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吉林省长春市二道区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）
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这是一份吉林省长春市二道区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 下列代数式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键．
【详解】、是整式，不是分式，不符合题意；
、是整式，不是分式，不符合题意；
、是分式，符合题意；
、是整式，不是分式，不符合题意；
故选：．
2. 解分式方程时，将方程两边同时乘以同一个整式，会得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【详解】解：
方程两边同时乘以：，
∴方程两边同时乘以同一个整式为，
故选：．
3. 以下点在第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断点所在的象限，解题的关键是掌握象限内点的坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．据此分析即可．
【详解】解：A．在轴负半轴上，故此选项不符合题意；
B．在第二象限，故此选项符合题意；
C．在第四象限，故此选项不符合题意；
D．在第三象限，故此选项不符合题意．
故选：B．
4. 为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查众数的意义，同时还要了解平均数、中位数、方差的意义，理解各个统计量的意义以及恰当的选择和灵活运用是解答的关键．根据本题应当是看喜欢的活动项目的人数最多，故应当选用众数．
【详解】解：根据题意，本题应当是看喜欢的活动项目的人数最多，故他最应该关注的是众数．
故选：C．
5. 下面是一家牛奶销售公司招聘员工的日薪计算方式：一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶牛奶则每瓶牛奶0.9元．下列图中正确表示这家公司员工的日薪与送奶数量关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等量关系的知识，由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日新与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，解题的关键是根据题意，判断出日薪与送奶数量的关系式即可．
【详解】解：由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，
当送奶数量小于或等于240瓶是日新与送奶量一致且呈现递增的关系，
当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，
∴选项A符合题意，
故选：A．
6. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，点在上，点在上，线段经过点．若平行四边形的周长为38，，则四边形的周长为（ ）
A. 19B. 20C. 23D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形和平行线性质，分别通过证明、，得，结合题意，通过计算即可得到答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长，
平行四边形的周长为38，
，
四边形的周长，
故选：D．
7. 如图，在矩形中，是对角线，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握角平分线的尺规作图法和勾股定理是解题的关键．过点作于点，根据尺规作图过程可知，为的平分线，利用角平分线的性质可得，证明得到，利用勾股定理可得，设，则，，在中，利用勾股定理得，解方程即可得解．
【详解】解：过点作于点，如图所示，
根据尺规作图过程可知，为的平分线，
在矩形中，，即，又，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，
在中，利用勾股定理得，
，即，
解得，
的长为．
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点A、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，是解决本题的关键．
过E作轴于点F，根据平行四边形性质得到，根据，得到，结合，推出四边形和都是矩形，得到，根据，即得．
【详解】过点E作轴于点F，
∵平行四边形中，，且，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形和都是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）
9. 计算：_______．
【答案】1．
【解析】
【分析】由解题即可．
【详解】
故答案为：1．
【点睛】本题考查零指数幂，是常见考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
10. 某细菌直径长约0.0000152米，0.0000152这个数用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 函数的图象上有两个点、，当时，，写出一个满足条件的函数表达式：______．
【答案】（一次项系数为负数的一次函数即可，为任意实数）
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的增减性，只要满足即可．
【详解】∵时，，
∴即可，可取
∴满足条件的函数表达式：
故答案为：（一次项系数为负数的一次函数即可，为任意实数）．
12. 如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是______．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理求解．
详解】解：根据题意可以得到，，
∴四边形是平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
13. 如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________．
【答案】##72度
【解析】
【分析】由将菱形沿折叠，点的对应点，，得，得，由，得，得，，得，即可得．本题主要考查了图形的折叠，菱形的性质，解题关键是正确应用折叠的性质．
【详解】解：将菱形沿折叠，点的对应点，，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
14. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数的图象交轴于点，且与直线都经过点．给出下面四个结论：
①当时，；
②当时，；
③关于的一元一次方程的解为；
④方程组的解为
上述结论中，正确结论的序号有______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一元一次方程和不等式之间的关系，求出当时，，再结合函数图象即可判断①；根据函数图象即可判断②；根据一次函数与一元一次方程之间的关系即可判断③；据一次函数与二元一次方程组之间的关系即可判断④．
【详解】解：在中，当时，，
∴由函数图象可知，当时，，故①说法错误；
由函数图象可知，当时，，故②说法正确；
∵一次函数经过，
∴一次函数的解析式为，
∴一次函数的图象交轴于点，
∴关于的一元一次方程的解为，故③说法正确；
∵直线和都经过点，
∴方程组的解为，故④正确；
∴正确的有②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和提取公因式进行化解，再将值代入求解即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
16. 解方程：
【答案】原方程无解
【解析】
【分析】方程两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同时乘以，得：，即，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程，将分式方程转化为整式方程并检验是解题的关键．
17. 某小区为尽快排除内涝的积水，快速恢复正常生活，需铺设一段全长为300米的临时排水管道，为了减少施工对小区内群众生活造成的影响，实际施工时每小时的工作效率比原计划增加，结果提前1.5小时完成铺设任务．求原计划每小时铺设管道多少米？
【答案】40米
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设原计划每小时铺设管道米，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设原计划每小时铺设管道米．
解得．
经检验是原方程的解且符合题意．
答：原计划每小时铺设管道40米．
18. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点，都在反比例函数图象上，通过计算比较和的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，有理数大小比较等知识点，熟练掌握求反比例函数解析式的方法是解题的关键．
（1）把点代入反比例函数即可求出的值，从而可求出反比例函数的表达式；
（2）把点，代入反比例函数求出、的值，即可比较、的大小．
【小问1详解】
解：把点代入反比例函数，得：
，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：把点，代入反比例函数，得：
，
，
．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作平行四边形，使点、均在格点上．
（1）在图①中，点是平行四边形对称中心；
（2）在图②中，点在平行四边形的边上且不与顶点重合；
（3）在图③中，点在平行四边形的内部且不是对称中心．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的性质；
（1）根据平行四边形的性质画图即可；
（2）根据平行四边形的性质画图即可；
（3）根据平行四边形的性质画图即可．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
如图所示
【小问3详解】
如图所示
或
20. 如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD
求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先由AB=AC，点D是边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，AD⊥BC，再由AE∥BD，DE∥AB，得出四边形AEDB为平行四边形，那么AE=BD=CD，又AE∥DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE是平行四边形，又∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE是矩形；
【详解】证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°.
∵AE∥BD,DE∥AB，
∴四边形AEDB为平行四边形，
∴AE=BD=CD，
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形.
21. 某校为了解七、八年级学生对消防安全知识掌握的情况，现从两个年级分别随机抽取20名学生进行测试（满分100分），并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析．
收集数据：七年级85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
描述数据：八年级20名学生成绩条形统计图
分析数据：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：______，______．
（3）甲同学说：“这次测试我得了90分，位于年级中等偏下水平”，由此可判断他是______年级的学生；
（4）你认为哪个年级的成绩更好一些？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）七 （4）七年级成绩更好．理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，求中位数，求众数，理解中位数和众数的含义，解题的关键是熟练掌握相关知识的定义．
（1）由题中数据可知八年级分人数为人，分人数为人，再补全条形统计图即可；
（2）先将七年级成绩从小到大排序，再根据偶数个数据，中位数为中间两数的平均值即可求得中位数，由（1）即可直接得到八年级成绩的众数，即可解题；
（3）七、八年级平均数相同，把甲同学成绩与七、八年级成绩中位数相比较即可解题；
（4）七、八年级平均数相同，比较其中位数或众数即可解题．
【小问1详解】
解：由题可知：八年级分人数为人，分人数为人，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：将七年级成绩从小到大排序为：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，
七年级成绩的中位数，
由（1）可知：八年级成绩分出现最多，为次，
八年级成绩的众数，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：由表可知：七年级成绩的平均数是分，中位数是分，
八年级成绩的平均数是分，中位数是分，
甲同学成绩90分，位于年级中等偏下水平，
，
甲同学是七年级的学生，
故答案为：七；
【小问4详解】
解：七年级成绩更好．
理由：七八年级的成绩平均数一样，七年级的成绩中位数比八年级的中位数高（或七年级的成绩众数比八年级的高）．
22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材平行四边形的性质章节中的部分内容．
（1）根据以上内容，结合图，完成“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程；
【性质应用】
（2）如图，的对角线和相交于点，若的周长为，，则______．
（3）如图，的对角线和相交于点，过对角线的交点，且与边、分别相交于点、，连接、．若，的周长为，，则的长是______．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得，于是可得结论；
（2）利用平行四边形的性质即可求解；
（3）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得，于是可证得四边形是平行四边形，进而可判定四边形是正方形，于是在中，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，；
（2）的周长为，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
故答案为：；
（3）四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，，
四边形是正方形，
，，
的周长为，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得：，
长是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题的关键．
23. 已知小明的家、超市、长拖文化公园的位置如图所示，小明从家出发，先匀速步行到超市，在超市停留了，之后匀速以同一速度步行了到文化公园，在文化公园停留后，再骑行共享单车返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的函数关系：
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）填表：
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）当小明离开家时，他的爸爸也从长拖文化公园出发匀速步行了直接到家，直接写出两人相遇时离家的距离．
【答案】（1），，，；
（2）当时，与之间的函数关系式为；
（3）两人相遇时离家的距离为或．
【解析】
【分析】（）根据图象信息，求出当时的速度，从而得出当时小明离家的距离；当时，小明离家的距离为，从而得出当时小明离家的距离，求出当时与之间的函数关系式，从而得出当时小明离家的距离；当时，小明离家的距离为，从而得出当时小明离家的距离；
（）把点、代入，即可求出与之间的函数关系式；
（）分别求出爸爸离家的距离与小明离家的时间的函数关系式，当时与之间的函数关系式为，又当时，与之间的函数关系式为，然后分当时当即可求解；
本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析式，根据图像获得信息是解题的关键．
【小问1详解】
根据图象可知：当时的速度为：，则当时，小明离家的距离为：，
当时，小明离家的距离为，
设当时与之间的函数关系式为，把点、代入得：
∴，解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为，
∴当时，小明离家的距离为：，
当时，小明离家的距离为，
则填表如图：
故答案为：，，，；
【小问2详解】
设当时与之间的函数关系式为，把点、代入得：
∴，解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
由题意设爸爸离家的距离与小明离家的时间的函数关系式为：，过点点、，
∴，解得：，
则爸爸离家的距离与小明离家的时间的函数关系式为，
由（）得：时，与之间的函数关系式为，
由（）得：当时，与之间的函数关系式为，
当时解得：，
∴，
当时解得：，
∴，
综上可知：两人相遇时离家的距离为或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，作四边形．
（1）求该直线对应的函数表达式并写出点的坐标；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当四边形的面积为3时，求点的坐标；
（4）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）或
（4）0或
【解析】
【分析】（1）首先利用待定系数法求出直线表达式，然后令即可求出点A的坐标；
（2）根据题意得到，，即可证明出四边形是平行四边形；
（3）首先表示出，然后根据四边形的面积为3列方程求解即可；
（4）根据题意得到四边形是矩形或菱形，然后分别根据矩形和菱形的性质求解即可．
小问1详解】
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴该直线对应的函数表达式为；
∵直线与轴交于点，
∴令得，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴当四边形的面积为3时，，
∴，
∴或，
∴点的坐标为或；
【小问4详解】
当四边形是轴对称图形时，
∵四边形是平行四边形，
∴①当四边形矩形时，
∴，
∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为，
∴此时点C和点B重合，
∴；
②当四边形是菱形时，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
∴解得，（应舍去），
综上所述，当四边形是轴对称图形时，的值为0或．
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合题，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，矩形和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
95
41.5
八年级
91
90
26.5
平行四边形的性质定理 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图，的对角线和相交于点．
求证：，．
观察图形，与、与分别属于哪两个三角形？
分析 要证明相等的与、与分别属于与，因此只需证明这两个三角形全等即可．
小明离开家的时间
小明离家的距离
小明离开家的时间
小明离家的距离
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 下列代数式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键．
【详解】、是整式，不是分式，不符合题意；
、是整式，不是分式，不符合题意；
、是分式，符合题意；
、是整式，不是分式，不符合题意；
故选：．
2. 解分式方程时，将方程两边同时乘以同一个整式，会得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【详解】解：
方程两边同时乘以：，
∴方程两边同时乘以同一个整式为，
故选：．
3. 以下点在第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断点所在的象限，解题的关键是掌握象限内点的坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．据此分析即可．
【详解】解：A．在轴负半轴上，故此选项不符合题意；
B．在第二象限，故此选项符合题意；
C．在第四象限，故此选项不符合题意；
D．在第三象限，故此选项不符合题意．
故选：B．
4. 为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查众数的意义，同时还要了解平均数、中位数、方差的意义，理解各个统计量的意义以及恰当的选择和灵活运用是解答的关键．根据本题应当是看喜欢的活动项目的人数最多，故应当选用众数．
【详解】解：根据题意，本题应当是看喜欢的活动项目的人数最多，故他最应该关注的是众数．
故选：C．
5. 下面是一家牛奶销售公司招聘员工的日薪计算方式：一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶牛奶则每瓶牛奶0.9元．下列图中正确表示这家公司员工的日薪与送奶数量关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等量关系的知识，由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日新与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，解题的关键是根据题意，判断出日薪与送奶数量的关系式即可．
【详解】解：由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，
当送奶数量小于或等于240瓶是日新与送奶量一致且呈现递增的关系，
当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，
∴选项A符合题意，
故选：A．
6. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，点在上，点在上，线段经过点．若平行四边形的周长为38，，则四边形的周长为（ ）
A. 19B. 20C. 23D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形和平行线性质，分别通过证明、，得，结合题意，通过计算即可得到答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长，
平行四边形的周长为38，
，
四边形的周长，
故选：D．
7. 如图，在矩形中，是对角线，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握角平分线的尺规作图法和勾股定理是解题的关键．过点作于点，根据尺规作图过程可知，为的平分线，利用角平分线的性质可得，证明得到，利用勾股定理可得，设，则，，在中，利用勾股定理得，解方程即可得解．
【详解】解：过点作于点，如图所示，
根据尺规作图过程可知，为的平分线，
在矩形中，，即，又，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，
在中，利用勾股定理得，
，即，
解得，
的长为．
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点A、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，是解决本题的关键．
过E作轴于点F，根据平行四边形性质得到，根据，得到，结合，推出四边形和都是矩形，得到，根据，即得．
【详解】过点E作轴于点F，
∵平行四边形中，，且，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形和都是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）
9. 计算：_______．
【答案】1．
【解析】
【分析】由解题即可．
【详解】
故答案为：1．
【点睛】本题考查零指数幂，是常见考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
10. 某细菌直径长约0.0000152米，0.0000152这个数用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 函数的图象上有两个点、，当时，，写出一个满足条件的函数表达式：______．
【答案】（一次项系数为负数的一次函数即可，为任意实数）
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的增减性，只要满足即可．
【详解】∵时，，
∴即可，可取
∴满足条件的函数表达式：
故答案为：（一次项系数为负数的一次函数即可，为任意实数）．
12. 如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是______．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理求解．
详解】解：根据题意可以得到，，
∴四边形是平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
13. 如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________．
【答案】##72度
【解析】
【分析】由将菱形沿折叠，点的对应点，，得，得，由，得，得，，得，即可得．本题主要考查了图形的折叠，菱形的性质，解题关键是正确应用折叠的性质．
【详解】解：将菱形沿折叠，点的对应点，，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
14. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数的图象交轴于点，且与直线都经过点．给出下面四个结论：
①当时，；
②当时，；
③关于的一元一次方程的解为；
④方程组的解为
上述结论中，正确结论的序号有______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一元一次方程和不等式之间的关系，求出当时，，再结合函数图象即可判断①；根据函数图象即可判断②；根据一次函数与一元一次方程之间的关系即可判断③；据一次函数与二元一次方程组之间的关系即可判断④．
【详解】解：在中，当时，，
∴由函数图象可知，当时，，故①说法错误；
由函数图象可知，当时，，故②说法正确；
∵一次函数经过，
∴一次函数的解析式为，
∴一次函数的图象交轴于点，
∴关于的一元一次方程的解为，故③说法正确；
∵直线和都经过点，
∴方程组的解为，故④正确；
∴正确的有②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和提取公因式进行化解，再将值代入求解即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
16. 解方程：
【答案】原方程无解
【解析】
【分析】方程两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同时乘以，得：，即，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程，将分式方程转化为整式方程并检验是解题的关键．
17. 某小区为尽快排除内涝的积水，快速恢复正常生活，需铺设一段全长为300米的临时排水管道，为了减少施工对小区内群众生活造成的影响，实际施工时每小时的工作效率比原计划增加，结果提前1.5小时完成铺设任务．求原计划每小时铺设管道多少米？
【答案】40米
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设原计划每小时铺设管道米，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设原计划每小时铺设管道米．
解得．
经检验是原方程的解且符合题意．
答：原计划每小时铺设管道40米．
18. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点，都在反比例函数图象上，通过计算比较和的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，有理数大小比较等知识点，熟练掌握求反比例函数解析式的方法是解题的关键．
（1）把点代入反比例函数即可求出的值，从而可求出反比例函数的表达式；
（2）把点，代入反比例函数求出、的值，即可比较、的大小．
【小问1详解】
解：把点代入反比例函数，得：
，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：把点，代入反比例函数，得：
，
，
．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作平行四边形，使点、均在格点上．
（1）在图①中，点是平行四边形对称中心；
（2）在图②中，点在平行四边形的边上且不与顶点重合；
（3）在图③中，点在平行四边形的内部且不是对称中心．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的性质；
（1）根据平行四边形的性质画图即可；
（2）根据平行四边形的性质画图即可；
（3）根据平行四边形的性质画图即可．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
如图所示
【小问3详解】
如图所示
或
20. 如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD
求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先由AB=AC，点D是边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，AD⊥BC，再由AE∥BD，DE∥AB，得出四边形AEDB为平行四边形，那么AE=BD=CD，又AE∥DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE是平行四边形，又∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE是矩形；
【详解】证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°.
∵AE∥BD,DE∥AB，
∴四边形AEDB为平行四边形，
∴AE=BD=CD，
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形.
21. 某校为了解七、八年级学生对消防安全知识掌握的情况，现从两个年级分别随机抽取20名学生进行测试（满分100分），并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析．
收集数据：七年级85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
描述数据：八年级20名学生成绩条形统计图
分析数据：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：______，______．
（3）甲同学说：“这次测试我得了90分，位于年级中等偏下水平”，由此可判断他是______年级的学生；
（4）你认为哪个年级的成绩更好一些？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）七 （4）七年级成绩更好．理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，求中位数，求众数，理解中位数和众数的含义，解题的关键是熟练掌握相关知识的定义．
（1）由题中数据可知八年级分人数为人，分人数为人，再补全条形统计图即可；
（2）先将七年级成绩从小到大排序，再根据偶数个数据，中位数为中间两数的平均值即可求得中位数，由（1）即可直接得到八年级成绩的众数，即可解题；
（3）七、八年级平均数相同，把甲同学成绩与七、八年级成绩中位数相比较即可解题；
（4）七、八年级平均数相同，比较其中位数或众数即可解题．
【小问1详解】
解：由题可知：八年级分人数为人，分人数为人，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：将七年级成绩从小到大排序为：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，
七年级成绩的中位数，
由（1）可知：八年级成绩分出现最多，为次，
八年级成绩的众数，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：由表可知：七年级成绩的平均数是分，中位数是分，
八年级成绩的平均数是分，中位数是分，
甲同学成绩90分，位于年级中等偏下水平，
，
甲同学是七年级的学生，
故答案为：七；
【小问4详解】
解：七年级成绩更好．
理由：七八年级的成绩平均数一样，七年级的成绩中位数比八年级的中位数高（或七年级的成绩众数比八年级的高）．
22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材平行四边形的性质章节中的部分内容．
（1）根据以上内容，结合图，完成“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程；
【性质应用】
（2）如图，的对角线和相交于点，若的周长为，，则______．
（3）如图，的对角线和相交于点，过对角线的交点，且与边、分别相交于点、，连接、．若，的周长为，，则的长是______．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得，于是可得结论；
（2）利用平行四边形的性质即可求解；
（3）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得，于是可证得四边形是平行四边形，进而可判定四边形是正方形，于是在中，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，；
（2）的周长为，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
故答案为：；
（3）四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，，
四边形是正方形，
，，
的周长为，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得：，
长是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题的关键．
23. 已知小明的家、超市、长拖文化公园的位置如图所示，小明从家出发，先匀速步行到超市，在超市停留了，之后匀速以同一速度步行了到文化公园，在文化公园停留后，再骑行共享单车返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的函数关系：
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）填表：
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）当小明离开家时，他的爸爸也从长拖文化公园出发匀速步行了直接到家，直接写出两人相遇时离家的距离．
【答案】（1），，，；
（2）当时，与之间的函数关系式为；
（3）两人相遇时离家的距离为或．
【解析】
【分析】（）根据图象信息，求出当时的速度，从而得出当时小明离家的距离；当时，小明离家的距离为，从而得出当时小明离家的距离，求出当时与之间的函数关系式，从而得出当时小明离家的距离；当时，小明离家的距离为，从而得出当时小明离家的距离；
（）把点、代入，即可求出与之间的函数关系式；
（）分别求出爸爸离家的距离与小明离家的时间的函数关系式，当时与之间的函数关系式为，又当时，与之间的函数关系式为，然后分当时当即可求解；
本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析式，根据图像获得信息是解题的关键．
【小问1详解】
根据图象可知：当时的速度为：，则当时，小明离家的距离为：，
当时，小明离家的距离为，
设当时与之间的函数关系式为，把点、代入得：
∴，解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为，
∴当时，小明离家的距离为：，
当时，小明离家的距离为，
则填表如图：
故答案为：，，，；
【小问2详解】
设当时与之间的函数关系式为，把点、代入得：
∴，解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
由题意设爸爸离家的距离与小明离家的时间的函数关系式为：，过点点、，
∴，解得：，
则爸爸离家的距离与小明离家的时间的函数关系式为，
由（）得：时，与之间的函数关系式为，
由（）得：当时，与之间的函数关系式为，
当时解得：，
∴，
当时解得：，
∴，
综上可知：两人相遇时离家的距离为或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，作四边形．
（1）求该直线对应的函数表达式并写出点的坐标；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当四边形的面积为3时，求点的坐标；
（4）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）或
（4）0或
【解析】
【分析】（1）首先利用待定系数法求出直线表达式，然后令即可求出点A的坐标；
（2）根据题意得到，，即可证明出四边形是平行四边形；
（3）首先表示出，然后根据四边形的面积为3列方程求解即可；
（4）根据题意得到四边形是矩形或菱形，然后分别根据矩形和菱形的性质求解即可．
小问1详解】
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴该直线对应的函数表达式为；
∵直线与轴交于点，
∴令得，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴当四边形的面积为3时，，
∴，
∴或，
∴点的坐标为或；
【小问4详解】
当四边形是轴对称图形时，
∵四边形是平行四边形，
∴①当四边形矩形时，
∴，
∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为，
∴此时点C和点B重合，
∴；
②当四边形是菱形时，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
∴解得，（应舍去），
综上所述，当四边形是轴对称图形时，的值为0或．
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合题，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，矩形和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
95
41.5
八年级
91
90
26.5
平行四边形的性质定理 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图，的对角线和相交于点．
求证：，．
观察图形，与、与分别属于哪两个三角形？
分析 要证明相等的与、与分别属于与，因此只需证明这两个三角形全等即可．
小明离开家的时间
小明离家的距离
小明离开家的时间
小明离家的距离
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