中职数学高教版（2021·十四五）基础模块上册第二章不等式2.3 一元二次不等式公开课教学设计

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2.3 一元二次不等式
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
3 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课从一元二次方程和二次函数之间的关系入手，引导学生借助一
元二次方程的根和二次函数的图像求解一元二次不等式．
教学目标
能知道二次函数的图像，会分析一元二次方程的解与一元二次不等式的解集之间的关系，逐步提高直观想象和和逻辑推理等核心素养；能根据情况，选择求根公式法、因式分解法或配方法等求解一元二次方程，结合二次函数的图像解一元二次不等式，逐步提高数学运算、直观想象
和逻辑推理等核心素养．
教学重点
二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，一元二次
不等式的解法
教学
难点
一元二次不等式的解法
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
我们知道，当 a＞0 时，关于一元二次方程
说明
体会
从学生
ax2＋bx＋c＝0 和二次函数 y＝ax2＋bx＋c 之间
已经了
有表 2-4 所示结论．
回顾
解的一
情境导入
展示关系引导学生观察分析
观察情境思考
元二次方程和二次函数之间的关系入手，利用数形
结合，提
由表中函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像可以看
数形
问题
出新的
出，图像在?轴上方的部分所对应的函数值? Σ
结合
问题，引
0，即
分析
导学生
ax2＋bx＋c＞0，
图像在?轴下方的部分所对应的函数值? € 0，即
ax2＋bx＋c＜0．
像这样，含有一个未知数，并且未知数的最
说明
计算分析判断
主动思考，培养学生直观想象、
逻辑推
高次数为 2 的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为
ax2  bx  c  0 （ a  0 ）．
上面不等式中的“  ”也可以换成“  ”、“≥”或
“≤”.
举例
理等核心素养．
如，x2  9  0 ，3x2  2x 10 ，2x2  5x  4  0
等都是一元二次不等式．
我们知道，一元二次不等式与一元二次方
提问
程、二次函数形式上很接近，关系很密切，那么
引导
我们是能否借助它们之间的关系求解形如
ax2＋bx＋c＜0 或 ax2＋bx＋c＞0
这样的一元二次不等式呢？
学生思考
下面就先来尝试分析一元二次不等式x2  2x  3  0 和二次函数 y  x2  2x  3 、一元二次方程 x2  2x  3=0 之间的关系.
如图(1)所示，二次函数 y  x2  2x  3 的图像与 x 轴交于两点，方程 x2  2x  3=0 的解是x1  1，x2  3 ，也就是抛物线与 x 轴交点(-1,0)和
(3,0)的横坐标．
提出
师生通
要求
体会
过具体
的实例，
共同总
数形
观察
结二次
探索新知
结合
分析
函数、一
元二次
问题
方程与
一元二
次不等
思考
式三者
之间的
从图中我们可以看出，抛物线与 x 轴的两点交点将 x 轴分成了三部分．
如图(2)所示，当-1如图(3)所示，当 x<-1 或 x>3 时，函数的图像位于 x 轴的上方，此时 y>0.
由此得到，不等式 x2  2x  3  0 的解集为(- 1,3)；不等式 x2  2x  3  0 的解集为(-∞，-1)∪ (3,+∞)．
按照上面的分析，我们就可以得到一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a>0)和 ax2＋bx
＋c<0(a>0)的求解方法：
先求出一元二次方程的根，再根据二次函
强调
解释
归纳总结
分析
领会
关系，并利用数形结合进一步来分析和解决问题，归纳总结出一元二次不等式的解法，培
养学生
数图象与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式
的解集．
直观想
象、逻辑
根据一元二次方程判别式的不同取值情况，
推理和
将二次函数图像、一元二次方程的解和一元二
数学抽
次不等式的解集列表如下，见下表，假设 x1  x2 .
总结
象等核
记忆
心素养
例 1 求下列一元二次不等式的解集：
提问
观察
通过例
例题
（1） x 2  x  6  0 ；（2） x(x  3)  0 ；
题帮助
辨析
（3） 2x2  4x  3  0．
学生掌
握一元
解（1）因为不等式的二次项系数 1＞0，对应方
程 x2  x  6=0 的解为x =  2,x  3 ，对应的二次函
12
数的图像如图所示．所以不等式 x 2  x  6  0 的解集为(-2,3)．
因为不等式的二次项系数为 1>0，对应方程 x(x-3)=0 的解为x1 =0,x2  3 ，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式 x(x  3)  0 的解集为,0 3,  ．
因为不等式的二次项系数为 2>0，对应方程2x2  4x 3=0无实数根
（  42  4 2 3  8  0 ），对应二次函数图像如图所示，所以不等式2x2  4x  3  0 的解集为 ．
例2若 3x2  2x 1 有意义，试求 x 的取值范围．
引导
二次不
分析
思考
等式的
解法，培
养学生
数形
求解
的数学
结合
运算、直
得到
观想象
结论
和逻辑
推理等
核心素
提问
观察
养
引导
思考
分析
数形
结合
得到
求解
结论
提问
引导
观察
分析
数形
结合
思考
得到
结论
解要使 3x2  2 x  1 有意义， x 应该满足不等式
3x2  2x 1≥0 ．
因为不等式的二次项系数 3>0，对应方程
3x2  2 x  1  0 的解为x  1 ,x  1，对应的二次函
132
数图像如图所示，所以不等式3x2  2x 1≥0 的解集为(,  1] [1, ) ．
3
即当 x (,  1] [1, ) 时， 3x2  2x 1 有
3
意义．
探究与发现
如何求解一元二次不等式
ax2  bx  c  0(a  0) ？
当二次项系数 a＜0 时，由不等式的性质，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a＜0 的情形转化为 a＞0 的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可．
例 3 求一元二次不等式 x2  4 x  2  0 的解集．解因为不等式的二次项系数为-1<0，所以将不等式的两边同乘1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式
x2  4x  2  0 ，
其对应方程x2  4x  2=0的解为
x1  2  2,x2 = 2+ 2 ，对应的二次函数图像如图
提问
求解
引导
思考
分析
分析
数形
结合
求解
得到
结论
提问
思考
引导
分析
分析
点明
要点
理解
解决
问题
提问
思考
引导
分析
分析
所示．
所以不等式 x2  4x  2  0 的解集为
（-,2- 2)(2+ 2，+)．
即不等式x2  4x  2  0 的解集为
（-,2- 2)(2+ 2，+)．
数形结合得到结论
求解
巩固练习
练习 2.3
1 ．不等式  x  2 x  3  0 的解集为
 ．
A．，2  3， B．，2] [3， )
C．[2, 3]D． 2，3
2．不等式2 x  x2 > 0 的解集为（）．
A． ,0  2, B． 0, 2 C． 0,2D． R
3．不等式 x2  2x 1 0 的解集为（）．
A．1B． ,1  1, 
C．RD． 
4．求下列一元二次不等式的解集：
（1） 5x2  x  6  0 ；（2） x2  3x 10 ≥0 ；
（3） 2 x2  5 x  3  0（4） 2x  x2  3  0 ．
（5）x2  2x 1  0 ；（6）4x2 12x  9  0 ；
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（7） x2  3x  5  0 ；（8） 2x  x2  3  0 ．
当 x 在什么范围取值时， x2  3x 有意义？
若一元二次方程 x2  mx  1  0 无实数解，
求m的取值范围．
培养学
引导
反思
生总结
归纳
总结
总结
交流
学习过
程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
巩固提
布置
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回
高，查漏
作业
顾；
说明
记录
补缺
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．