67-2024年甘肃省兰州市中考数学试卷

这是一份67-2024年甘肃省兰州市中考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2024的绝对值是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．若∠A＝80°，则∠A的补角是（ ）
A．100°B．80°C．40°D．10°
3．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为（ ）
A．87.79×109B．8.779×109
C．8.779×1010D．8.779×1011
4．计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（ ）
A．aB．﹣aC．2aD．﹣2a
5．一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．对顶角相等

7．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A．18mB．24mC．36mD．54m
8．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（ ）
A．﹣9B．4C．﹣1D．1
10．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（ ）
A．100°B．115°C．130°D．145°
12．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为x（s），△BMN的面积为y（cm2）．y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．B．C．4cmD．8cm
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：a2﹣2a+1＝ ．
14．如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝ ．
15．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝ ．
16．甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．
其中正确的是 .（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：﹣×．18．（4分）解不等式组：．
19．（4分）先化简，再求值：，其中a＝4．
20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（2，3），点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB．
（1）求反比例函数与一次函数y＝mx+1的表达式；
（2）当OC＝4时，求△ABD的面积．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
22．（6分）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：
（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
23．（6分）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，BA＝BC．请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明：∵AB＝BC＝BD，
∴△ABC与△ABD是等腰三角形．
∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依据1）
∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依据2）
∴2∠DAC＝180°．∴∠DAC＝90°．
依据1： ：依据2： ；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
24．（6分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．
信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图．
信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．
信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ；
（2）下列结论正确的是 ；（填序号）
①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；
②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；
（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．
25．（6分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，，求ED的长．
27．（8分）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM．
【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明；
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB．试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值．
28．（9分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”．例如：如图1，A（2，4），B（2，2），是线段AB外一点，Q（2，3）在PO的延长线上，且，因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形W1：线段AB，A（2，4），B（2，2），在，P2（﹣1，﹣1），P3（﹣1，﹣2）中， 是图形W1的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形W2：线段BC，B（2，2），C（5，2），若直线MN：y＝﹣x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值；
（3）如图3，已知图形W3：以T（t，1）为圆心，半径为1的⊙T，若以D（﹣1，﹣2），E（﹣1，1），F（2，1）为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
2024年甘肃省兰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．2024的绝对值是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．
【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
2．若∠A＝80°，则∠A的补角是（ ）
A．100°B．80°C．40°D．10°
【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．
3．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为（ ）
A．87.79×109B．8.779×109
C．8.779×1010D．8.779×1011
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：数据87790000000用科学记数法表示为8.779×1010．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（ ）
A．aB．﹣aC．2aD．﹣2a
【分析】根据单项式乘多项式去括号，再用整式的加减法则计算即可．
【解答】解：2a（a﹣1）﹣2a2＝2a2﹣2a﹣2a2＝﹣2a．
故选：D．
【点评】本题主要考查了单项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数y＝ax+b（a≠0）的a、b的符号判定该一次函数所经过的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝2x﹣3经过第一、三、四象限，
即一次函数y＝2x﹣3不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
6．如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等
【分析】根据∠1和∠2在图中的位置判断这两个角是什么角，即可从选项中找出小明判断的依据．
【解答】解：∵∠1和∠2是内错角，∠1＝∠2，
∴判断幸福大街与平安大街互相平行的依据是：内错角相等，两直线平行．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的几个判定方法是解决问题的关键．
7．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A．18mB．24mC．36mD．54m
【分析】依据题意，由D，E分别是边AC，BC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的值即可
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴根据三角形的中位线定理，得：AB＝2DE＝36m．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用三角形中位线定理是关键．
8．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率．
故选：D．
【点评】本题考查概率公式以及七巧板，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
9．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（ ）
A．﹣9B．4C．﹣1D．1
【分析】因为关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×9×c＝0，
解得：c＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
10．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果”列方程组求解．
【解答】解：由题意得：，
故选：A．
【点评】本题考差了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到相等关系是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（ ）
A．100°B．115°C．130°D．145°
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠B＝∠C＝＝25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
12．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为x（s），△BMN的面积为y（cm2）．y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．B．C．4cmD．8cm
【分析】根据题意可知，BN＝x cm，BM＝x cm，结合菱形的性质得∠DBC＝30°，过点M作MH⊥BC于点H，则HM＝x cm，那么y＝x2；设菱形的边长为a cm，则BD＝a cm，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最大值4，利用最大值即可求得x，即可知菱形的边长a．
【解答】解：根据题意可知，BN＝x cm，BM＝x cm，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
过点M作MH⊥BC于点H，连接AC交BD于O，如图，
则MH＝BM×sin∠MBH＝x（cm），
∴y＝S△BMN＝BN•MH＝x2（cm2），
设菱形的边长为a cm，
∴BD＝2BO＝2BCcs∠OBC＝2×a×＝a（cm），
∴点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最大值4，
∴x2＝4，
解得x＝4（负值舍去），
∴BC＝4，
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质和二次函数的性质，关键是根据图象得出△BMN的面积达到最大值4时，M，N的位置．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：a2﹣2a+1＝ （a﹣1）2 ．
【分析】本题直接利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝ 2 ．
【分析】由等边三角形得出AE＝AD＝4，再利用Rt△AEF即可求解．
【解答】解：∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝4，∠DAE＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAF＝30°，
∴EF＝AE＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、含有30°的直角三角形等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝ 108 ．
【分析】利用弧长公式根据点P移动的弧长＝3个⊙M周长，列出关于n的方程，解方程即可．
【解答】解：∵⊙M的周长为2π cm，
∴⊙M顺时针转动3周时，点P移动的弧长为6π cm，
∴6π＝，
解得n＝108，
故答案为：108．
【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
16．甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．
其中正确的是 ①② .（填序号）
【分析】①根据方差的意义判断即可；②根据算术平均数的定义判断即可；③根据随机事件的意义判断即可．
【解答】解：由折线统计图可知，
甲的成绩在3和5之间波动，乙的成绩在3和9之间波动，所以甲的成绩更稳定，故①结论正确；
乙的平均成绩比5大，甲的平均成绩比5小，所以乙的平均成绩更高，故②结论正确；
每人再射击一次，乙的成绩不一定比甲高，故③的结论错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查了方差和折线统计图，掌握方差的意义是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：﹣×．
【分析】先化简二次根式，再按照实数的运算法则进行计算．
【解答】解：﹣×
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
18．（4分）解不等式组：．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得出解集．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣6，
由②得：x＜1，
∴﹣6＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再求出公共部分是解题的关键．
19．（4分）先化简，再求值：，其中a＝4．
【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将a＝4代入运算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝
＝，
当a＝4时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（2，3），点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB．（1）求反比例函数与一次函数y＝mx+1的表达式；
（2）当OC＝4时，求△ABD的面积．
【分析】（1）分别将点A坐标代入两个函数解析式求出m、k值即可得到两个函数解析式；
（2）将x＝4分别代入两个函数解析式得到点B、D的坐标求出BD长，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，3＝2m+1，
解得：k＝6，m＝1，
∴一次函数解析式为：y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；
（2）将x＝4代入一次函数得y＝5，
∴D（4，5），
将x＝4代入反比例函数得y＝，
∴B（4，），
∴BD＝5﹣＝，
∴S△ABD＝＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，由CE∥AD得∠ECD＝∠ADB＝90°，由AE⊥AD得∠EAD＝90°，则∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，由此即可得出结论；
（2）根据等腰三角形性质得BD＝CD＝BC＝2，根据四边形ADCE是矩形，则AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，进而可在Rt△AEC中求出AC＝，然后根据三角形的面积公式可求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由（1）可知：四边形ADCE是矩形，
∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，
由勾股定理得：AC＝＝，
∴EF⊥AC，
由三角形的面积公式得：S△AEC＝AC•EF＝AE•CE，
∴EF＝＝．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
22．（6分）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：
（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
【分析】（1）依据题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝15，故抛物线的顶点为（15，9），从而可设抛物线为y＝a（x﹣15）2+9，又抛物线过（10，8），求出a即可得解；
（2）依据题意，结合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，令x＝5，则y＝﹣（5﹣15）2+9＝5，计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝15，
∴抛物线的顶点为（15，9）．
∴可设抛物线为y＝a（x﹣15）2+9．
又抛物线过（10，8），
∴25a＝﹣1．
∴a＝﹣．
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣15）2+9．
（2）由题意，结合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，
∴令x＝5，则y＝﹣（5﹣15）2+9＝5．
∴水火箭距离地面的竖直高度为5m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
23．（6分）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，BA＝BC．请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明：∵AB＝BC＝BD，
∴△ABC与△ABD是等腰三角形．
∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依据1）
∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依据2）
∴2∠DAC＝180°．
∴∠DAC＝90°．
依据1： 等边对等角（等腰三角形的性质） ：依据2： 三角形内角和定理 ；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）根据“观察发现”延长CB至点D，且DB＝CB，连接CA，AD即可知以点A为顶点的∠DAC为直角；
（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理；
（3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可．
【解答】解：（1）；
（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；
故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；
（3）．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线操作体验．
24．（6分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．
信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图．
信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．
信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 4 ；
（2）下列结论正确的是 ①③ ；（填序号）
①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；
②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；
（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．
【分析】（1）用样本总体减去良好、合格、待提高成绩的人数即可得出答案；
（2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断；②用中位数的定义判断即可；③根据坐标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）m＝20﹣7﹣2﹣7＝4，
故答案为：4，
（2）①根据20位学生的体育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，因此体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的（8÷20）×100%＝40%，故①正确；
②根据20位学生的美育成绩得分统计图可知一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，因此中位数位于80≤x＜90之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误；
③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确；
故答案为：①③；
（3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人，故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有180×＝18（人）．
【点评】本题主要考查了频数分布图和分布表，个体占比，中位数的意义，用样本估计总体等知识，能从图表中获取有用信息进行分析是解题的关键．
25．（6分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05．
【分析】在Rt△BOD中，根据BD的长，由tan∠BOA，求出OD的长，由sin∠BOA，求出OB的长，在Rt△COE中，根据OB＝OC，利用cs∠COE，求出OE的长，由OE﹣OD求出ED的长即可．
【解答】解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm，
∴tan∠BOA＝，sin∠BOA＝，
∵2.05≈，0.90≈，
∴OD≈10（cm），OB≈22.78（cm），
在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78cm，∠COA＝37°，
∴cs∠COA＝，即cs37°≈，
整理得：OE≈22.78×0.80≈18.224（cm），
则ED＝OE﹣OD≈8.2（cm）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，，求ED的长．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，进而得∠DBA＝∠BDO证明Rt△BCD和Rt△BDA全等得∠CBA＝∠DBA，根据∠ADE＝∠CBA，得∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，再根据∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°得∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，据此可得出结论；
（2）根据BO＝4得AB＝2OB＝8，则EB＝AE+8，根据∠CBA＝∠DBA得tan∠DBA＝，则tan∠DBA＝AD/BD＝，设AD＝a，BD＝2a，证明△EAD∽△EDB得ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得AE＝ED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得2ED＝AE+8，则2ED＝ED+8，据此可得ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠BDA＝90°，OB＝OD，
∴∠DBA＝∠BDO，
在Rt△BCA和Rt△BDA中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），
∴∠CBA＝∠DBA，
∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，
∵∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°，
∴∠ADE+∠ADO＝90°，
即ED⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵BO＝4，
∴AB＝2OB＝8，
∴EB＝AE+AB＝AE+8，
∵tan∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA，
∴tan∠DBA＝，
在Rt△ABD中，tan∠DBA＝，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，
∴△EAD∽△EDB，
∴ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，
即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，
由AE：ED＝a：2a，得：AE＝ED，
由ED：（AE+8）＝a：2a，得：2ED＝AE+8，
∴2ED＝ED+8，
∵ED＝．
【点评】此题主要切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质，锐角三角形函数进行计算是解决问题的关键．
27．（8分）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM．
【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明；
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB．试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值．
【分析】（1）证明△ANM≌△MBD（SAS），得到MN＝DB；
（2）证明AD∥BF，DB∥AF，得出四边形AFBD为平行四边形；
（3）过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM、GC，BG，延长CB，过点G作GO⊥CB于点O，当点G、M、C三点共线时，BN+CM的值最小，最小值为CG的值，在Rt△GOC中，，得出BN+CM的最小值为．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC，
∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，
∴DM＝AM，∠AMD＝120°，
∴∠DMB＝60°，
∵AN＝BM，∠DMB＝∠A＝60°，
∴△ANM≌△MBD（SAS），
∴MN＝DB；
（2）解：四边形AFBD为平行四边形，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，
∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMA＝∠DMB＝90°，
∴∠MAD＝∠ABF＝45°，
则AD∥BF，
在△ANM和△MBD中，
，
∴△ANM≌△MBD（SAS），
∴∠AMN＝∠MDB，
∵AE⊥MN，
∴∠AMN+∠MAE＝90°，
∵∠MDB+∠MBD＝90°，
∴∠DBM＝∠MAF，
∴DB∥AF，
∴四边形AFBD为平行四边形；
（3）解：如图，过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM、GC，BG，延长CB，过点G作GO⊥CB于点O，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠GAM＝∠BCN＝45°，
∵AN＝BM，
∴AM＝CN，
又∵AG＝CB，
∴△GAM≌△BCN（SAS），
∴GM＝BN，
∴BN+CM＝GM+CM≥CG，
∴当点G、M、C三点共线时，BN+CM的值最小，最小值为CG的值，
∵∠GAM＝∠ABC＝45°，
∴AG∥BC，
∴∠BAC＝∠ABG＝90°，
∴∠GBO＝180°﹣∠ABG﹣∠ABC＝45°，
∴∠GBO＝45°，
∴OG＝OB，
∴，
∴，
∴，
在Rt△GOC中，，
∴BN+CM的最小值为．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，BN+CM的值最小，最小值为CG的值是解题的关键．
28．（9分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”．例如：如图1，A（2，4），B（2，2），是线段AB外一点，Q（2，3）在PO的延长线上，且，因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形W1：线段AB，A（2，4），B（2，2），在，P2（﹣1，﹣1），P3（﹣1，﹣2）中， P2，P3 是图形W1的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形W2：线段BC，B（2，2），C（5，2），若直线MN：y＝﹣x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值；
（3）如图3，已知图形W3：以T（t，1）为圆心，半径为1的⊙T，若以D（﹣1，﹣2），E（﹣1，1），F（2，1）为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）作线段AB以原点为位似中心，位似比为2：1的位似图形A′B′，得出P2（﹣1，﹣1），P3（﹣1，﹣2）在线段A′B′上，由此得出P2，P3是图形W1的“延长2分点”；
（2）作BC以原点为位似中心，位似比为2：1的位似图形B′C′，当MN：y＝﹣x+b过点C′时，b值最小，把，代入y＝﹣x+b，得：，得出b的最小值为；
（3）当⊙T与D′E′相切时，t＝1或t＝3，得出1≤t≤3满足题意；当⊙T与D′F′相切时，且切点为G，或，得出满足题意．
【解答】解：（1）作线段AB以原点为位似中心，位似比为2：1的位似图形A′B′，
∵A（2，4），B（2，2），
∴A′（﹣1，﹣2），B′（﹣1，﹣1），
∵点P是图形W1的“延长2分点”，
∴点P在线段A′B′上，
∴P2（﹣1，﹣1），P3（﹣1，﹣2）在线段A′B′上，
∴P2，P3是图形W1的“延长2分点”，
故答案为：P2，P3；
（2）作BC以原点为位似中心，位似比为2：1的位似图形B′C′，
∵B（2，2），C（5，2），
∴B′（﹣1，﹣1），，
∵直线MN：y＝﹣x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，
∴直线MN：y＝﹣x+b与B′C′有交点，
∴当MN：y＝﹣x+b过点C′时，b值最小，
把，代入y＝﹣x+b，得：，
∴b的最小值为；
（3）作△DEF以原点为位似中心，位似比为1：2的位似△D′E′F′，
∵D（﹣1，﹣2），E（﹣1，1），F（2，1），
∴D′（2，4），E′（2，﹣2），F′（﹣4，﹣2），
∵等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”，
∴当W3与△D′E′F′有交点时，满足题意，
当⊙T与D′E′相切时，如图，则：t＝1或t＝3，
∴1≤t≤3；
当⊙T与D′F′相切时，且切点为G，连接TG，则：∠TGE＝90°，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴△D′E′F′为等腰直角三角形，
∵E（﹣1，1），F（2，1），E′（2，﹣2），F′（﹣4，﹣2），
∴EF∥E′F′∥x轴，
∴∠D′F′E′＝45°，
∵以T（t，1）为圆心，半径为1的⊙T，
∴T点在直线EF上，TG＝1，
∴∠TEG＝∠D′E′F′＝45°，
∴，
∴或，
∴；
综上：1≤t≤3或．
【点评】本题考查坐标与图形变换一位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并 掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/19 15:59:15；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433水平距离x（m）
0
3
4
10
15
20
22
27
竖直高度y（m）
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24
分组
90≤x≤100
80≤x＜90
70≤x＜80
x＜70
人数
m
7
2
7
实验主题
探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具
摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明
如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）
如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示

水平距离x（m）
0
3
4
10
15
20
22
27
竖直高度y（m）
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24
分组
90≤x≤100
80≤x＜90
70≤x＜80
x＜70
人数
m
7
2
7
实验主题
探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具
摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明
如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）
如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示