色文化研学”活动，请利用画树状图或列表法，求选中一男一女参加活动的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列表，然后由表格中情况得到所有等可能的结果与选中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式求解，即可解题．
【详解】解：根据题意列表如下：
由表格可知，总的情况有种，其中一男一女参加活动的情况有种，
选中一男一女参加活动的概率是．
18. 国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的学生人数为__________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有900名学生，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生共多少名？
【答案】（1）
（2）补全条形统计图见解析
（3）该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生有名
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、利用样本估计总体，画条形统计图，熟练利用样本评估总体的方法是解题的关键．
（1）根据调查结果中关注类学生有人，占扇形图的，即可求得此次调查中接受调查的学生人数；
（2）由（1）和条形统计图可求得调查结果中非常关注类学生人数，再补全条形统计图即可；
（3）先求出样本中“关注”，“比较关注”及“非常关注”类学生占比，再乘以学生总数即可．
【小问1详解】
解：由图可知：调查结果中关注类学生有人，占扇形图的，
故此次调查中接受调查的学生人数为名，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（1）和条形统计图可得：调查结果中非常关注类学生有（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：由条形统计图可得：调查结果中“关注”，“比较关注”及“非常关注”类学生占比为：，
该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生有名．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中的边上找一点D，连结，使得的面积等于面积的；
（2）在图②中的边上找一点E，连结，使得的面积等于面积的；
（3）在图③中的的内部找一点F，连结、、，使得、和的面积相等．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据使得面积等于面积的，可知为的中线，即点D为边中点，利用网格特点找出点，连接BD即可；
（2）仿照（1）的方法，利用网格线与三角形各边的交点找到三边的中点，记中点分别为、、，连接，，相交于点，再作，交于点E，根据三角形中线的性质，可得到点使得、和的面积相等，即，再根据平行线性质得到，即可解题．
（3）根据（2）中方法作出点F即可，
【小问1详解】
解：所作边上点D、线段，如下图所示：
【小问2详解】
解：所作点E，如下图所示：
理由：为的中线，
，
为的中线，
，
，
，
同理可证，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：点F为三边中线的交点，如下图所示：
【点睛】本题考查了网络线与三角形各边交点寻找线段中点的方法，三角形中线性质，平行线性质，三角形面积计算，解题的关键是能综合运用这些知识点．
20. 如图，菱形中，相交于点O，过点B作，且，连结．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）连接，若，则的值是___________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由锐角三角函数得设，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
21. 从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小冲出发x h后，到达离乙地的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．
（1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；
（2）分别求线段所对应的函数关系式；
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为，求丙地与甲地之间的路程．
【答案】（1）15km/h，0.1h；（2），；（3）1千米
【解析】
【分析】（1）先计算出小明骑车上坡的速度，再根据骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km/h求出小明平路上的速度；求出小明下坡的速度，平路上所用的时间，下坡所用的时间，那么小明在乙地休息的时间=1h-小明上坡所用的时间0.2h-平路上所用的时间-下坡所用的时间；
（2）根据上坡的速度为km/h，下坡的速度为km/h，所以线段所对应的函数关系式为：，线段所对应的函数关系式为，即可解答；
（3）设小明出发小时第一次经过丙地，根据题意得到，求出的值，即可解答．
【详解】解：（1）小冲骑车上坡的速度为：km/h，
平路上的速度为：km/h；
下坡的速度为：km/h，
平路上所用的时间为：h，
下坡所用的时间为：h，
所以小冲在乙地休息了：h；
（2）由题意可知：上坡的速度为km/h，下坡的速度为km/h，
所以线段所对应的函数关系式为：，
即．
线段所对应的函数关系式为．
即；
（3）由题意可知：小冲第一次经过丙地在段，第二次经过丙地在段，
设小冲出发小时第一次经过丙地，则小冲出发后小时第二次经过丙地，
，
解得：．
（千米）．
答：丙地与甲地之间的距离为1千米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，行程问题数量关系的运用，一次函数解析式的确定，一元一次方程的运用．解决本题的关键是读懂函数图象，求出一次函数的解析式．
22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容．
（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则______．
（3）【拓展提升】如图③，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则______．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）2．
【解析】
【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明，即可证明；
（2）连接，在中求出，再由中位线的性质求即可；
（3）在中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出，再由中位线性质求，即可求．
【小问1详解】
证明∶∵点、分别是与的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如下图，连接，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵是的中点，，
∴，
，，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为∶；
【小问3详解】
解∶∵，点，分别是，的中点，
∴，
∵，点是的中点，，
∴，
∴，
故答案为∶2．
【点睛】本题考查了三角形中位线的的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握中位线的定义及性质、三角形相似的判定及性质是解题的关键．
23. 如图在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动．过点P作交射线于点Q，以为边向左侧作矩形，使，点P的运动时间为．
（1）当点Q在边上时，求的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点M在边上时，求t的值；
（3）当点D是边中点时，连结，当矩形的对角线交点O落在上时，则t的值__________；
（4）连接，沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）
（3）1 （4）的值为或或
【解析】
【分析】（1）由题意可知：，再根据特殊角的锐角三角函数即可求出，结合题意即得出；
（2）画出图形，由矩形的性质得出．再根据特殊角的锐角三角函数可求出，由，列出关于的等式，解出即可；
（3）首先求得，利用推导出，然后利用相似三角形的性质得到，代入数据解答即可；
（4）分类讨论：①当点在点左侧时，根据题意可判断，证，得出，最后列出关于的等式，解出即可；②当点和点重合时，即得出，列出关于的等式，解出即可；③当点在点右侧时，根据题意可判断，从而可求出，最后根据，列出关于的等式，解出即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图1，
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
【小问3详解】
解：如图2，当点是边中点时，连结，当矩形的对角线交点落在上时，点只能在上，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：1；
【小问4详解】
解：①如图3，当点在点左侧时，
∵沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，
，
又，
，
，
，
，
解得：；
②如图4，当点和点重合时，此时，点与点重合，
，
，
，
解得：；
③如图5，
当点在点右侧时，此时，点在的延长线上，
∵沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，
，
，
，
，
，
，
解得：．
综上可知，的值为或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，分类讨论的思想方法，此题是动点问题，利用含的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）当点在此抛物线上，且抛物线在时，y随x的增大而减小，则m的值是__________；
（3）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
①当点A在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值；
②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转后得到线段，连结，当和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）①②或
【解析】
【分析】（1）根据函数对称轴计算公式可求出b，根据与轴交点可求出c，据此可得答案；
（2）把点代入得，解得，，然后根据时，随的增大而减小，所以，即可得求解．
（3）①先求出抛物线与x轴的交点坐标为，再求出顶点坐标，然后分当时，图象的最高点，图象的最低点为，当时， 则，此时最高点为A，最低点为B，当时，则，此时最高点为B，最低点为A，三种情况讨论求解即可；
②分点在点的上方和下方，两种情况，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，
∴，
∴．
∵抛物线（常数）与轴交点坐标为
∴．
∴此抛物线对应的函数表达式为．
【小问2详解】
解：∵，，对称轴为直线，
∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而减小，
∵点在此抛物线上，
∴，
解得，．
∵时，随的增大而减小，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：①令，则，
解得：，，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，
∵
∴抛物线线顶点坐标为，
∵点在轴上方，
当时，图象的最高点，图象的最低点为，
∴，
解得或（舍去）；
当时， 则，此时最高点为A，最低点为B，不满足图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6；
当时，则，此时点在点左侧，不符合题意；
综上所述，；
②由题意，得：，，且，即：，
当点E在点D上方时，即，，如图，
当点与点重合时，则，
解得：，（舍去），
点与点重合时，则，
解得：，（舍去）；
∴当时，和图象G有公共点；
当点E在点D下方时，即：，则：，如图，
∵线段绕点D逆时针旋转后得到线段，
∴，
∴F坐标为，
把代入，得
，
解得：，（舍去），
当点在线段上时，，
解得：，（舍去）；
∴当和图象有公共点时，．
综上，当和抛物线有公共点时， 的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，抛物线图象与线段交点问题，熟练掌握抛物线图象与性质是解题的关键，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
男
男
女
男
男男
男女
男
男男
男女
女
男女
男女
猜想：如图，在中，点、分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且
对此，我们可以用演绎推理给出证明．