山东省菏泽市成武县育青中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份山东省菏泽市成武县育青中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共22页。

注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
3. 在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
【详解】A：，
为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B：，
为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C：
∴AB∥CD
四边形为矩形
故C符合题意
D：
不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
4. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）

A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
5. 已知，则a、b、c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
6. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有3个整数解，即可求解．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴这三个整数是0、1、2，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解不等式组和不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
7. 从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体受到的重力加速度有关，若物体从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间（单位：）与的关系式为（为常数）表示，并且当时，，则从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值．
【详解】解：由题意得，
解得，
则，
当时，
，
从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是利用了待定系数法求解析式．
8. 已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且随的增大而增大，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
9. 如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A. ，B. ，C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和，
则，，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得，
，，
，
故选：C

10. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
【答案】4.5
【解析】
【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．
详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，
∴GD=4.5cm，
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
12. 若点与点关于原点对称，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变化，乘方，关于原点对称的两点的横纵坐标均互为相反数，据此即可解答．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故答案为：
13. 在中，若两直角边，满足，则斜边的长度是______．
【答案】13
【解析】
【分析】利用非负数的和为0，求出a与b的值，再利用勾股定理求即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得c=．
故答案为：13．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理，掌握非负数的性质，勾股定理是解题关键．
14. 的算术平方根是___，的倒数是___．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】先计算的值，再根据算术平方根得定义求解；根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：∵，9的算术平方根是3，
∴的算术平方根是3；
的倒数是；
故答案是：3，．
【点睛】本题考查了算术平方根和倒数的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
15. 如图，在和中，，，则的度数为_____．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】由可得，根据即可求解；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及证明，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
16. “绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植树_________棵．
【答案】125
【解析】
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)x棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入(1+25%)x中即可求出结论．
【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)x棵，
依题意得：，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴(1+25%)x=125．
故答案为：125．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式：_________；
（2）请写出第n个等式________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）仿照题目给出的式子进行作答即可；
（2）观察题目给出的等式，可发现式子的变化特点即可表示出规律；再通过整式的运算去计算左边，与右边作比较，即可证明．
【小问1详解】
由题目给出的等式，可得
故答案为：；
【小问2详解】
由题目给出的等式，可得
证明：左边
∴左边＝右边．
∴等式成立
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察分析发现规律是解题的关键．
18. 如图，过对角线与的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边、、、于点P、M、Q、N．
（1）求证：；
（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由证即可；
（2）由全等三角形的性质得出，同理，得出，证出四边形是平行四边形，再由对角线，即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
如图所示：
由（1）得：，
，
同理：，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19. 如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)， 并修建一条路， 测得千米，千米，千米，

（1）问是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）是村庄C到河边最近的一条路，理由见解析
（2）原来的路线的长为千米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
（1）根据勾股定理逆定理，得出，结合垂线段最短，即可解答；
（2）设千米，则千米，根据勾股定理可得，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵千米，千米，千米，
∴，
∴ ，即，
∴是村庄C到河边最近的一条路；
小问2详解】
解：设千米，
∵千米，
∴千米，
∵，
∴根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴原来的路线的长为千米．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=x与直线l2:y=kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且OA=OB．

(1)试求直线l2的函数表达式；
(2)若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线l2于点D．试求△BCD的面积．
【答案】（1）y=x-10；（2）
【解析】
【分析】（1）把点A的横坐标代入进行解答即可；
（2）根据直线的平移特点进行解答即可．
【详解】解：（1）根据题意，点A的横坐标为3，代入直线l1：y=x中，
得点A的纵坐标为4，即点A（3，4）；
即OA=5，又|OA|=|OB|，
即OB=10，且点B位于y轴上，
即得B（0，-10）；
将A、B两点坐标代入直线l2中，得4=3k+b；
-10=b；
解之得，k=，b=-10；
即直线l2的解析式为y=x-10；
（2）根据题意，平移后的直线l1的直线方程为y＝（x+3）=x+4，
即点C的坐标为（0，4）；
联立线l2的直线方程，解得x=，y=，
即点D（，），
又点B（0，-10），如图所示：
故△BCD的面积S=．
【点睛】此题考查一次函数与几何变换问题，关键是根据直线的平移特点进行解答．
21. 如图，正方形中，，是边的中点，连接，点在上，点在上．
（1）若点是的中点，与交于点，则此时与的数量关系是？说明理由．
（2）若，，与不平行，则此时的长度是多少？
【答案】（1），理由见解析；
（2）7或．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）在中，利用勾股定理求出的长度，由于为的中点，得到的长度，由于，得，从而求得的长度，由于，可以证明，即可解决．
【小问1详解】
解：正方形中，，
，
是边的中点，
，
，
，
，
，，
点是的中点，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：当点在点的上面时，
四边形是正方形，
，，
为边的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
；
当点在点的下面时，如图，
四边形是正方形，
，，，
为边的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：7或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求线段长，是求线段的常用方法．
22. 定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”.
（1）若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由;
（2）设函数与的图像相交于点P.
①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）是函数的“组合函数”
（2）①；②存在，见详解
【解析】
【分析】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点P的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．
【小问1详解】
解：是函数的“组合函数”，
理由：由函数的“组合函数”为：，
把m=3，n=1代入上式，得，
函数是函数的“组合函数”；
【小问2详解】
解：①解方程组得，
函数与的图像相交于点P，
点P坐标为，
的“组合函数”为， ，
，点P在函数“组合函数”图像的上方，
，整理，得，
，，
p的取值范围为；
②存在，理由如下：
函数的“组合函数”图像经过点P．
将点P的坐标代入“组合函数”，得
，
，
，
，，
将代入=，
把y=0代入，得
解得：，
设，则，

，
对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
23. 在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．
（1）如图2，在中，，，，垂足为D．下列3对三角形：①和；②和；③和．其中成自位似轴对称的是 ；（填写所有符合要求的序号）
（2）如图3，在中，是的中点，为内一点，，，连接，求证：．
【答案】（1）①② （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似；
（2）延长，交于，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案．
【小问1详解】
解：如图1，2中：可知和；和是成自位似轴对称．
故答案为：①②；
【小问2详解】
证明：如图，
延长，交于，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了位似、轴对称的性质、相似三角形、三角形中位线定理等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点．