2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）二次函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
2．（3分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）方程x2+5x﹣7＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有一个实数根
4．（3分）将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝18C．（x+4）2＝14D．（x+4）2＝18
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（3，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，0）C．（0，3）D．（2，3）
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A．150°B．90°C．30°D．60°
8．（3分）某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．48（1+x）2＝36B．48（1﹣x）2＝36
C．36（1+x）2＝48D．36（1﹣x）2＝48
9．（3分）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.
11．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（2分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则b的值是 ．
13．（2分）请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式 ．
14．（2分）如图，P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，若PC＝2，则PP'＝ ．
15．（2分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 ．
16．（2分）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
17．（2分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机
着陆后滑行 s时间才能停下来．
18．（2分）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ ．在点D运动过程中，CE的最小值 ．
三.解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（5分）解方程：﹣3x﹣5＝0．
20．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若EF＝4，则△DEF的面积为 ．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值．
22．（5分）已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．
23．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当﹣1＜x＜3时，则y的取值范围为 ．
24．（5分）如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．
（1）如果两块绿地的面积之和为90m2，求人行通道的宽度；
（2）能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由．
25．（6分）下面给出六个函数解析式：
y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ ，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是 ；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为 ．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
27．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
28．（6分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不变值的是 （填序号）；
（2）函数y＝2x2﹣bx．
①若其不变长度为0，则b的值为 ；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为 ．
2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）二次函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据抛物线的开口方向，和顶点坐标，确定其顶点坐标，从而确定函数的最小值．
【解答】解：二次函数y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），因此当x＝﹣1时，y最小＝﹣2，
故选：A．
【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标是求函数的最值的常用方法．
2．（3分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3．（3分）方程x2+5x﹣7＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有一个实数根
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程的根的情况即可．
【解答】解：∵Δ＝52﹣4×1×（﹣7）＝53＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（3分）将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为y＝x2﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝18C．（x+4）2＝14D．（x+4）2＝18
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣8x+2＝0，
x2﹣8x＝﹣2，
x2﹣8x+16＝﹣2+16，
（x﹣4）2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（3，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，0）C．（0，3）D．（2，3）
【分析】利用矩形的性质以及旋转变换的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB，BC＝OA，
∵C（0，2），A（3，0），
∴AB＝OC＝2，OA＝BC＝3，
由旋转变换的性质可知B′（﹣2，3），
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A．150°B．90°C．30°D．60°
【分析】由旋转的性质可得CA＝CA'，∠ACA'＝α，由等腰三角形的性质可得∠A＝∠CA'A＝60°，由三角形内角和定理可求α的值．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，
∴CA＝CA'，∠ACA'＝α，
∴∠A＝∠CA'A＝60°，
∴∠ACA'＝60°，
∴α＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
8．（3分）某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．48（1+x）2＝36B．48（1﹣x）2＝36
C．36（1+x）2＝48D．36（1﹣x）2＝48
【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
【解答】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得：36（1+x）2＝48．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【分析】根据题意列出函数解析式，判断即可．
【解答】解：根据题意得：y＝100﹣5x，
∴y与x满足的函数关系是一次函数关系；
∵z＝（100﹣5x）×（30+x﹣20）＝﹣5x2+50x+1000，
∴z与x满足的函数关系是二次函数关系．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题目中的数量关系，正确地列出函数解析式是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，
点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线顶点为A（2，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵抛物线过点（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a
∵（2，m）为抛物线顶点，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，
∵点C（t，n）在抛物线上，
∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，
∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.
11．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小．
12．（2分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则b的值是 ．
【分析】根据题意可得：把x＝2代入方程x2+bx﹣5＝0中得：4+2b﹣5＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：把x＝2代入方程x2+bx﹣5＝0中得：
4+2b﹣5＝0，
解得：b＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
13．（2分）请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式 y＝﹣2（x+1）2 ．
【分析】开口向下，顶点在x轴上的函数是y＝a（x﹣h）2（a＜0）的形式，举一例即可．
【解答】解：开口向下，即a＜0，顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k＝0，例如y＝﹣2（x+1）2．（答案不唯一）
故答案为y＝﹣2（x+1）2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），此题考查了其中一种函数，要充分理解各函数的关系．
14．（2分）如图，P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，若PC＝2，则PP'＝ 2 ．
【分析】根据正方形的性质得CD＝CB，∠BCD＝90°，再根据旋转的性质得CP＝CP′，∠PCP′＝∠DCB＝90°，则可判断△PCP′为等腰直角三角形，于是PP′＝CP＝2．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝CB，∠BCD＝90°，
∵△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，
∴CP＝CP′，∠PCP′＝∠DCB＝90°，
∴△PCP′为等腰直角三角形，
∴PP′＝CP＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（2分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 2＜x＜5 ．
【分析】根据图象及点A，B坐标求解．
【解答】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方，
∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n，
故答案为：2＜x＜5．
【点评】本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解．
16．（2分）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜2且m≠1 ．
【分析】由关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，根据△的意义得到m﹣1≠0，且Δ＞0，即4﹣4（m﹣1）＞0，解不等式组即可得到m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0，且Δ＞0，即4﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2，
∴m的取值范围是：m＜2且m≠1．
故答案为：m＜2且m≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
17．（2分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机
着陆后滑行 20 s时间才能停下来．
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时t＝﹣，进而得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
18．（2分）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ 4 ．在点D运动过程中，CE的最小值 2 ．
【分析】以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，在Rt△ACB中，BC＝＝4，由△FAD≌△CAE，得CE＝FD，CE最小即是FD最小，此时FD＝CH＝AC＝2，故CE的最小值是2．
【解答】解：以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，如图：
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
∵正△AFC，等边三角形ADE，
∴AD＝AE，AF＝AC，
在△FAD和△CAE中，
，
∴△FAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝FD，
∴CE最小即是FD最小，
∴当FD⊥BD时，FD最小，此时∠FDC＝∠DCH＝∠CHF＝90°，
∴四边形FDCH是矩形，
∴FD＝CH＝AC＝2，
∴CE的最小值是2．
故答案为：4，2．
【点评】本题属动态距离最值问题，将问题转化为一动一静，考虑动点运动轨迹是常用方法，综合性较强，难度较大．
三.解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（5分）解方程：﹣3x﹣5＝0．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵﹣3x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝10，
∴x2﹣6x+9＝19，
∴（x﹣3）2＝19，
∴x＝3±
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若EF＝4，则△DEF的面积为 8 ．
【分析】（1）先根据正方形的性质得到DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°，再根据旋转的性质得到DE＝DF．则可根据“HL”判断Rt△ADE≌Rt△CDF，则∠ADE＝∠CDF．再证明∠EDF＝90°．于是可判断△DEF是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到DE＝DF＝EF＝4，然后根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）△DEF是等腰直角三角形．
理由如下：在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°．
∵F落在边BC的延长线上，
∴∠DCF＝∠DAB＝90°．
∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴DE＝DF．
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠ADE＝∠CDF．
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠CDF+∠EDC＝90°，即∠EDF＝90°．
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝DF＝EF＝×4＝4，
∴△DEF的面积＝×4×4＝8．
故答案为8．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝12m2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣4m＝﹣1，再把（m﹣2）2+3展开得到m2﹣4m+7，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4m）2﹣4m2
＝12m2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：把x＝1代入方程x2﹣4mx+m2＝0得1﹣4m+m2＝0，
即m2﹣4m＝﹣1，
∴（m﹣2）2+3＝m2﹣4m+4+3＝﹣1+4+3＝6．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（5分）已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．
【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点A1、B1绕点C1按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）如图所示，△A2B2C1即为所求．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
23．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）m的值为 3 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当﹣1＜x＜3时，则y的取值范围为 ﹣1≤y＜8 ．
【分析】（1）根据表格数据和二次函数的对称性可得m值；
（2）将（0，3）、（1，0）、（2，﹣1）代入求出a、b、c即可；
（3）根据二次函数函数对称性和性质写出函数取值范围即可．
【解答】解：（1）根据表格数据和函数的对称性可知，函数的对称轴是直线x＝2，
点（0，3）和点（4，m）关于对称轴对称，
∴m＝3，
故答案为：3．
（2）将（0，3）、（1，0）、（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：
，
解得，
二次函数解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（3）当﹣1＜x＜3时，当x＝﹣1时，y＝1+4+3＝8，当x＝2时，y＝﹣1，
∴当﹣1＜x＜3时，﹣1≤y＜8．
故答案为：﹣1≤y＜8．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
24．（5分）如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．
（1）如果两块绿地的面积之和为90m2，求人行通道的宽度；
（2）能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由．
【分析】（1）设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地的长和宽用含有x的式子表示出来，根据“两块矩形绿地的面积共为90平方米”列出关于x的一元二次方程，解之即可；
（2）根据每块绿地的宽与长之比等于3：5列出方程求得人行横道的宽度后与3米比较即可得到答案．
【解答】解：（1）设人行通道的宽度为x米，
则两块矩形绿地的长为（21﹣3x）（米），
宽为（10﹣2x）（米），
根据题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90，
解得：x1＝10（舍去），x2＝2，
答：人行通道的宽度为2米；
（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，
根据题意得：（10﹣2y）：＝3：5，
解得：y＝，
∵＞3，
∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够设出未知数并表示出矩形的长和宽，难度尚可．
25．（6分）下面给出六个函数解析式：
y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ ax2+b|x|+c（a，b，c是常数，a≠0） ，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是 ①③ ；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为 ﹣1，0 ．
【分析】（1）观察这些函数解析式，它们都具有共同的特点，即可以表示；
（2）用描点法将这个函数的图象补充完整即可；
（3）观察图象即可得结论；
①函数图象关于y轴对称；
②有些函数既有最大值，或有最小值；
③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个；
（4）观察函数图象即可得结论．
【解答】解：（1）①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，
可以表示为形如：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）
故答案为：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）．
（2）图象如图1所示．
（3）观察图象可知：
①函数图象关于y轴对称，正确；
②有些函数既有最大值，同时也有最小值，不正确；
③存在某个函数，y＝x2，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小，正确；
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个，错误．
故答案为①③．
（4）
观察图2可知，关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，
则该方程其它的实数根为﹣1，0．
故答案为﹣1，0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的最值，解决本题的关键是准确画出函数图象并根据图象回答问题．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）抛物线的对称轴x＝﹣，计算即可；
（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a，计算即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，即可得出x1的值．
（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；
（2）①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a
＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a
＝0；
②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，
∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，
∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝a﹣2；
（3）方法一、①当a≥﹣1时，
∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，
∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．
若x1＜x2＜a﹣1，
∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意；
若x1＜a﹣1＜x2，
∵a﹣1≥﹣2，
∴2（a﹣1）≥﹣4，
∵x1+x2＜﹣4，
∴x1+x2＜2（a﹣1）．
∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．
∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意．
②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．
方法二、
y1﹣y2＝﹣x12+（2a﹣2）x1+x22﹣（2a﹣2）x2＝（x2﹣x1）（x2+x1）+（2a﹣2）（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（2a﹣2﹣x1﹣x2）＜0，
∵2a﹣2＞x1+x2，
∴x1+x2＜﹣4，
∴2a﹣2≥﹣4，
∴a≥﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
27．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
【分析】（1）由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，再由∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，可得∠B+∠BCA＝180°﹣α，即可证明∠B＝∠ACD；
（2）①在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，先证明△CDM≌△BCN（ASA），再证明△ECM≌△CAN（ASA），即可求解；
②由①可知CM＝BN，CM＝AN，则CM＝AN＝BN＝AB＝a，即可求出AM＝AC﹣CM＝b﹣a．
【解答】解：（1）∠B＝∠ACD，理由如下：
由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，
∴∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，
∵∠A＝α，
∴∠B+∠BCA＝180°﹣α，
∴∠B＝∠ACD；
（2）①DM＝EM，理由如下：
在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，
∵BC＝CD，∠B＝∠ACD，
∴△CDM≌△BCN（ASA），
∴CN＝DM，
∵∠CMD＝∠E+∠BEM，∠BNC＝∠ACN+∠A，
又∵∠ECM＝∠A＝α，
∴∠E＝∠ACN，
∴△ECM≌△CAN（ASA），
∴CN＝EM，
∴DM＝EM；
②由①可知，CM＝BN，CM＝AN，
∴CM＝AN＝BN＝AB＝a，
∴AM＝AC﹣CM＝b﹣a．
【点评】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
28．（6分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不变值的是 ①③ （填序号）；
（2）函数y＝2x2﹣bx．
①若其不变长度为0，则b的值为 ﹣1 ；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为 1≤m≤3或m＜﹣ ．
【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）①首先由函数y＝0，然后由其不变长度为零，求得答案；②由①，利用1≤b≤3，可求得其不变长度q的取值范围；
（3）由记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，可得函数G的图象关于x＝m对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．
【解答】解：（1）∵函数y＝2x，令y＝x，则2x＝x，
解得：x＝0；
∴函数y＝2x有不变值；
∵函数y＝x2+1，令y＝x2+1＝x，
此方程无解；
∴函数y＝x2+1没有不变值；
∵函数y＝x2﹣2x，令y＝x2﹣2x＝x，
解得：x＝0或3；
∴函数y＝x2﹣2x有不变值；
故答案为：①③；
（2）①函数y＝2x2﹣bx，令y＝x，则x＝2x2﹣bx，
整理得：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∵q＝0，
∴x＝0且2x﹣b﹣1＝0，
解得：b＝﹣1；
故答案为：﹣1；
②由①知：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∴x＝0或2x﹣b﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝（b+1），
∵1≤b≤3，
∴1≤x2≤2，
∴1﹣0≤q≤2﹣0，
∴1≤q≤2；
（3）∵记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．
∴函数G的图象关于x＝m对称，
∴G：y＝，
∵当x2﹣2x＝x时，x3＝0，x4＝3；
当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）＝x时，Δ＝1+8m，
当Δ＜0，即m＜﹣时，q＝x4﹣x3＝3；
当△≥0，即m≥﹣时，x5，6＝，
①当﹣≤m≤0时，x3＝0，x4＝3，
∴x6＜0，
∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；
②∵当x5＝x4时，m＝1，当x6＝x3时，m＝3；
当0＜m＜1时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时0＜x5＜x4，x6＜0，q＝x4﹣x6＞3（舍去）；
当1≤m≤3时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时0＜x5＜x4，x6＞0，q＝x4﹣x6＜3；
当m＞3时，x3＝0（舍去），x4＝3（舍去），
此时x5＞3，x6＜0，q＝x5﹣x6＞3（舍去）；
综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．
故答案为：1≤m≤3或m＜﹣．
【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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