重庆市巴渝学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份重庆市巴渝学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题题主要考查绝对值的性质，熟知绝对值的性质是解题的关键．
利用绝对值的定义求解即可．
【详解】解：的绝对值是5．
故选：B．
2. 如图是由5个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共3列，下面一层共有3个小正方形，上面一层中间一列和右边一列各有1个小正方形，即看到的图形为，
故选A．
3. 下列各坐标表示的点在反比例函数图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．
【详解】A选项：，所以不在函数图象上；
B选项：，所以不在函数图象上；
C选项：，所以在函数图象上；
D选项：，所以不在函数图象上；
故选：C．
【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案．
【详解】解：设点的坐标是，
，
，，
与位似，原点是位似中心，，
，，
点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查是位似图形的概念及性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
5. 如图，现将一块三角板的含有角的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，根据平行线的性质得到，据此求出即可求出的度数．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6. 估计的值在（ ）
A. 3到4之间B. 4到5之间C. 5到6之间D. 6到7之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算的取值范围，再估算的取值范围即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的值应在4和5之间．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是要弄清估算的方法．
7. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．利用函数图象得到当一次函数图象不在反比例函数图象上方时x的取值即可．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象不在反比例函数图象上方时，x的取值范围是：或，
∴不等式的解集是：或，
故选：D．
8. 如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等．根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，即可解答．
【详解】解：，
，
故选：D．
9. 如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形的性质得到AD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠AED=70°，求得∠ADE=180°-70°-70°=40°，得到∠EDC=50°，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】解：，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.
10. 已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“和差操作”，例如：为一次“和差操作”，为“和差操作”的一种运算结果下列说法：
①存在两种“和差操作”运算结果的和为2x；
②不存在两种“和差操作”运算结果的差为；
③所有的“和差操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】结合题干，举例即可判断①；直接列举出所有结果即可判断③；将列举的结果任选两组相加，即可判断②；问题随之得解．
【详解】为一次“和差操作”，
为一次“和差操作”，
上述两种“和差操作”运算结果的和为2x，故①正确；
情况1：；
情况2：；
情况3：，与情况1重复；
情况4：；
情况5：；
情况6：，与情况4重复；
情况7：，与情况2重复；
情况8：，与情况4重复；
情况9：；
情况10：，与情况4重复；
情况11：，与情况9重复；
情况12：，与情况2重复；
绝对值中字母对调，不影响结果，
则共计5种结果，故③正确；
将上述五种结果，任意选取两组的结果相减，没有结果为，故②正确，
则正确的有3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，列举出所有可能结果，是解答本题的关键．
二、填空题
11. 计算：______．
【答案】-3
【解析】
【分析】由，，再根据有理数的加减法法则计算即可．
【详解】原式．
【点睛】本题主要考查了零指数次幂，绝对值的性质，掌握运算法则是解题的关键．
12. 若一个正多边形每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于____度．
【答案】1800
【解析】
【详解】多边形的外角和等于360°，则正多边形的边数是360°÷30°=12，所以正多边形的内角和为.
13. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“1”、“2”、“3”、“6”四个数字，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，
∴从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法和概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14. 某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为128元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______．
【答案】2001-x2=128
【解析】
【分析】设该种商品平均每次降价的百分率是，根据“原价每件200元，经过两次降价，现售价每件128元．”列出方程，即可求解．
【详解】设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程得：
2001-x2=128．
故答案为：2001-x2=128．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
15. 如图，在中，，，于D，于E，AD与交于H，则________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，解题的关键是延长交AB于点F，利用三角形的三条高交于一点解决问题解决问题．
【详解】解：延长交AB于点F，
在中，三边的高交于一点，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
在中，三内角之和为，
∴，
故答案为：．
16. 如图，半圆的直径，为上一点，点为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查圆的基础知识，不规则图形面积的计算方法，掌握扇形面积的计算是解题的关键．
根据题意，可求出的度数，且与等底等高，所以阴影部分的面积为扇形的面积，由此即可求解．
【详解】解：∵点为半圆的三等分点，
∴，
∵半圆的直径，
∴，
∵与等底等高，
∴阴影部分的面积为扇形的面积，
∴扇形的面积，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
17. 若关于y的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的知识，解题的关键是先求出不等式组，根据不等式无解求出的值，再根据分式方程的解为负数，求出，根据为整数，确定的值，即可．
【详解】由不等式组，
解不等式：，，
解不等式：，
∵不等式无解，
∴；
，
解得：，
∵分式方程的解为负数，
∴，
解得：；
∴的取值范围为：，
∵为整数，
∴的值为：，，
∴整数的值之和为：．
故答案为：．
18. 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差；例如：将27交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且．若四位正整数n，n的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，，且，以n的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”s，若，则的值为______；满足条件的所有数n的最大值为______．
【答案】 ①. 9 ②. 5438
【解析】
【分析】由题意知，，整理得，，即，则为91的整数倍，且，进而可得，由得，，是9的整数倍，由，可得，当时，，即，，不符合要求；当时，，即，，不符合要求；当时，，即，，不符合要求，，，符合要求；根据为千位数字，，可知越小，越大，越大，则当为5438时，是满足条件的最大值，进而作答即可．
【详解】解：由题意知，，
整理得，，
∴，
∵a，b，c，d为整数，，且，
∴为91的整数倍，且，
∴，
∴，则，是9的整数倍，
∵，
∴，
∴当时，，即，，不符合要求；
当时，，即，，不符合要求；
当时，，即，，不符合要求，，，符合要求；
∵为千位数字，，
∴越小，越大，越大，
∴当为5438时，是满足条件的最大值，
故答案为：9，5438．
【点睛】本题考查了平方差，新定义下的实数的运算．解题的关键在于理解题意．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算及整式的混合运算．掌握分式及整式混合运算的法则是解题的关键．
（1）通分计算括号里的分式加减法，再计算乘除法即可求解；
（2）根据整式的混合运算法则及完全平方公式即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 小南在学习过程中遇到了一个问题：试说明顶角为的等腰三角形的面积，与以其腰为边长的等边三角形的面积相等，已知：在中，，，她的思路是以为边构造等边三角形，将问题转化为证明三角形全等，根据全等三角形的面积相等使问题得到解决，请根据小南的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取一点E，使得，连接交于点F（只保留作图痕迹）．
在中，①，且，
，
，
，
，
② ，
，，
，
在和中，

．
④ ．
，
，
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】①根据“三角形内角和是”即可；
②根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形” 即可；
③根据“对顶角相等”即可；
④根据全等三角形的性质即可．
【详解】①；
②为等边三角形；
③；
④．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质是解题的关键．
21. 我校在七、八年级学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩：131，134，135，138，141，147，148，148，148，150．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是140，143，143，144．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝______，b＝______，c＝______；
（2）根据以上数据分析，你认为我校七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）我校七、八年级分别有780名、620学生参加了此次竞赛，请估计成绩达到140分及以上的学生共有多少名？
【答案】（1），143，148
（2）七年级学生掌握“国家安全法”知识较好，理由见解析
（3）902名
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数即可得到结论；
（2）根据七年级的中位数和众数均高于八年级于是得到七年级学生掌握“国家安全法”知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：根据题意得：；
八年级A组和B组的人数共有人，
∵八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据按从小到大排列为是140，143，143，144，
∴位于第5位和第6位均为143，
∴；
根据题意得：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩中148出现3次，出现次数最多，
∴；
故答案为：，143，148
【小问2详解】
解：七年级学生掌握“国家安全法”知识较好，理由：
虽然七、八年级的平均分均为142分，但七年级的中位数和众数均高于八年级．
【小问3详解】
解：根据题意得：名，
答：成绩达到140分及以上的学生共有902名．
【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22. 如图，中，，，动点M、N分别以每秒3个单位长度、4个单位长度速度同时从A出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M达点B后，点M、点N的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为t秒，点M、N的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并直接写出自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出函数的一条性质；
（3）当M，N两点相距6个单位长度时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）图象见解析，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）
（3）t的值为或
【解析】
【分析】（1）分及两种情况考虑，对前一情况，利用勾股定理即可，对后一情况，利用两点运动路程和与的和为10即可解决；
（2）由（1）中求得的函数关系式画出函数图象，根据图象即可写出一条性质即可；
（3）根据所求得的函数关系式，求出当时的自变量值即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理得：；
当M、N分别运动到点B、C时，运动时间为（秒）；当M、N在上相遇时，，解得；
①当时，M、N分别在边上，此时，
由勾股定理得；
②当时，M，N两点在边上，此时，
由于，
则；
综上，所得函数关系式为；
【小问2详解】
解：函数图象如下：
当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：当时，，得；
当时，，得；
故当M，N两点相距6个单位长度时，t的值为或．
【点睛】本题是动点问题，考查了勾股定理，求函数解析式，画一次函数图象，已知函数值求自变量值等知识，注意分类讨论．
23. 某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
（1）求樱桃的进价是每千克多少元？
（2）该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
【答案】（1）樱桃的进价是每千克10元
（2）第二天樱桃的售价是每千克15元或19元
【解析】
【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x元，根据“第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元”，再列方程求解即可；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为千克，再根据总利润为850元列方程解答即可．
【小问1详解】
解：设樱桃的进价是每千克x元，
依题意得：，
解得：，
答：樱桃的进价是每千克10元；
【小问2详解】
设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：第二天樱桃的售价是每千克15元或19元．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关键．
24. 五一假期，不少人选择乘坐飞机出游．妈妈和小明从航站楼入口点处前往登机口点处登机．已知点位于点东北方向且米．点的正东方向有另一入口点，商店位于点的正北方向，同时位于点的南偏东，米．

（1）求两个入口的距离；（结果保留根号）
（2）妈妈和小明到达航站楼时间为上午9：00，登机时间为9：30.妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店处逛逛，他们沿路线行走，步行速度为60米/分，在商店处逗留25分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？（参考数据：，）
【答案】（1）米
（2）能
【解析】
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，，解、求得、，即可求解；
（2）通过解，求得、，进而求得，根据“时间=路程速度”求得整个行走的时间，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，过点作于点，

四边形是矩形，
，
在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
（米），
答：两个入口的距离为米．
【小问2详解】
解：在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
四边形是矩形，
（米），
（米），
，
妈妈和小明可以能准时登机．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F分别作y轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；
（3）在（2）问条件下，当四边形PFDE面积有最大值时，记四边形PFDE为四边形．将四边形沿直线BC平移，点，关于直线BC的对称点分别是点，．在平移过程中，当点，中有一点落到抛物线上时，请直接写出点，的坐标．
【答案】（1）抛物线，顶点M(， )；
（2）四边形PFDE最大面积为3，P(3，2)；
（3）， (，)或者， (，)或者 (，)，或者 (，)，；
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，设抛物线为 ，求出B、C两点的坐标，并带入抛物线顶点式，从而求出抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）过点F作于点M，于是可得，利用勾股定理求出，从而求出，进一步设四边形PFDE面积为S，P(，)，()，则，，， 求出S与的函数关系式，进而求出四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；
（3）作直线、，过点作，过点作，分两种情况讨论求解点，的坐标，一是当在抛物线上时，二是当在抛物线上时，利用平移知识即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线为
抛物线与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C；
当x=0时，，令y=0，则，解得x=4，
B（4，0），C(0，2)，
， 解得，
，
抛物线 ，顶点M(， )；
【小问2详解】
解：如图2，过点F作于点M，
x轴轴，，
，
，
由（2）得B（4，0），C(0，2)，
，
DF=，，x轴轴，，
，即，
，
设四边形PFDE面积为S，P(，)，()，则，，，

化简得，
四边形PFDE最大面积为3，当时， ，
P(3，2)，
【小问3详解】
解：如图3，作直线、，过点作，过点作，
当点落到抛物线上时，
P1(3，2)， ，，，
，，，
直线BC：，
设直线
将代入，解得m=1，
设直线,
，解得；

设直线：，将代入，解得 ，
设直线：，
，解得或者；
此时或者；
P1(3，2)， ，且平移到时，P1也平移到P2
(，)或 (，)；
当点点落到抛物线上时，同理可得或
P1(3，2)， ，且P1(3，2)平移到时，P1也平移到P2
(，)或 (，)；
综上所述， ， (，)或者， (，)或者 (，)，或者 (，)，；
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数、平行线的性质、勾股定理以及平移变换等知识，分类讨论点在抛物线上和在抛物线上是解题的关键．
26. 已知是等边三角形，
（1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长；
（2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：；
（3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值及此时的长．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）的最小值为，此时
【解析】
【分析】（1）过点D作于点E，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解；
（2）在线段上截取一点G，使得，连接，由题意易得是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证；
（3）连接，由题意易证，则有，然后可得点N在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得的最小值，及此时的长．
【小问1详解】
解：过点D作于点E，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴中，由勾股定理得：；
【小问2详解】
证明：在线段上截取一点G，使得，连接，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，如图所示：
∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点N在的外角的角平分线上运动，
由垂线段最短可知当时，最短，
∵点H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．年级
七年级
八年级
平均数
142
142
中位数
144
b
众数
c
143