2022年山东省济南市历下区中考数学二模试卷（含解析）

2022年山东省济南市历下区中考数学二模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 根据国家统计局数据显示，我国冰雪运动参与人数达到人．数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 从左面看如图所示的几何体，得到的形状图是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，直线、与直线相交，且，若，则的度数

A.
B.
C.
D.

5. 手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，如图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，把先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，则顶点对应点的坐标为

A.
B.
C.
D.

8. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为   

A.  B.  C.  D.

9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接 若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

12. 已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 因式分解：______．
14. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是______．
15. 若分式值相等，则的值为______．
16. 小明发现交通指示牌中“停车让行标志”可以看成是正八边形，如图所示，则______
    
    
    
     

17. 某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量件与时间分之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为______分钟．

18. 矩形中，，为边上一点，沿将对折，使点正好落在边上，则______．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在菱形中，，求证：．
    
     

22. “双减”政策落实下，学生在完成作业之余，每天有更多时间进行体育最炼．为了了解学生体育最炼时间具体情况，某中学入学后，对八、九年级学生每天体青锻炼时间进行了问卷调查，现从八、九年级各抽取了名同学的调查数据进行整理．描述和分析如下：调查数据用表示，共分成四组：：，：，：，：，单位为小时
    八年级抽取的名同学的调查数据是：
    ，，，，，，，，，，，，，，
    九年级抽取的名同学调查数据中：
    ，两组同学的调查数据是：，，，，，，，，两组数据个数相等；

根据以上信息，解答下列问题：
九年级组数据的个数是______；
直接写出上述图表中，，的值：______，____________；
若每天体育锻炼超过个小时视为有良好的生活习惯，请根据调查结果，估计该校八年级人中有良好生活习惯的学生人数是多少人．

23. 如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点．
    若，求的度数；
    若，，求半径的长．

24. 在疫情期间，学校购买甲、乙两种消毒液，已知购买桶甲种消毒液和桶乙种消毒液共需元，购买桶乙种消毒液比购买桶甲种消毒液少用元．
    求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
    若要购买甲、乙两种消毒液共桶，且总费用不超过元，求至多可购进甲种消毒液多少桶？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，．
    求一次函数系数的值；
    求双曲线的解析式；
    若点为双曲线上点右侧一点，且轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．

26. 如图，中，，点是边上一点，且点不与、重合，于点．
    当时，
    ______；
    当绕点旋转到如图的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
    当时，将绕点旋转，使得，若，，请直接写出线段的长．

如图，对称轴为的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
求点的坐标．
已知，为抛物线与轴的交点．
求抛物线的解析式．
若点在抛物线上，且，求点的坐标．
设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，请直接写出线段长度的最大值和对应的点的坐标．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
直接利用左视图观察角度分析得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
．
，


．
故选：．
利用平行线的性质先求出，再利用平角求出．
本题主要考查了平行线的性质和平角的定义，掌握“两直线平行同位角相等”和邻补角的定义是解决本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：．
直接利用完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则和积的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断求出答案．
此题主要考查了完全平方公式、同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了坐标与图形变化平移，正确得出对应点位置是解题关键．
利用平移规律进而得出答案．
【解答】
解：把先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，顶点，
，
即，
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了简单随机事件发生概率的求法，用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出相应事件发生的概率是常用的方法．用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出两次都摸到颜色相同的球的概率，作出选择即可．
【解答】
解：用列表法表示所有可能出现的结果为：

两次都摸到颜色相同的球的概率．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】解：、由反比例函数图象得，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以选项错误；
B、由反比例函数图象得，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以选项错误；
C、由反比例函数图象得，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以选项错误；
D、由反比例函数图象得，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以选项正确．
故选：．
在各选项中，先利用反比例函数图象确定的符号，再利用的符号对一次函数图象的位置进行判断，从而判断该选项是否正确．
本题考查了反比例函数图象：反比例函数为双曲线，当时，图象分布在第一、三象限；当时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数的性质．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，
，，，，
，，
，
故选：．
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，，
，
．
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选：．
先根据等腰三角形的性质得出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线的性质得出，再由三角形外角的性质求出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：令，得，
化简得，，
二次函数是常数，且的图象过点，，
，
，
，
，，
，
即，
的长不小于，
，
，
，
，
故选：．
由于抛物线所经过的、两点的纵坐标为，说明抛物线与直线有两个交点，则，是方程有两个不相等的根，由根与系数的关系求得便为的长度，再根据的长不小于，列出的不等式求得的取值范围，再结合方程根的判别式与解的情况的关系求得的取值范围，便可得出最后结果．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是用根与系数的关系求出的值．
 

13.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式直接分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．
 

14.【答案】
 

【解析】解：总面积为个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积，
小球停在阴影部分的概率是，
故答案为：．
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题知：，
去分母得：，
解得：．
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
根据分式值相等建立方程，去分母，解整式方程，最后检验即可．
本题考查解分式方程，解题关键是转化思想把分式方程转化为整式方程，注意分式方程需要检验．
 

16.【答案】
 

【解析】解：“停车让行标志”可以看成是正八边形，
；
故答案为：．
根据多边形的外角和是，个外角都相等，即可求出．
此题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由图象可得，
甲揽件的速度为：件分钟，
乙派件的速度为：件分钟，
设当两仓库快递件数相同时，所用的时间为分钟，
，
解得，
即当两仓库快递件数相同时，所用的时间为分钟，
故答案为：．
根据图象中的数据，可以分别计算出甲仓库揽件速度和乙仓库派件速度，然后再根据图象中的数据，可以列出相应的方程，再求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
根据折叠的性质得：，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
则；
；
故答案为：．
由折叠的性质得出，，证出，在中，由勾股定理得出，由三角函数定义得出；即可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：


．
 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形为菱形，
，．
又，
，
即．
在和中

≌．
．
 

【解析】由四边形为菱形，可得，又因为，所以，即可证≌，所以．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．
 

22.【答案】     
 

【解析】解：九年级学生每天体育锻炼时间在组的有人，在组的有人，
又、两组人数相等，
所以、组的人数分别为人，
故答案为：；
将九年级名学生的每天锻炼时间从小到大排列后，处在中间位置的一个数，即第个数据是，因此中位数是，即；
八年级名学生的每天锻炼时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，即，
九年级组的人数占调查人数的，因此所对应的圆心角的度数为，即，
故答案为：，，；

人，
答：该校八年级人中有良好生活习惯的学生人数是人．
根据所列举出的数据，调查九年级组、组人数，进而可求出、组的人数；
根据中位数的意义求出九年级名学生每天体育锻炼时间的中位数即可求出的值，根据众数的定义可求出八年级学生体育锻炼时间的众数，确定的值，求出九年级学生在组所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，确定的值；
求出八年级体育锻炼时间在小时以上的人数所占的百分比，即可求出相应的人数即可．
本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数以及频数分布直方图，掌握平均数、中位数、众数的意义是正确解答的关键．
 

23.【答案】解：如图，连接，
是的切线，是的半径，
，
，
，
，
；
设的半径为，
，
，
，，
，
，
即半径的长为．
 

【解析】连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设购买甲种消毒液每桶需要元，购买乙种消毒液每桶需要元，
由题意可得：，
解得，
答：购买甲种消毒液每桶需要元，购买乙种消毒液每桶需要元；
设购进甲种消毒液桶，则购进乙种消毒液桶，
由题意可得：，
解得，
的最大值为，
答：至多可购进甲种消毒液桶．
 

【解析】根据购买桶甲种消毒液和桶乙种消毒液共需元，购买桶乙种消毒液比购买桶甲种消毒液少用元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据中的结果和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式，找出等量关系，列出相应的方程组．
 

25.【答案】解：由图象可知，当时，，
，
，
，
，
，
将代入一次函数解析式得，
；
，
将代入，
得，
，
将代入得，
双曲线的解析式为；
设，

在上，
，
当∽时，可得，
即，
，即，
或舍去，
；
当∽时，可得，
即，
整理得，
解得或舍，
，
综上所述，或．
 

【解析】根据，可得，再将将代入一次函数解析式得即可；
将代入，得，可知点的坐标，再代入反比例函数关系式即可；
设，则，分∽或∽，根据对应边成比例列出方程即可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形对应边成比例列出等式是解题的根据，同时渗透了分类讨论思想．
 

26.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
如图，过点作于点，则，

，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；
成立，理由如下：
和都是直角三角形，
，
，
即，
由可知，，，
，
∽，
；
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
将绕点旋转，分两种情况：
如图，过作交的延长线于，则，
当时，，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
，
，
，
在中，，
，
又和都是直角三角形，且，
，
即，
，，
，
∽，
，即，
解得：；
如图，过作于，则，
当时，，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
同得：∽，
，
即，
解得：；
综上所述，线段的长为或．
由直角三角形的性质求出，再由矩形的性质得，然后由含角的直角三角形的性质即可得出结论；
证∽，得即可；
先求出，则，再由勾股定理得，则，然后证∽，即可求解；
同的方法即可求解．
此题是三角形综合题，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质和旋转的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
 

27.【答案】解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
时，
抛物线的对称轴为直线，
，解得，
将代入，
得，解得，
抛物线的解析式为；
抛物线的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，，
设点坐标为，
，
，
即，
，
解得，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
有最大值，点的坐标为，

设直线的解析式为，
将，代入，
得，，
解得，
即直线的解析式为，
设点坐标为，
则点坐标为，
，
当时，有最大值，
此时
 

【解析】根据对称轴和点坐标直接求出点坐标即可；
先根据对称轴求出，再用待定系数法求出，即可得出解析式；
设点坐标为，根据面积关系求出的值即可；
用待定系数法求出的解析式，设出点的坐标，根据的代数式求最值即可．
本题主要考查二次函数的知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．