2022年山东省济南市章丘区中考数学二模试卷（含解析）

2022年山东省济南市章丘区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 实数的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是

A. 圆柱
B. 圆椎
C. 三棱柱
D. 长方体

3. 国家统计局数据，年一季度，规模以上工业原油产量万吨，同比增长“万”用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知，平分交于点，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

5. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

8. 某射击运动员在训练中射击了次，成绩如图所示：
   
   下列结论不正确的是

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

9. 已知等腰的底边长为，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为

A.  B.  C. 或 D.

10. 如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，图中阴影部分的面积等于

A.
B.
C.
D.

11. 如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为
    
     

A.  B.
C.  D.

12. 抛物线的对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 分解因式：______．
14. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
    
     

15. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为______度．
16. 当______时，代数式与的差是．
17. ，两地相距，甲货车从地以的速度匀速前往地，到达地后停止．在甲出发的同时，乙货车从地沿同一公路匀速前往地，到达地后停止．两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．其中点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是______．

18. 如图，正方形的边长为，，交于点，点为内的一点，连接，，，，若，给出下列四个结论：；线段的最小值是；∽；其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

19. 计算：
20. 解不等式组：并写出不等式组的整数解．
21. 已知：如图，在▱中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．

22. 年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：表示“从未听说过”，表示“不太了解”，表示“比较了解”，表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
    
    参加这次调查的学生总人数为______人；
    扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是______；
    将条形统计图补充完整；
    在类的学生中，有名男生和名女生，现需从这名学生中随机抽取名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
23. 如图，在中，以为直径的交于点，与的延长线交于点，的切线与垂直，垂足为．
    求证：．
    若，，求的半径．
24. 年是建党周年，各种红色书籍在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了元，乙种书籍共用了元，已知乙种书籍每本进价比甲种书籍贵元．
    甲、乙两种书籍每本进价各是多少元？
    这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种书籍数量不低于乙种书籍的数量不计其他成本．

问：网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大？最大利润是多少？

25. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
    求出一次函数与反比例函数的解析式；
    点是线段上一点不与，重合，过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，，，当等于时，求点的坐标和的面积；
    在的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上如图，求出点，的坐标．

26. 如图，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
    概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
    性质探究：如图，垂美四边形的对角线，交于点猜想：与有什么关系？并证明你的猜想．
    解决问题：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长．

27. 若一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点，如图．
    求二次函数的表达式；
    如图，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上轴左侧，若恰好平分求直线的表达式；
    如图，若点在抛物线上点在轴右侧，连接交于点，连接，．
    当时，求点的坐标；
    求的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，
的相反数是；
故选：．
根据互为相反数的定义即可判定选择项．
此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
 

2.【答案】

【解析】解：该几何体是长方体，
故选：．
根据三视图可得到所求的几何体是柱体，可得几何体的名称．
考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：若三视图里有两个是长方形，那么该几何体是柱体
 

3.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：，，
，
平分，
．
故选：．
根据两直线平行，内错角相等求出，再根据角平分线的定义求解即可．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

6.【答案】

【解析】解：，正确，故此选项符合题意；
B.与不是同类项，不能进行合并计算，故此选项不符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，故此选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，从而作出判断．
本题考查幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题基础．
 

7.【答案】

【解析】解：原式

．
故选A．
按分式减法法则计算即可．
本题考查分式减法运算，掌握分式减法运算法则是求解本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：由图可得，数据出现次，次数最多，所以众数为，故A选项正确；
次成绩排序后为：，，，，，，，，，，所以中位数是，故B选项正确；
平均数为，故C选项正确；
方差为，故D选项错误；
故选：．
本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及等腰三角形性质，一元二次方程 的根与 有如下关系： 当 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当 时，方程有两个相等的两个实数根； 当 时，方程无实数根．
先根据两腰长恰好是关于 的一元二次方程 的两根，求得 ，进而得到一元二次方程为 ，进而得到两腰之和为 ，进而得出 的周长为 ．
【解答】
解： 两腰长恰好是关于 的一元二次方程 的两根，
，
解得 ，
一元二次方程为 ，
两腰之和为 ，
的周长为 ，
故选 B ．   

10.【答案】

【解析】解：连接，
是直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
先根据题意判断出是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得，然后根据直接进行计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是得出．
 

11.【答案】

【解析】

  【分析】
根据题意得， ， ， ，过 作 于 ，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，解题关键是利用特殊角的三角函数求解．
【解答】
解：根据题意得， ， ， ，
过 作 于 ，

，
在 中， ， ，
，
在 中， ，
，
，
， 两港之间的距离为 ，
故选 B ．   

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为 ，将一元二次方程 的实数根可以看做 与函数 的有交点，再由 的范围确定 的取值范围即可求解．
【解答】
解： 的对称轴为直线 ，
，
，
一元二次方程 的实数根可以看做 与函数 的有交点，
方程在 的范围内有实数根，
当 时， ；
当 时， ；
函数 在 时有最小值 ；
．
故选： ．   

13.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：．
利用完全平方公式即可进行因式分解．
本题考查应用公式法分解因式，掌握是正确解答的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为，
所以该小球停留在黑色区域的概率是．
故答案为：．
若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
 

15.【答案】

【解析】解：多边形的每一个外角都等于，
它的边数为：，
它的内角和：，
故答案为：．
首先根据外角和与外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式计算出答案．
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是正确计算出多边形的边数．
 

16.【答案】

【解析】解：根据题意，得：
，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
故答案为：．
由题意可得，再把方程去括号，移项，合并同类项，系数化为即可．
本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解答本题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：根据题意可得，乙货车的速度为：，
乙货车从地到地所用时间为：小时，
当乙货车到达地时，甲货车行驶的路程为：千米，
点的坐标是．
故答案为：．
根据点与点的坐标即可得出乙货车的速度，进而得出乙货车从地到地所用时间，据此即可得出点的坐标．
本题考查函数图象，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．
 

18.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，故正确；
，
点在直径为的圆上，
如图，取的中点，连接，，

，
在中，，
当点在上时，有最小值，
此时：，
的最小值为，故正确；
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
，
与不相似，故错误；
如图，过点作，交于，

，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
，故正确，
故答案为：．
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，故正确；由题意可得点在直径为的圆上，当点在上时，有最小值，由勾股定理可得的最小值为，故正确；由圆周角定理可得，则，即与不相似，故错误；由“”可证≌，可得，由线段的和差关系，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式．

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
≌，
．

【解析】只要证明≌即可解决问题；
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：参加这次调查的学生总人数为人，
故答案为：；
扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
类别人数为人，
补全图形如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好选中名男生和名女生的结果数为，
所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
根据类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用乘以类别人数所占比例即可；
根据四种类别人数人数之和等于总人数求出类别人数即可补全图形；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图
 

23.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接、，
是的直径，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
的半径为．

【解析】连接，根据切线的性质得到，进而得出，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明结论；
连接、，根据圆周角定理得到，，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

24.【答案】解：设甲种商品每件进价是元，则乙种商品每件进价元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，当时，．
答：甲种商品每件进价是元，则乙种商品每件进价为元．
设新购甲种商品件，则乙种商品为件，
由题意可得：，解得，
，
，
，
随得增大而减小，且，
当时，，此时．
答：购进甲种商品件，乙种商品件，利润最大，最大利润为元．

【解析】设甲种商品每件进价是元，则乙种商品每件进价元，根据“网店购进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了元，乙种书籍共用了元”列分式方程解答即可；
设新购甲种商品件，则乙种商品为件，设销售完这批商品获得的利润为元，根据题意列不等式求出的取值范围，并求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程以及函数关系式．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，
解得：，
一次函数解析式为，
在的图象上，
，
解得：，
则反比例函数解析式为；
设，则有，
，
，
，
解得：舍去或，
，
，
过作于点，则，

；
连接，由平移可得：，

直线的解析式为，
联立得：，
解得：或不合题意，舍去，
，
即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，
又由中知坐标为，
点往右平移个单位，往上平移个单位得到．

【解析】把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式；
设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，过作于点，由与的横坐标之差求出的长，三角形面积以为底，为高，求出即可；
连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可．
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

26.【答案】解：四边形是垂美四边形．
理由如下：如图，连接、，

，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
，
理由如下：
如图中，

，
，
由勾股定理得，，
，
；
如图，连接、，

正方形和正方形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，即，
四边形是垂美四边形，
由得，，
，，
，
，，
，
．

【解析】本题为四边形综合题，新定义问题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
连接、，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
结论是；，根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
如图，连接、，证明四边形是垂美四边形，结合的结论，利用勾股定理计算即可．
 

27.【答案】解：一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，
则点、的坐标分别为、，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：；

设直线交轴于点，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为，
轴交抛物线于点，故点，
由点、的坐标知，直线与的夹角为，即，
恰好平分，故，
而，
故≌，
，故，故点，
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：；

过点作轴交于点，

则∽，则，
而，则，解得：，
当时，则，
设点，
由点、的坐标知，直线的表达式为：，当时，，故点，
故，
解得：或，故点或；
当点时，点在直线上，
点，
，
，
故的最大值为．

【解析】函数的图象与轴，轴分别交于，两点，则点、的坐标分别为、，将点、、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
证明≌，则，故，故点，即可求解；
过点作轴交于点，则∽，则，而，则，解得：，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等和相似、面积的计算等．