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吉林省吉林市第七中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份吉林省吉林市第七中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含吉林省吉林市第七中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题原卷版docx、吉林省吉林市第七中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
本试卷共6页，满分120，答题时间：120分钟
一、选择题（每题2分，共12分）
1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 1，1，C. 6，8，11D. 5，12，23
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定三角形的形状．根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和，与较大边的平方相等时，该三角形是直角三角形，否则不是，据此解答，即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B
2. 下列二次根式，为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键．
4. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（ ）
A. 8B. 15C. 10D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解．
【详解】∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴为等边三角形，
∴
故选：D．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．
6. 如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点，．若，则的值是（ ）
A. 50B. 64C. 100D. 121
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理的运用，依据平行四边形的性质以及角平分线的定义即可得到， 和CE的长，进而得出的长；最后根据勾股定理进行计算即可得到结果．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
同理可得，，
，
，
，
又和平分线交于点，
，
，
中，，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共24分）
7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本体考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零，是解题的关键．
8. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是______．
【答案】丁
【解析】
【分析】本题考查方差的定义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：，，，
，由此可得成绩最稳定的为丁．
故答案为：丁．
9. 如图，已知一次函数和正比例函数的图象交于点，则关于x的一元一次方程的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】当时，的函数图象与的函数图像相交，从而可得到方程的解．
【详解】解：一次函数和正比例函数的图象交于点，
当时，，
方程的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图像求解，解题的关键是数形结合．
10. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．
【答案】9．
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
11. 若函数是正比例函数，则=_______.
【答案】-2
【解析】
【分析】根据形如y=kx（k≠0）是正比例函数，可得答案．
【详解】解：函数是正比例函数，
解得：，
可得：m=-2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握概念是解题的关键．
12. 将直线向上平移两个单位长度后，得到的直线解析式是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，
将直线y=3x-1向上平移2个单位长度，得到的一次函数解析式为y=3x-1+2，即y=3x+1．
故答案为y=3x+1．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．
13. 如图，在中，、分别为、边的中点，若，则边的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查中位线的性质．根据“三角形中位线平行且等于底边的一半”求解即可．
【详解】解：∵点、分别为、边的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：4．
14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
【答案】3或
【解析】
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
三、解答题（每题5分，共20分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可．
【详解】解：
．
16. 解一元二次方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查用公式法求一元二次方程的解．利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a、b及c的值，然后当时，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴原方程的解为．
17. 如图，长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：；
即：，
∴的面积为．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，以及勾股定理是解题的关键．
18. 在的网格中有线段，在网格线的交点上找一点C，使三角形满足如下条件．（仅用直尺作图）
（1）在图1中作一个等腰三角形；
（2）在图2中作一个直角三角形，使两直角边的长为无理数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形，即可求解；
（2）根据勾股定理以及逆定理画出图形，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1所示，（或）即所求．
理由：根据作法得：，
∴和是等腰三角形；
【小问2详解】
解：如图2所示，（或）即为所求．
理由：根据作法得：，
∵，
∴，
∴和直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，勾股定理以及逆定理，熟练掌握等腰三角形，勾股定理以及逆定理是解题的关键．
四、解答题（每题7分，共28分）
19. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，对这组数据进行整理和分析，结果如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳172次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
【答案】（1）175；170
（2）估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀；
（3）该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查众数、中位数以及用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）用总人数乘样本中1分钟跳绳175次及以上所占比例即可；
（3）根据中位数的意义解答即可．
【小问1详解】
解：在被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，175出现的次数最多，故众数；
把被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是168，172，
故中位数．
故答案为：175；170；
【小问2详解】
解：（名，
答：估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀；
【小问3详解】
解：，
该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，求此时方程的根．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的方程，则可求得的取值范围；
（2）将代入方程求解即可．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得；
【小问2详解】
解：当时，方程为，
即，
，，
解得，．
21. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，
得：，
解得：，（舍），
∴两年该县投入教育经费的年平均增长率为．
22. 如图，有两个全等矩形纸条，长与宽分别是18和12，按如图所示的方式交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）156
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
（1）由矩形和矩形是全等矩形，可得，，，，即可证明四边形是平行四边形，证明，可得，由此证明四边形是菱形；
（2）设菱形的边长为，则，，，利用勾股定理可得，求得，利用四边形的面积为：，即可求解．
【小问1详解】
证明： 矩形和矩形是全等矩形，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形．
【小问2详解】
解：设菱形的边长为，
则，，，
在中，利用勾股定理得，即，
解得，
四边形的面积为：．
五、解答题（每题8分，共16分）
23. 为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）100元，50元．
（2）A，B两种纪念品各50件，150件时，利润最大，最大利润为7500元．
【解析】
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解；
（2）根据题意列一元一次不等式求解；建立变量利润与商品A数量的函数解析式，根据一次函数性质求解．
【小问1详解】
设购进A，B两种纪念品每件各需x元，y元，则
，
解得，，
答：购进A，B两种纪念品每件各需100元，50元．
【小问2详解】
设购进纪念品A件数为m（），销售两种商品的利润为w，则
，解得，即，
，
∴当时，w取最大值，最大值，
，
答：当购进A，B两种纪念品各50件，150件时，利润最大，最大利润为7500元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质；根据题意确定等量关系、不等关系、变量间关系是解题的关键．
24. 随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【答案】（1），
（2）出入园8次时，两者花费一样，费用为元
（3）洋洋爸准备了240元，乙消费卡更合适
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）根据图象和点坐标可得结论．
【小问1详解】
解：（1）设
根据题意得，解得，
∴；
设，
根据题意得：，
解得，
∴；
【小问2详解】
解方程组
，
解得：，
∴点坐标；
即出入园8次时，两者花费一样，费用为元，
【小问3详解】
洋洋爸准备了240元，
根据图象和（2）的结论可知：当时，乙消费卡更合适．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，
六、解答题（每题10分，共20分）
25. 实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为0,3，直线与直线相交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式；
（2）若点是轴上一点，且的面积是面积的，求点的坐标；
（3）在轴右侧是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，利用三角形的面积公式结合，可求出的长，进而可得出点的坐标；
（3）设点的坐标为，分为对角线、为对角线及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，解得：，
点的坐标为．
，即，
，
点的坐标为或；
【小问3详解】
解：设点的坐标为，分三种情况考虑（如图2）
①当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为；
②当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为（不合题意）；
③当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为．
综上所述：平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）利用两三角形面积间的关系，求出的长；（3）分为对角线、为对角线及为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点的坐标．
26. 如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，连接，．设的面积为（这里规定：线段是面积0的几何图形），点的运动时间为．
（1）填空：______cm，与之间的距离为______cm；
（2）在点运动过程中，求与之间的函数解析式．
【答案】（1）6，
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据菱形的性质求得、，再利用根据勾股定理即可求得；然后再根据菱形的性质和面积公式求得与之间的距离即可；
（2）当时，在点运动过程中，分点在线段上和点在线段上两种情况分别解答即可．
【小问1详解】
解：菱形中，，，
，
，
设与间的距离为，
的面积，
又的面积，
，即，
解得：．
故答案：6，；
【小问2详解】
解：①如图：当点在线段上，即时，
四边形是菱形，
，，
，
；
②如图：当点在线段上，即时，
菱形，
，
，
，
，
，
；
综上，与之间的函数解析式．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、求函数关系式等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
平均数
众数
中位数
160
a
b
本试卷共6页，满分120，答题时间：120分钟
一、选择题（每题2分，共12分）
1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 1，1，C. 6，8，11D. 5，12，23
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定三角形的形状．根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和，与较大边的平方相等时，该三角形是直角三角形，否则不是，据此解答，即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B
2. 下列二次根式，为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键．
4. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（ ）
A. 8B. 15C. 10D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解．
【详解】∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴为等边三角形，
∴
故选：D．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．
6. 如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点，．若，则的值是（ ）
A. 50B. 64C. 100D. 121
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理的运用，依据平行四边形的性质以及角平分线的定义即可得到， 和CE的长，进而得出的长；最后根据勾股定理进行计算即可得到结果．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
同理可得，，
，
，
，
又和平分线交于点，
，
，
中，，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共24分）
7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本体考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零，是解题的关键．
8. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是______．
【答案】丁
【解析】
【分析】本题考查方差的定义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：，，，
，由此可得成绩最稳定的为丁．
故答案为：丁．
9. 如图，已知一次函数和正比例函数的图象交于点，则关于x的一元一次方程的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】当时，的函数图象与的函数图像相交，从而可得到方程的解．
【详解】解：一次函数和正比例函数的图象交于点，
当时，，
方程的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图像求解，解题的关键是数形结合．
10. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．
【答案】9．
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
11. 若函数是正比例函数，则=_______.
【答案】-2
【解析】
【分析】根据形如y=kx（k≠0）是正比例函数，可得答案．
【详解】解：函数是正比例函数，
解得：，
可得：m=-2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握概念是解题的关键．
12. 将直线向上平移两个单位长度后，得到的直线解析式是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，
将直线y=3x-1向上平移2个单位长度，得到的一次函数解析式为y=3x-1+2，即y=3x+1．
故答案为y=3x+1．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．
13. 如图，在中，、分别为、边的中点，若，则边的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查中位线的性质．根据“三角形中位线平行且等于底边的一半”求解即可．
【详解】解：∵点、分别为、边的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：4．
14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
【答案】3或
【解析】
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
三、解答题（每题5分，共20分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可．
【详解】解：
．
16. 解一元二次方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查用公式法求一元二次方程的解．利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a、b及c的值，然后当时，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴原方程的解为．
17. 如图，长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：；
即：，
∴的面积为．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，以及勾股定理是解题的关键．
18. 在的网格中有线段，在网格线的交点上找一点C，使三角形满足如下条件．（仅用直尺作图）
（1）在图1中作一个等腰三角形；
（2）在图2中作一个直角三角形，使两直角边的长为无理数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形，即可求解；
（2）根据勾股定理以及逆定理画出图形，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1所示，（或）即所求．
理由：根据作法得：，
∴和是等腰三角形；
【小问2详解】
解：如图2所示，（或）即为所求．
理由：根据作法得：，
∵，
∴，
∴和直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，勾股定理以及逆定理，熟练掌握等腰三角形，勾股定理以及逆定理是解题的关键．
四、解答题（每题7分，共28分）
19. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，对这组数据进行整理和分析，结果如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳172次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
【答案】（1）175；170
（2）估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀；
（3）该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查众数、中位数以及用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）用总人数乘样本中1分钟跳绳175次及以上所占比例即可；
（3）根据中位数的意义解答即可．
【小问1详解】
解：在被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，175出现的次数最多，故众数；
把被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是168，172，
故中位数．
故答案为：175；170；
【小问2详解】
解：（名，
答：估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀；
【小问3详解】
解：，
该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，求此时方程的根．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的方程，则可求得的取值范围；
（2）将代入方程求解即可．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得；
【小问2详解】
解：当时，方程为，
即，
，，
解得，．
21. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，
得：，
解得：，（舍），
∴两年该县投入教育经费的年平均增长率为．
22. 如图，有两个全等矩形纸条，长与宽分别是18和12，按如图所示的方式交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）156
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
（1）由矩形和矩形是全等矩形，可得，，，，即可证明四边形是平行四边形，证明，可得，由此证明四边形是菱形；
（2）设菱形的边长为，则，，，利用勾股定理可得，求得，利用四边形的面积为：，即可求解．
【小问1详解】
证明： 矩形和矩形是全等矩形，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形．
【小问2详解】
解：设菱形的边长为，
则，，，
在中，利用勾股定理得，即，
解得，
四边形的面积为：．
五、解答题（每题8分，共16分）
23. 为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）100元，50元．
（2）A，B两种纪念品各50件，150件时，利润最大，最大利润为7500元．
【解析】
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解；
（2）根据题意列一元一次不等式求解；建立变量利润与商品A数量的函数解析式，根据一次函数性质求解．
【小问1详解】
设购进A，B两种纪念品每件各需x元，y元，则
，
解得，，
答：购进A，B两种纪念品每件各需100元，50元．
【小问2详解】
设购进纪念品A件数为m（），销售两种商品的利润为w，则
，解得，即，
，
∴当时，w取最大值，最大值，
，
答：当购进A，B两种纪念品各50件，150件时，利润最大，最大利润为7500元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质；根据题意确定等量关系、不等关系、变量间关系是解题的关键．
24. 随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【答案】（1），
（2）出入园8次时，两者花费一样，费用为元
（3）洋洋爸准备了240元，乙消费卡更合适
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）根据图象和点坐标可得结论．
【小问1详解】
解：（1）设
根据题意得，解得，
∴；
设，
根据题意得：，
解得，
∴；
【小问2详解】
解方程组
，
解得：，
∴点坐标；
即出入园8次时，两者花费一样，费用为元，
【小问3详解】
洋洋爸准备了240元，
根据图象和（2）的结论可知：当时，乙消费卡更合适．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，
六、解答题（每题10分，共20分）
25. 实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为0,3，直线与直线相交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式；
（2）若点是轴上一点，且的面积是面积的，求点的坐标；
（3）在轴右侧是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，利用三角形的面积公式结合，可求出的长，进而可得出点的坐标；
（3）设点的坐标为，分为对角线、为对角线及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，解得：，
点的坐标为．
，即，
，
点的坐标为或；
【小问3详解】
解：设点的坐标为，分三种情况考虑（如图2）
①当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为；
②当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为（不合题意）；
③当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为．
综上所述：平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）利用两三角形面积间的关系，求出的长；（3）分为对角线、为对角线及为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点的坐标．
26. 如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，连接，．设的面积为（这里规定：线段是面积0的几何图形），点的运动时间为．
（1）填空：______cm，与之间的距离为______cm；
（2）在点运动过程中，求与之间的函数解析式．
【答案】（1）6，
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据菱形的性质求得、，再利用根据勾股定理即可求得；然后再根据菱形的性质和面积公式求得与之间的距离即可；
（2）当时，在点运动过程中，分点在线段上和点在线段上两种情况分别解答即可．
【小问1详解】
解：菱形中，，，
，
，
设与间的距离为，
的面积，
又的面积，
，即，
解得：．
故答案：6，；
【小问2详解】
解：①如图：当点在线段上，即时，
四边形是菱形，
，，
，
；
②如图：当点在线段上，即时，
菱形，
，
，
，
，
，
；
综上，与之间的函数解析式．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、求函数关系式等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
平均数
众数
中位数
160
a
b
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