2022年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2022年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学模拟试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了的相反数是，若点A，若关于x的一元二次方程，因式分解等内容，欢迎下载使用。

1．的相反数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
2．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜5
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
6．一次函数y＝kx+b的图象如图，当x＜0时，y的取值范围是（ ）
A．y＞0B．y＜0C．﹣1＜y＜0D．y＜﹣1
7．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH＝DH≠ADB．AH＝DH＝ADC．AH＝AD≠DHD．AH≠DH≠AD
二．填空题（满分21分，每小题3分）
8．某天银川市的最低温度是﹣2℃，最高温度是13℃，这一天的温差是________℃．
9．在函数中，自变量x的取值范围是________．
10．因式分解：9a2﹣12a+4＝____________．
11．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为_________cm．
12．如图，A.B两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是_____
13．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，重复上述过程，经过10次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的_______倍．
14．已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆柱的侧面展开图的面积为_______cm2．
三．解答题（共6小题，满分58分）
15．（8分）已知y是x的反比例函数，且当x＝﹣2时，y＝．
（1）求这个反比例函数解析式；
（2）分别求当x＝3和x＝﹣时函数y的值．
16．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）
17．（10分）已知关于x的方程：（2+k）x2+2kx+（k+1）＝0．
（1）如果此方程只有一个实数根，求k的值；
（2）如果此方程有两个实数根，求k的取值范围；
（3）如果此方程无实数根，求k的取值范围．
18．（10分）在南京地铁二号线某路段铺轨工程中，先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天．请你根据以上信息，就“工作量”或“工作时间”，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
19．（10分）已知，如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝60°，AE交⊙O于点B，E，且AB＝OC，求：（1）∠A的度数；
（2）∠AEO度数．
20．（12分）某兴趣小组对部分中小学生去年暑假看电视的时间进行了抽样调查，根据调查的数据绘制了频数、频率分布表和频数分布直方图（小时数取整数）．
（1）此次调查的样本容量是多少？
（2）补全频数、频率分布表和频数分布直方图；
（3）请估计1200名中小学生大约有多少学生暑假期间看电视的时间会低于60小时．
四．解答题（共3小题，满分24分）
21．（7分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1.⊙O2.⊙O3.⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
（1）如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周；
（2）如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转周．
实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB＝2c，则⊙O自转_______-周；若AB＝l，则⊙O自转 周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转_______周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转________周；
（2）如图3，∠ABC＝90°，AB＝BC＝c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转_______周．
拓展联想：
（1）如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由；
（2）如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．
23．（9分）全世界每年都有大量的土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已称为一项十分紧迫的任务．某地元有沙漠100万公顷，为了了解该地区沙漠面积的变化情况，有关部门进行了连续3年的观察，并将每年年底的观察结果坐了记录（如下表所示），然后根据这些数据描点、连线，绘成曲线图如图所示，发现其连续且成直线状．预计该地区的沙漠面积将继续按此趋势扩大．
（1）如果不采取任何措施，那么到第m年底，该地区的沙漠面积将变为多少万公顷？
（2）如果在第5年底，采取植树造林等措施，每年改造0.8万公顷沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到95万公顷？
五．解答题（共3小题，满分16分）
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，在BD的延长线上取点C，使DC＝BD，AC与⊙O交于点E，DF⊥AC于点F．求证：
（1）DF是⊙O的切线；
（2）DB2＝CF•AB．
25．（8分）唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB＝CD＝AD＝2，∠D＝120°，点E.F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为 ．
（2）实践运用
如图3，已知⊙O的直径MN＝1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
（3）拓展迁移
如图4，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x＝1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
26．如图，在某海域内有三个港口A.D.C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，测得港口C在B处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．
（1）试判断此时哪个港口离B处最近，说明理由，并求出最近距离．
（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？
参考答案
一．选择题
1．解：的相反数是﹣．
故选：B．
2．解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，
∴a+1＜0，b﹣2＞0，
解得：a＜﹣1，b＞2，
则﹣a＞1，1﹣b＜﹣1，
故点B（﹣a，1﹣b）在第四象限．
故选：D．
3．解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°
故选：B．
4．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≤5且k≠1．
故选：B．
5．解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∴tanA＝＝，
故选：C．
6．解：根据图象和数据可知，当x＜0即图象在y轴左侧时，y的取值范围是y＜﹣1．
故选：D．
7．解：由图形的对称性可知：AB＝AH，CD＝DH，
∵正方形ABCD，
∴AB＝CD＝AD，
∴AH＝DH＝AD．
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
8．解：13﹣（﹣2）
＝13+2
＝15（℃）．
故答案为：15．
9．解：根据题意，知，
解得：x≥4，
故答案为：x≥4．
10．解：9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2．
11．解：连接OA，
∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，
∴OD＝10﹣4＝6cm，
在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AB＝2AD＝16cm．
故答案为16．
12．解：∵A.B两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，
∴离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是y＝200+120t（t≥0）．
故答案为：y＝200+120t（t≥0）．
13．
解：∵此六边形是正六边形，
∴∠1＝180°﹣120°＝60°，
∵AD＝CD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD＝AC，
∴△ABC是直角三角形
又BC＝AC，
∴∠2＝30°，
∴AB＝BC＝CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（）2＝3倍，
∴经过10次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（）10＝243倍．
故答案为：243．
14．解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即4π，宽为母线长为3cm，
所以它的面积为12πcm2．
三．解答题（共6小题，满分58分）
15．解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k 为常数且 k≠0），
将x＝﹣2，y＝代入y＝，得 k＝﹣1，
所以，所求函数解析式为y＝﹣；
（2）当x＝3时，y＝﹣；当x＝﹣时，y＝3．
16．解：（1）在Rt△EFH中，cs∠FHE＝＝，
∴∠FHE＝45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1×＝，
∴GM＝AB＝，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝，
∴EM＝EG+GM＝+，
答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．
17．解：（1）当方程是一次方程时，方程只有一个实数根，
此时2+k＝0，解得k＝﹣2
当k＝﹣2时，2k＝﹣4≠0，
即方程只有一个实数根，k的为：k＝﹣2时；
（2）若方程有两个实数根，需满足：
△＝（2k）2﹣4（2+k）（k+1）≥0，且2+k≠0
解得：k≤﹣且k≠﹣2；
即方程有两个实数根，k的取值范围为：k≤﹣且k≠﹣2；
（3）当△＜0时，方程无实数根，
即（2k）2﹣4（2+k）（k+1）＜0，
解得：k＞﹣．
即方程无实数根，k的取值范围为：k＞﹣．
18．解：本题答案不惟一，下列解法供参考．
解法一问题：甲工程队单独完成这项任务需要多少天？（2分）
解：设甲工程队单独完成这项任务需要x天，则乙工程队单独完成这项任务需要（x+2）天．
根据题意，得（4分），
解得x1＝4，x2＝﹣1（舍去），
∴x＝4（5分）
答：甲工程队单独完成这项任务需要4天．（6分）
解法二问题：乙工程队单独完成这项任务需要多少天？（2分）
解：设乙工程队单独完成这项任务需要x天，则乙工程队单独完成这项任务需要（x﹣2）天．
根据题意，得，（4分）
解得x1＝6，x2＝1（舍去），
∴x＝6．（5分）
答：乙工程队单独完成这项任务需要6天．（6分）
19．解：（1）连接OB，
∵∠EOD＝60°，
∵AB＝OC，OC＝OB＝OE，
∴∠AOB＝∠A，∠OBE＝∠E，
∵∠OBE＝∠A+∠AOB＝2∠A，
∴∠E＝2∠A，
∵∠EOD＝∠A+∠E，
∴3∠A＝60°，
∴∠A＝20°；
（2）∵AB＝OC＝OB，
∴∠OBE＝2∠A＝40°，
∵OB＝OE，
∴∠AEO＝∠EBO＝40°．
20．解：（1）由频率分布表可知，此次调查的样本容量是100；
（2）如图：
（3）1200×（0.2+0.25+0.3）＝1200×＝900，即1200名中小学生大约有900学生暑假期间看电视的时间会低于60小时．
四．解答题（共3小题，满分24分）
21．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
22．解：实践应用
（1）2；．；．
（2）．
拓展联想
（1）∵△ABC的周长为l，
∴⊙O在三边上自转了周．
又∵三角形的外角和是360°，
∴在三个顶点处，⊙O自转了＝1（周）．
∴⊙O共自转了（+1）周．
（2）∵多边形外角和等于360°
∴所做运动和三角形的一样：（+1）周．
23．解：（1）设沙漠的面积与时间x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得：，
解得：y＝0.2x+100
当x＝m时，y＝0.2m+100．
答：第m年底，该地区的沙漠面积将变为（0.2m+100）万公顷；
（2）当x＝5时，y＝0.2×5+100＝101（万公顷）．
设需要a年，该地区的沙漠面积能减少到95万公顷，由题意，得
101﹣0.8a＝95，
解得：a＝7.5．
答：需要7.5年，该地区的沙漠面积能减少到95万公顷．
五．解答题（共3小题，满分16分）
24．证明（1）如图1，连接OD，
∵OA＝OB，BD＝DC，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD＝DC，
∴AB＝AC，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠DFC＝∠ADC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDF∽△CAD，
∴，即：CD2＝CF•AC．
又∵BD＝CD，AB＝AC，
∴DB2＝CF•AB．
25．解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD＝∠D＝120°，
∴∠ABC＝60°；
在△ADC中，AD＝CD＝2，∠D＝120°，所以∠DAC＝∠DCA＝30°；
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，即△BAC为直角三角形；
在Rt△BAC中，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°﹣60°＝30°，AB＝2，所以AC＝AB•tan60°＝2；
由于B.C关于直线EF对称，根据阅读资料可知BP+AP的最小值为线段AC的长，即2．
（2）如图（2），作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，则BC与直径MN的交点为符合条件的点P，BC的长为BP+AP的最小值；
连接OA，则∠AON＝2∠AMN＝60°；
∵点B是的中点，
∴∠BON＝∠AON＝30°；
∵A.C关于直径MN对称，
∴＝，则∠CON＝∠AON＝60°；
∴∠BOC＝∠BON+∠CON＝90°，又OC＝OB＝MN＝，
在等腰Rt△BOC中，BC＝OB＝；
即：BP+AP的最小值为．
（3）①依题意，有：
，解得
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
②取点C关于抛物线对称轴x＝1的对称点D，根据抛物线的对称性，得：D（2，﹣3）；
连接AD，交抛物线的对称轴于点M，如图（3）﹣②；
设直线AD的解析式为y＝kx+b，代入A（﹣1，0）、D（2，﹣3），得：
，解得
∴直线AD：y＝﹣x﹣1，M（1，﹣2）；
∴△ACM的周长最小值：lmin＝AC+AD＝+3．
26．解：（1）连接，过B作BP⊥AC于点P．
由已知得∠BAD＝90°，∠BAC＝30°，AB＝3×25＝75（海里），
从而（海里）．
∵港口C在B处的南偏东75°方向上，
∴∠CBP＝45°．在等腰Rt△CBP中，（海里），
∴BC＜AB．
∵△BAD是Rt△，
∴BD＞AB．
综上，可得港口C离B点位置最近，为海里．
（2）设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，
则据题意有，
解不等式，得（海里）．
答：此船应以速度至少不低于每小时海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．
看电视时间
（小时）
0.5～20.5
20.5～40.5
40.5～60.5
60.5～80.5
80.5以上
合计
频数
20
30
15
10
100
频率
0.2
0.25
0.1
1
观察时间x
该地区沙漠面积比原有面积增加的数量y
第一年底
0.2万公顷
第二年底
0.4万公顷
第三年底
0.6万公顷
看电视时间
（小时）
0.5～20.5
20.5～40.5
40.5～60.5
60.5～80.5
80.5以上
合计
频数
20
25
30
15
10
100
频率
0.2
0.25
0.3
0.15
0.1
1