2023年甘肃省兰州市中考数学试卷

这是一份2023年甘肃省兰州市中考数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年甘肃省兰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣5的相反数是（　　）
A． B．﹣5 C． D．5
2．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
3．（3分）计算：＝（　　）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
4．（3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．110° D．135°
5．（3分）方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝5 D．x＝﹣5
6．（3分）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝（　　）

A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
7．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
9．（3分）2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一，如图反映了2021年，2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况，（2022年同比增长速度＝×100%），根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）

A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
10．（3分）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
11．（3分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：x2﹣25y2＝　 　．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　 　°．

15．（3分）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则b﹣a＝　 　．

16．（3分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.5300
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 　 　．（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：．
18．（4分）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．
19．（4分）解不等式组：．
20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．

21．（6分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所着的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：　 　；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

22．（6分）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33）

23．（6分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．

24．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
（2）当CD＝4时，求EG的长．

25．（6分）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．

信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组
y＜6.0
6.0≤y＜6.8
6.8≤y＜7.6
7.6≤y＜8.4
8.4≤y＜9.2
9.2≤y
人数
2
m
10
9
6
2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
学生
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
排球垫球
26
25
23
22
22
15
掷实心球
▲
7.8
7.8
▲
8.8
9.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　 　；
（2）下列结论正确的是 　 　；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）判断△DGB的形状，并说明理由；
（3）当BD＝2时，求FG的长．

27．（8分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是△ABC 上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
28．（9分）综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．

2023年甘肃省兰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣5的相反数是（　　）
A． B．﹣5 C． D．5
【分析】符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可得出答案．
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：D．
【点评】本题考查相反数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】利用对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，由量角器度量的方法可得结论．
【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC，
∵∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝50
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角相等和量角器的度量的方法，掌握这些知识点是解题的关键．
3．（3分）计算：＝（　　）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
【分析】先把分式的分子因式分解，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝a，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
4．（3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．110° D．135°
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴每一个外角为360°÷8＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．
5．（3分）方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝5 D．x＝﹣5
【分析】方程两边同时乘以x+3，即可转化为一个整式方程，求得方程的根后要验根．
【解答】解：方程两边同乘x+3，得2＝x+3
解得x＝﹣1．
检验：x＝﹣1时，x+3≠0．
∴x＝﹣1是原分式方程的解．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
6．（3分）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝（　　）

A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
【分析】由弧长公式：l＝（n是弧的圆心角的度数，r是弧的半径长），即可计算．
【解答】解：∵圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，
∴的长＝＝10π（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
7．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
【分析】利用二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
抛物线开口向下，x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b2﹣4c﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一，如图反映了2021年，2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况，（2022年同比增长速度＝×100%），根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）

A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
【分析】根据折线统计图的信息进行求解即可．
【解答】解：由统计图可知，
2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，原说法正确，故选项A不符合题意；
2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，原说法正确，故选项B不符合题意；
相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，原说法正确，故选项C不符合题意；
相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法错误，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．
10．（3分）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】根据平行线的性质及等腰三角形的性质求解．
【解答】解：由作图得：a∥b，
∴∠CON＝∠MNO＝35°，
∵OA＝OB，C平分AB，
∴OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠CON＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行线的性质及等腰三角形的性质是截图的关键．
11．（3分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小k＜0，分别计算各选项中y和x值下的k值，看哪个是负数，哪个就符合题意．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
A、当x＝2，y＝2时，k＝，不符合题意；
B、当x＝2，y＝1时，k＝1，不符合题意；
C、当x＝2，y＝﹣1时，k＝0，不符合题意；
D、当x＝2，y＝﹣2时，k＝﹣，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＜0．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BF＝AG＝5，然后在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，
∴，
∴BG＝BF＝5，
在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，
由勾股定理得：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，圆的概念，勾股定理等，解答此题的关键是理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；同圆的半径相等．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：x2﹣25y2＝　（x﹣5y）（x+5y）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y）．
故答案为：（x﹣5y）（x+5y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　50　°．

【分析】因为BD＝CD，所以∠DBC＝∠C＝70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC＝70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，由余角的性质可求∠DAE，即可求解．
【解答】解：在△DBC中，
∵BD＝CD，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝50°．
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了平行四边形的基本性质，以及等腰三角形的性质，难易程度适中．
15．（3分）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则b﹣a＝　3﹣　．

【分析】利用正方形的面积求得OA＝，OD＝3，根据旋转的性质得出a＝OA＝，b＝OD＝3，从而求得b﹣a＝3﹣．
【解答】解：∵正方形OABC和正方形ODEF的面积分别为7和9，
∴OA＝，OD＝3，
∴a＝OA＝，b＝OD＝3，
∴b﹣a＝3﹣．
故答案为：3﹣．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键．
16．（3分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.5300
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 　①③　．（填序号）
【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确，
故答案为：①③．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．
三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（4分）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．
【分析】利用平方差公式及单项式乘多项式法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）
＝x2﹣4y2﹣3y+4y2
＝x2﹣3y．
【点评】本题考查整式的混合运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
19．（4分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x＞3，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为3＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B（﹣4，1），C（，1），从而求得BC＝4．
【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），
∴4＝，4＝﹣2×（﹣1）+m，
∴k＝﹣4，m＝2，
∴反比例函数为y＝﹣，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴于点D，
∴BC∥x轴，
∵OD＝1，
∴B、C的纵坐标为1，
∴B（﹣4，1），C（，1），
∴BC＝＝4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21．（6分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所着的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：　SSS　；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】（1）由等边三角形的性质得CE＝DE，再证△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出结论；
（2）证△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；
（3）先作∠BAC的平分线AK，再在AK上截取AE＝AD即可．
【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴OE是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的平分线；
（3）如图，

点E即为所求的点．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
22．（6分）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33）

【分析】先在Rt△ABC中由AB＝18m，∠BAC＝38°得BC＝AB•tan∠BAC＝14.04（m），再在Rt△ABD中由AB＝18m，∠BAD＝53°得BD＝AB•tan∠BAD＝23.94m，然后由CD＝BD﹣BC即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，
∵，
∴BC＝AB•tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），
在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，
∵，
∴BD＝AB•tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），
∴CD＝BD﹣BC＝13.94﹣14.04＝9.9（m）．
答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义．
23．（6分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．

【分析】（1）用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1），令y＝0解得x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，
设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；
（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，
解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．
24．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
（2）当CD＝4时，求EG的长．

【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，再证△FDC和△FOE全等得CD＝OE，据此可得ED＝OE＝CD＝CO，进而可判定四边形OCDE的形状；
（2）先证△ODC为等边三角形得DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，进而DF＝2，据此再分别求出CF，GF，进而可得EG的长．
【解答】解：（1）四边形OCDE是菱形，理由如下：
∵CD∥OE，
∴∠FDC＝∠FOE，
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，
在△FDC和△FOE中，
，
∴△FDC≌△FOE（ASA），
∴CD＝OE，
又ED＝OE，CD＝CO，
∴ED＝OE＝CD＝CO，
∴四边形OCDE是菱形．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴CD＝CO，
∴CD＝CO＝DO，
∴△ODC为等边三角形，
∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，
∴，
在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，
由勾股定理得：，
由（1）可知：四边形OCDE是菱形，
∴，
∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，
∴，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答此题关键是理解菱形的判定，等边三角形的性质，数量利用勾股定理锐角三角函数进行计算．
25．（6分）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．

信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组
y＜6.0
6.0≤y＜6.8
6.8≤y＜7.6
7.6≤y＜8.4
8.4≤y＜9.2
9.2≤y
人数
2
m
10
9
6
2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
学生
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
排球垫球
26
25
23
22
22
15
掷实心球
▲
7.8
7.8
▲
8.8
9.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　11　；
（2）下列结论正确的是 　②③　；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得m的值；
（2）根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数，根据题意和表格中的数据可以逐一判断；
（3）根据题意和表格中的数据可以求得全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣9﹣6﹣2＝11，
故答案为：11；
（2）由条形统计图可得，排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比：≥65%，①错误．
掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6，②正确．
若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
理由：如果学生3的掷实心球的成绩未到达优秀，那么只有学生1、4、5、6有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，③正确．
故答案为：②③；
（2）∵排球垫球成绩达到22个及以上的人数：10人，
∴全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是：300×＝75，
答：估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是有75人．
【点评】本题考查频数分布表、条形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）判断△DGB的形状，并说明理由；
（3）当BD＝2时，求FG的长．

【分析】（1）连接OC，由圆周有定理得出∠BOD＝∠BOC，由等腰三角形的性质证出∠GBF＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）由垂径定理得出DB＝BC，DC⊥AB，证出∠DCB＝∠CDB，由直角三角形的性质得出∠DGB＝∠DBG，则可得出结论；
（3）由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵，
∴∠BOD＝∠BOC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠BOC＝2∠A，
又∵∠BOD＝2∠F，
∴∠A＝∠F，
又∵∠AGE＝∠BGF，
∴∠AEG＝∠GBF，
∵DE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
∴∠GBF＝90°，
∴OB⊥BF，
∵OB为半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：△DGB为等腰三角形，
理由：∵，
∴DB＝BC，DC⊥AB，
∴∠DCB＝∠CDB，
∵OB⊥BF，
∴DC∥BF，
∴∠BDC＝∠DBF，
又∵∠BDC＝∠A，
∴∠DBF＝∠A，
又∵∠A＝∠F，
∴∠DBF＝∠F，
∵∠GBF＝90°，
∴∠F+∠DGB＝90°，∠DBG+∠DBF＝90°，
∴∠DGB＝∠DBG，
∴DB＝DG，
即△DBG为等腰三角形；
（3）解：由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，
∴DF＝DB，
∴DF＝DG＝DB＝2，
∴FG＝4．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
27．（8分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是△ABC 上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）由已知点的坐标可求出∠TGO＝30°且P到EF的距离为2，从而利于三角比可求出线段GP的长，进而可得点P的坐标；
（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜），当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，从而可得＝2a，求出a即可求出三角形的边长；
（3）由已知点的坐标，求出正方形的边长为1，即可求出P到EF的距离为，从而可得P既在正方形的边上，也在到EF距离为的直线上，当b≤1时，EF向上平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值；当b＞1时，EF向下平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值，即可求出b的取值范围．
【解答】解：（1）AB线段上任意两点距离的最大值为3﹣1＝2，即P到EF的距离为2，
过P作PC⊥EF于点C，由题意知，GO＝1，TO＝，
则tan∠TGO＝＝，
∴∠TGO＝30°，
∴GP＝＝＝4，
∴P（3，0）．

（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜），则C（a，），
△ABC上任意两点距离的最大值即为2a，
当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，距离为，由题意知，
＝2a，
解得，a＝1或﹣1（舍去），
所以此时等边三角形ABC的边长为2．
（3）由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为＝，
即正方形ABCD上始终存在点P，P到EF的距离为．
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l1，l1与EF平行，且两直线间的距离为，
所以P既在l1上，又在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点．
当b≤1时，l1为y＝﹣x+b+2，
当l1过A时，b＝﹣1，
当l1过C时，b＝1，
即﹣1≤b≤1；
当b＞1时，l1为y＝﹣x+b﹣2，
当l1过A时，b＝3，
当l1过C时，b＝5，
即3≤b≤5；

综上所述，当﹣1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”．
【点评】本题属于新定义问题，主要考查了一次函数的相关知识以及三角比的应用．本题的解题关键是读懂定义，找到每个情况下P到直线EF的实际距离．
28．（9分）综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，得到∠ADG＝∠CDF，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
（2）根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，求得∠G＝∠DFC＝90°，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠ADC＝90°，求得∠ADG＝∠CDF，根据全等三角形的性质得到AG＝CF，DG＝DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接AC，根据正方形的性质得到∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝CF，DG＝DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM＝45°，
∴∠HAB＝∠MAC，
∵，
∴△AHB∽△AMC，
∴，
即BH＝CM．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
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