2024年甘肃省兰州市中考数学试卷附真题答案

这是一份2024年甘肃省兰州市中考数学试卷附真题答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2024的绝对值是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（3分）若∠A＝80°，则∠A的补角是（ ）
A．100°B．80°C．40°D．10°
3．（3分）2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，数据87790000000用科学记数法表示为（ ）
A．87.79×109B．8.779×109
C．8.779×1010D．8.779×1011
4．（3分）计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（ ）
A．aB．﹣aC．2aD．﹣2a
5．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等
7．（3分）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后步测出AC，BC的中点D，E，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A．18mB．24mC．36mD．54m
8．（3分）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（ ）
A．﹣9B．4C．﹣1D．1
10．（3分）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果y个，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DA⊥AC，则∠ADB＝（ ）
A．100°B．115°C．130°D．145°
12．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M从B出发沿BD方向以的速度运动至D，设运动时间为x（s），△BMN的面积为y（cm2）．y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．B．C．4cmD．8cm
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：a2﹣2a+1＝ ．
14．（3分）如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，则EF＝ ．
15．（3分）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，则n＝ ．
16．（3分）甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．
其中正确的是 .（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：﹣×．
18．（4分）解不等式组：．
19．（4分）先化简，再求值：，其中a＝4．
20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（2，3），BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D（1）求反比例函数与一次函数y＝mx+1的表达式；
（2）当OC＝4时，求△ABD的面积．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE∥AD，AE⊥AD
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
22．（6分）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：
（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
23．（6分）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角
①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合；
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，BA＝BC．请画出以点A为顶点的直角；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理
证明：∵AB＝BC＝BD，
∴△ABC与△ABD是等腰三角形．
∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依据1）
∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依据2）
∴2∠DAC＝180°．
∴∠DAC＝90°．
依据1： ：依据2： ；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
24．（6分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．对数据进行整理，部分信息如下．
信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图．
信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．
信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ；
（2）下列结论正确的是 ；（填序号）
①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；
②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，需要进一步提升；
（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．
25．（6分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC＝BD，延长BA至E
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，，求ED的长．
27．（8分）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，N分别为AB，AC上的动点（不含端点）
【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，连接BD，则MN＝DB；
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，连接BN，请直接写出BN+CM的最小值．
28．（9分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”．例如：如图1，A（2，4），B（2，2），，Q（2，3）在PO的延长线上，且，因为点Q在线段AB上
（1）如图1，已知图形W1：线段AB，A（2，4），B（2，2），在，P2（﹣1，﹣1），P3（﹣1，﹣2）中， 是图形W1的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形W2：线段BC，B（2，2），C（5，2），若直线MN：y＝﹣x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值；
（3）如图3，已知图形W3：以T（t，1）为圆心，半径为1的⊙T（﹣1，﹣2），E（﹣1，1），F（2，1）为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
1．B．
2．A．
3．C．
4．D．
5．B．
6．B．
7．C．
8．D．
9．D．
10．A．
11．B．
12．C．
13．（a﹣5）2．
14．2．
15．108．
16．①②．
17．解：﹣×
＝
＝．
18．解：，
由①得：x＞﹣6，
由②得：x＜2，
∴﹣6＜x＜1．
19．解：原式＝÷
＝÷
＝
＝，
当a＝8时，
原式＝＝．
20．解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（6，
∴k＝2×3＝4，3＝2m+4，
解得：k＝6，m＝1，
∴一次函数解析式为：y＝x+4，反比例函数解析式为y＝；
（2）将x＝4代入一次函数得y＝4，
∴D（4，5），
将x＝3代入反比例函数得y＝，
∴B（7，），
∴BD＝6﹣＝，
∴S△ABD＝＝．
21．（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由（1）可知：四边形ADCE是矩形，
∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，AE＝5，
由勾股定理得：AC＝＝，
∴EF⊥AC，
由三角形的面积公式得：S△AEC＝AC•EF＝，
∴EF＝＝．
22．解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝，
∴抛物线的顶点为（15，9）．
∴可设抛物线为y＝a（x﹣15）7+9．
又抛物线过（10，8），
∴25a＝﹣4．
∴a＝﹣．
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣15）4+9．
（2）由题意，结合（1）y＝﹣5+9，
∴令x＝5，则y＝﹣2+9＝8．
∴水火箭距离地面的竖直高度为5m．
23．解：（1）；
（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；
故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；
（3）．
24．解：（1）m＝20﹣7﹣2﹣5＝4，
故答案为：4，
（2）①根据20位学生的体育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有5人，因此体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的（8÷20）×100%＝40%；
②根据20位学生的美育成绩得分统计图可知一共有20人，成绩从小到大排序，因此中位数位于80≤x＜90之间，故②错误；
 ③在信息三中，点A的美育成绩为90，点B的美育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，但美育水平还存在一定差距，故③正确；
故答案为：①③；
（3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人＝18（人）．
25．解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，BD＝20.5cm，
∴tan∠BOA＝，sin∠BOA＝，
∵2.05≈，0.90≈，
∴OD≈10（cm），OB≈22.78（cm），
在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78cm，
∴cs∠COA＝，即cs37°≈，
整理得：OE≈22.78×8.80≈18.224（cm），
则ED＝OE﹣OD≈8.2（cm）．
26．（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠BDA＝90°，OB＝OD，
∴∠DBA＝∠BDO，
在Rt△BCA和Rt△BDA中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），
∴∠CBA＝∠DBA，
∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，
∵∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°，
∴∠ADE+∠ADO＝90°，
即ED⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵BO＝4，
∴AB＝2OB＝4，
∴EB＝AE+AB＝AE+8，
∵tan∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA，
∴tan∠DBA＝，
在Rt△ABD中，tan∠DBA＝，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，
∴△EAD∽△EDB，
∴ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，
即ED：（AE+4）＝AE：ED＝a：2a，
由AE：ED＝a：2a，得：AE＝，
由ED：（AE+8）＝a：4a，得：2ED＝AE+8，
∴8ED＝ED+2，
∵ED＝．
27．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC，
∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，
∴DM＝AM，∠AMD＝120°，
∴∠DMB＝60°，
∵AN＝BM，∠DMB＝∠A＝60°，
∴△ANM≌△MBD（SAS），
∴MN＝DB；
（2）解：四边形AFBD为平行四边形，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，
∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，
∴∠MAD＝∠ABF＝45°，
则AD∥BF，
在△ANM和△MBD中，
，
∴△ANM≌△MBD（SAS），
∴∠AMN＝∠MDB，
∵AE⊥MN，
∴∠AMN+∠MAE＝90°，
∵∠MDB+∠MBD＝90°，
∴∠DBM＝∠MAF，
∴DB∥AF，
∴四边形AFBD为平行四边形；
（3）解：如图，过点A作∠BAG＝45°，连接GM，BG，过点G作GO⊥CB于点O，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠GAM＝∠BCN＝45°，
∵AN＝BM，
∴AM＝CN，
又∵AG＝CB，
∴△GAM≌△BCN（SAS），
∴GM＝BN，
∴BN+CM＝GM+CM≥CG，
∴当点G、M、C三点共线时，最小值为CG的值，
∵∠GAM＝∠ABC＝45°，
∴AG∥BC，
∴∠BAC＝∠ABG＝90°，
∴∠GBO＝180°﹣∠ABG﹣∠ABC＝45°，
∴∠GBO＝45°，
∴OG＝OB，
∴，
∴，
∴，
在Rt△GOC中，，
∴BN+CM的最小值为．
28．解：（1）作线段AB以原点为位似中心，位似比为2：1的位似图形A′B′，
∵A（6，4），2），
∴A′（﹣5，﹣2），﹣1），
∵点P是图形W8的“延长2分点”，
∴点P在线段A′B′上，
∴P2（﹣6，﹣1），P3（﹣8，﹣2）在线段A′B′上，
∴P2，P3是图形W1的“延长2分点”，
故答案为：P6，P3；
（2）作BC以原点为位似中心，位似比为2：6的位似图形B′C′，
∵B（2，2），5），
∴B′（﹣1，﹣1），，
∵直线MN：y＝﹣x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，
∴直线MN：y＝﹣x+b与B′C′有交点，
∴当MN：y＝﹣x+b过点C′时，b值最小，
把，代入y＝﹣x+b，
∴b的最小值为；
（3）作△DEF以原点为位似中心，位似比为4：2的位似△D′E′F′，
∵D（﹣1，﹣2），1），1），
∴D′（3，4），﹣2），﹣4），
∵等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”，
∴当W6与△D′E′F′有交点时，满足题意，
当⊙T与D′E′相切时，如图，
∴1≤t≤3；
当⊙T与D′F′相切时，且切点为G，则：∠TGE＝90°，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴△D′E′F′为等腰直角三角形，
∵E（﹣5，1），1），﹣4），﹣2），
∴EF∥E′F′∥x轴，
∴∠D′F′E′＝45°，
∵以T（t，1）为圆心，
∴T点在直线EF上，TG＝3，
∴∠TEG＝∠D′E′F′＝45°，
∴，
∴或，
∴；
综上：1≤t≤7或．水平距离x（m）
0
3
4
10
15
20
22
27
竖直高度y（m）
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24
分组
90≤x≤100
80≤x＜90
70≤x＜80
x＜70
人数
m
7
2
7
实验主题
探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具
摆球，摆线，支架
实验说明
如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手（摆线的长度变化忽略不计）
如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示