山东省临沂市沂南县沂南中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份山东省临沂市沂南县沂南中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，四象限，但图上经过一，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数)B. x2﹣x﹣2＝0
C. ﹣2＝0D. x2+2x＝x2﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案.
【详解】A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，
B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确，
C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，
D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 下列说法不能判定四边形是矩形的是（ ）
A. 有一个角为90°的平行四边形B. 四个角都相等的四边形
C. 对角线相等的平行四边形D. 对角线互相平分的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法逐项分析即可.
【详解】A. 有一个角为90°的平行四边形，正确；
B. 四个角都相等的四边形，正确；
C. 对角线相等的平行四边形，正确；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故不正确；
故选D.
【点睛】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角的直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
3. 直线y=3x+1不经过的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用两点法可画出函数图象，则可求得答案．
【详解】y=3x+1中，令y=0可得x=-，令x=0可得y=1，
∴直线与x轴交于点（-，0），与y轴交于点（0，1），
其函数图象如图所示，
∴函数图象不过第四象限，
故选D．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，正确画出函数图象是解题的关键．
4. 已知一次函数图象经过与两点，则该函数的图象与y轴交点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求出函数解析式，令，求出函数的图象与y轴交点即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为：，把与代入得：
，解得：，
∴，
∴当时，，
∴该函数的图象与y轴交点的坐标为；
故选C．
5. 已知正比例函数y＝（1﹣k）x．若函数值y随x的增大而减小，则实数k的值可能是（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数值y随x的增大而减小，可得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由正比例函数y＝（1﹣k）x．若函数值y随x的增大而减小，则有：
，
∴，
∴符合题意的只有D选项；
故选D．
【点睛】本题主要考查正比例函数图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．
6. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵∆=，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
7. 已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
【详解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
8. 正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数自变量的系数为1，可判定一次函数的图象经过一、三象限，再对一次函数和正比例函数分类讨论，若 时，刚好符合题意的是C选项．
【详解】A选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过一、三象限，但图上经过二、四象限，不正确；
B选项，一次函数的图象错误，不正确；
C选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过一、三象限，正确；
D选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过二、四象限，但图上经过一、三象限，不正确；
故选C．
【点睛】本题考查正比例函数和一次函数中、对图象的影响，熟练掌握、决定函数图象过的象限是解决本题的关键．
9. 已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系．由当时，函数值为，可得到，再代入当时的函数值中，即可求解．
【详解】解：函数，当时，函数值为，
，
整理可得：，
当时，，
，为整数，
一定为奇数，
函数值不可能是，
故选：B．
10. 如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行.直线沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为（秒），与的函数图象如图2所示，则图2中的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可分析出当t=2时，l经过点A，从而求出OA的长，l经过点C时，t=12，从而可求出a，由a的值可求出AD的长，再根据等腰直角三角形的性质可求出BD的长，即b的值.
【详解】解：连接BD,如图所示：

直线y＝x﹣3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝﹣3，
即直线y＝x﹣3与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，
∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，
由图2可得，t＝2时，直线l经过点A，
∴AO＝3﹣2×1＝1，
∴A（1，0），
由图2可得，t＝12时，直线l经过点C，
∴当t＝+2＝7时，直线l经过B，D两点，
∴AD＝（7﹣2）×1＝5，
∴在等腰Rt△ABD中，BD＝，
即当a＝7时，b＝．
故选A．
【点睛】一次函数与勾股定理在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意求出AD的长是解题的关键.
二、填空题（每题3分，共6题，共18分）
11. 请设计一个一次函数，使其满足以下条件：①图像经过点；②随着的增大而减小，这个函数的表达式可以是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的相关性质是解题的关键．一次函数，若随着的增大而减小，则；若图像经过，将其代入求得的值．
【详解】解：设该一次函数的解析式为，
随着的增大而减小，
，则可取，
，
图像经过，
，
，
这个一次函数的解析式可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60º ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，再利用特殊角60°的三角函数值求解．
【详解】连接PD，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB=PD，
∴PM+PB=PM+PD，
连接MD，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短，
∴这个P点就是要求的P点，
又∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∵M为AB的中点，
∴MD⊥AB，
∵MD=3，
∴AD=MD÷sin60°=3÷=2，
∴AB=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及特殊角的三角函数值，属中等难度．
13. 如图，菱形中，垂直平分，垂足为E，．那么菱形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据线段垂直平分线的性质和菱形的性质得到、的长，再根据勾股定理求得的值，最后根据解题即可．
【详解】解：垂直平分，
，，
四边形为菱形，
，
，
，
故答案为：．
14. 若解方程x+2＝3x﹣2得x＝2，则当x_____时，直线y＝x+2上的点在直线y＝3x﹣2上相应点的上方．
【答案】＜2
【解析】
【分析】若解方程x+2＝3x﹣2得x＝2，即当x＝2时，直线y＝x+2与直线y＝3x﹣2相交，作出函数的大致图象，就可以得到结论．
【详解】由于方程x+2＝3x﹣2的解为：x＝2；
因此直线y＝x+2与直线y＝3x﹣2的交点横坐标为x＝2；
由图可知：当x＜2时，直线y＝x+2上的点在直线y＝3x﹣2上相应点的上方．
【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组，正确作出两个函数的大致图象，是解决本题的关键，可以结合一次函数与方程的关系解决问题．
15. 一元二次方程的两根为，则________________
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系表示出和即可；
【详解】∵，
∴，，，
∴，，
∴，
=，
=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三、解答题（17题8分，18-21题每题10分，22-23题12分）
17. 解方程．
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法求解即可；
（2）根据公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴， ；
【小问2详解】
解：
，，，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活选择适当的方法进行求解是解题的关键．
18. 已知方程．
（1）当为何值时，它是一元二次方程？
（2）当为何值时，它是一元一次方程？
【答案】（1） （2）或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题．
【详解】解：（1）方程为一元二次方程，
，
解得：，
所以当为2或时，方程方程为一元二次方程；
（2）方程为一元一次方程，
或或m=0
解得，或，m=0 ，
故当为2或时，方程方程为一元一次方程．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
19. 已知一次函数的图像经过点（—2，－2）和点（2，4）
（1）求这个函数的解析式；
（2）求这个函数的图像与y轴的交点坐标．
【答案】（1）；（2）（0，1）
【解析】
【分析】设函数关系式为，由图像经过点（—2，－2）和点（2，4）根据待定系数法即可求得这个函数的解析式，再把x=0代入求得的函数解析式即可得到这个函数的图像与y轴的交点坐标．
【详解】解：（1）设函数关系式为
∵图像经过点（—2，－2）和点（2，4）
∴，解得
∴这个函数的解析式为；
（2）在中，当x=0时，
∴这个函数的图像与y轴的交点坐标为（0，1）.
点睛：待定系数法求函数关系式是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
20. 如图所示，矩形中，与交于O点，于E，于F，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵矩形，
∴，
∵于E，于F，
∴，
在和中
∵
∴，
∴．
21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
【答案】（1）k≤；（2）k=﹣1．
【解析】
【详解】【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.
22. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
【解析】
【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，解得：，
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
23. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证.
【详解】
证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中,
∴△BCF≌△CDE(AAS)，
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE.
24. 如图，在平面直角坐标系中，，的面积是2．
（1）求线段的中点C的坐标．
（2）连接，过点O作于E，交于点D．
①直接写出点E的坐标．
②连接，求证：．
【答案】（1）
（2）①点E坐标为；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出的长，进而求出点坐标即可；
（2）①过点E作，勾股定理求出的长，等积法求出的长，求出直线的解析式，设点E的坐标为，勾股定理求出的值，进而得到点坐标即可；
②过点B作的垂线，交于点G，先证明，再证明，得到，即可得证．
【小问1详解】
解：∵，的面积是2．
∴，
∴，
线段的中点C的坐标为：；
【小问2详解】
①过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵C，
∴设直线的解析式为，把C代入，得：，
∴，
∴设点E的坐标为，
由勾股定理得：，
解得，
∴，
∴点E坐标为：．
②证明：过点B作的垂线，交延长线于点G，由（2）①可知，，
∴在和中，

∴，
∴，
∵C为线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，

∴
∴，
又，
∴．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等积法求线段的长等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．