内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗第六中学2024-2025学年九年级上学期开学模底测试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知，则的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶次幂及算术平方根的非负性求出x、y的值，然后代入求解即可．
【详解】解：，
，
解得，
；
故选C．
【点睛】本题主要考查偶次幂、算术平方根的非负性及二元一次方程组，熟练掌握偶次幂、算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法是解题的关键．
2. 如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（ ）
A. S1=S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】解：在Rt△ABC中，
∴AB2=AC2+BC2，
又∵半圆的面积为：S=πR2，
∴S1=π(，
S2=π(+π(
=π()
=π(，
∴S1=S2，
故选A．
3. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答的关键．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
B、符合一元二次方程的定义，本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意．
故选：B．
4. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答的关键．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
B、符合一元二次方程的定义，本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意．
故选：B．
5. 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为( )
A. B. 4C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，可求出AB的长，从而得出结果．
【详解】解：设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
6. 在实数范围内，下列判断正确的是（ ）
A. 若，则m=nB. 若，则a＞b
C. 若，则a=bD. 若，则a=b
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的基本性质，逐个分析即可．
【详解】A、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；
B、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；
C、两个数可能互为相反数，如a=-3，b=3，故选项错误；
D、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．
故选：D．
【点睛】考本题考查了实数的性质，理解算术平方根和立方根性质是关键．
7. 如图，边长为1的正方形绕点A顺时针旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质和正方形的性质得出，，利用证明，得出，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，根据即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵边长为1的正方形绕点A顺时针旋转到的位置，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，即，
∵中，，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键．
8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且，
即k的取值范围是且．
故选：D
9. 如图，两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．
【详解】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得，中，，，中，，，不符合；
B、由图可得，中，，，中，，，不符合；
C、由图可得，中，，，中，，，不符合；
D、由图可得，中，，，中，，，符合；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象问题，解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．
10. 如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A. k≤B. kC. kD. k
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：关于的一元二次方程有两个实数根,
解得：
故选A.
二、填空题 （每题3分，共30分）
11. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义可得：，解得：．
故答案是：．
12. 一元二次方程的一般形式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先把一元二次方程的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．
【详解】解：∵一元二次方程可化为，
∴化为一元二次方程一般形式为．
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
13. m，n分别是的整数部分和小数部分，则2m-n=______．
【答案】
【解析】
【分析】先估算出的大致范围，然后可求得-1的整数部分和小数部分，从而可得到m、n的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
∴0＜-1＜1．
∴m=0，n=-1．
∴2m-n=0-（-1）=1-．
故答案为：
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的大致范围是解题的关键．
14. 方程的解是____．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．
把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
，
，
或，
解得：．
故答案为：，．
15. 已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________．
【答案】3和5或3和5．
【解析】
【分析】设出两个连续奇数，根据两个连续奇数的积是15这一等量关系，列出方程解答即可．
【详解】解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），
由题意得，x（x+2）=15，
解得，x=3或x=5，
两个数为：3和5或3和5；
故答案为：3和5或3和5；
【点睛】本题属于列一元二次解应用题中的数字类问题，此类题目易根据等量关系列出方程，解决此类题目的关键是设未知数一定准确，答案不能漏解．
16. 已知，则的值等于_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可得，，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴， ，
解得：，，
∴．
故答案为：3
17. 若最简二次根式和是同类二次根式，则m=_____．
【答案】7．
【解析】
【分析】由最简二次根式的定义可得3m+1=8+2m，解出m即可.
【详解】由题意得：3m+1=8+2m，解得：m=7.
故答案为7.
【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义.
18. 点A(x1，y1)、B(x2，y2)在一次函数y=-2x+b的图象上，若x1＜x2，则y1______y2(填“＜”或“＞”或“=”)．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据一次函数图象的增减性进行答题．
【详解】解：∵一次函数y=-2x+b中的x的系数-2＜0，
∴该一次函数图象是y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2时，y1＞y2
故答案是：＞．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的左边特征．此题也可以把点A、B的坐标代入函数解析式，求得相应的y的值，然后再比较大小．
19. 如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面米，要使梯子顶端离地面米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米．
【答案】
【解析】
【分析】如图，先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理求出CE的长，根据BE=BC-CE即可得答案.
【详解】如图，AB=DE=10，AC=6，DC=8，∠C =90°，
∴BC==8，
CE==6，
∴BE=BC-CE=2（米），
故答案为2.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
20. 如图所示，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB＝2，则PP′＝_______.
【答案】
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°．∵△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，∴∠PBP′=∠ABC=90°，PB=P′B=2，∴△PBP′为等腰直角三角形，∴PP′=2PB=．
故答案为．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等腰直角三角形性质．
三、解答题（40分）
21. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【小问1详解】
∴
解得，；
【小问2详解】
∴或
解得，．
22. 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来．
(1)
(2)
【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】（1）分别解两个不等式，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，再将不等式组的解集在数轴上表示出来即可，
（2）分别解两个不等式，找出两个解集公共部分，即为不等式组的解集，再将不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：（1）解不等式2x-6＜3x得：x＞-6，
解不等式得：x≤13，
∴不等式组的解集为：，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
（2）解不等式，
解得：x，
解不等式5x-1＜3（x+1），
解得：x＜2，
即不等式组的解集为：，
不等组的解集在数轴上表示如下：
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
23. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形是平行四边形，可证，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．
【详解】证明：∵四边形平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
24. 一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌面上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长与宽．
【答案】台布的长为8米，宽为6米．
【解析】
【详解】设垂下的长度为x．根据矩形的性质列出等式求出x的长后易求台布的长．
解：设垂下的长度为x，那么（6+2x）×（4+2x）=2×6×4，解得x=-6或1，
根据实际意义得x=1，那么6+2x=8，4+2x=6．故长为8米，宽为6米．
故答案为长是8m,宽为6m．