广西南宁市良庆区银海三雅学校2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题（解析版）

这是一份广西南宁市良庆区银海三雅学校2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 如果收入100元记作元，则元表示（ ）
A. 支出70元B. 收入70元C. 支出80元D. 收入80元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正负数的意义，根据收入为正，则支出为负，进行判断即可．
【详解】解：由题意，元表示支出80元；
故选C．
2. 下列有关世界货币符号的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：观察图形，只有选项C的图形能够找到一个点，使图形绕点旋转180度后能与自身完全重合，是中心对称图形；
故选C．
3. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为零，可得答案．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
4. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5. 不等式组的解集为，在下列数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式组解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：不等式组的解集为在数轴如下：

故选：C．
【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
6. 在最近三次的数学适应性练习中，甲、乙、丙三位同学的平均成绩都相同，三位同学成绩的方差分别是，，，则甲、乙、丙三位同学中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴甲、乙、丙三位同学中成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7. 如图，直线，直线分别交，于，，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行线的性质推出．
【详解】解：直线，
．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．
8. 下列计算正确的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相应的运算法则逐一运算判断即可．
详解】A、，故本选项错误；
B、和不是同类项，不能进行加减运算，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟悉掌握其运算的法则是解题的关键．
9. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
10. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
11. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用第三天进馆人次=第一天进馆人次×(1+平均增长率) ×(1+平均增长率)，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，连接BC，若，则k的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】连接，与y轴交于点，根据条件求出的面积，然后根据的几何意义即可求得．
【详解】解：如图，连接，与y轴交于点，
正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且轴，
，
根据反比例函数的中心对称性得：，
，
，
，
，
，
．
故选：A
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，相关知识点有：中心对称性、的几何意义等，熟练运用反比例函数的性质是解题关键．
二、填空题（本题共计6小题，每题2分，共计12分）
13. 的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴的值是2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．
14. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
分析】直接利用提公因式法即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查利用提公因式法分解因式．掌握相关方法即可．
15. 已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，6），则k=________．
【答案】3
【解析】
【分析】由正比例函数y=kx的图象经过点（2，6），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出6=2k，解之即可得出k值．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（2，6），
∴6=2k，
∴k=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
16. 如果从2、6、12、20、30、42这6个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2、6、12、20、30、42这6个数中，4的倍数是12和20，共2个，利用概率公式计算可得．
【详解】解：、6、12、20、30、42这6个数中，4的倍数是12和20，共2个，
任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是．
故答案为：．
17. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为_________．（结果保留小数点后1位）（参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】在中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案．
【详解】在中，
∵，，
∴，
∴（），
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
18. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题．
【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF，
∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，
∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，
∵DE＝DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴GE＝EF，
∵F是BC的中点，
∴AG=CF=BF=3，
设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3，
由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
∴DE＝，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
19 计算:．
【答案】
【解析】
【分析】根据含乘方运算的有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】原式
【点睛】本题考查含乘方运算的有理数混合运算，掌握运算法则以及顺序是解题关键．
20. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得，
解得：，
检验：当时，，
则原分式方程的解为．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21. 如图，已知中，．
（1）求作：边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求（1）中的长．
【答案】（1）图见解析（2）2
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法即可求解；
（2）根据含30°的直角三角形的性质先求出BC的长，故可求出BD的长．
【详解】（1）如图，为所求；
（2）∵，
∴∠A=30°
∴BC=，
∵CD⊥AB
∴∠BCD=30°
∴BD=．
【点睛】此题主要考查尺规作图与直角三角形的性质，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质．
22. 香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．

已知月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占．
（1）求出a，b的值．
（2）售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为______，中位数为______．
（3）根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）
【答案】（1）
（2）110.9，89.8
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据月份共售出香醋的总量和“偏酸”的香醋占比，可求出a的值，进而求出b的值；
（2）分别计算出玻璃瓶装香醋三种风味各自的数量，数量最多和数量居中的那种风味对应的含量即为答案；
（3）根据条形统计图，任写一条合理的信息即可，答案不唯一．
【小问1详解】
∵月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比，
∴售出“偏酸”的香醋的数量为（瓶）．
∴，解得．
∵，即，
解得．
综上，．
【小问2详解】
售出的玻璃瓶装香醋的数量为（瓶）．
其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶，
∵售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中，
∴售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为，中位数为，
故答案为：110.9，89.8．
【小问3详解】
根据小明绘制的条形统计图可知，人们更喜欢风味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数，理解和掌握这些概念并能够灵活地运用它们是本题的关键．
23. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6
【解析】
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解决问题．
【详解】解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
24. 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用ASA证明△AED≌△FEC即可；
（2）根据题意，，根据计算即可．
【详解】（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
∵∠AED=∠FEC，DE=CE，
∴△AED≌△FEC，
∴FC=AD；
（2）∵△AED≌△FEC，
∴，AE=EF，
∴，
∴==
==．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，割补法计算图形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质，灵活运用割补法计算面积是解题的关键．
25. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．室温下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：

（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合我们现阶段学习过的某种函数关系：
①该函数______（填“是”或“不是”）正比例函数；
②根据描点画出函数图像；
③室温是______．
（2）求y关于t的函数表达式．（不必写x的取值范围）
（3）当加热到110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
【答案】（1）①不是；②见解析；③．
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，画图像，
（1）①根据时，，判定图像不经过原点，从而判定函数不是正比例函数；
②根据描点法画出图像即可，注意图像是孤立的点．
③根据时，，可以判定室温．
（2）设直线解析式为，选择另外一点，代入解析式即可．
（3）时，求得函数值即为沸点的温度．
【小问1详解】
①当时，，
∴图像不经过原点，
∴函数不是正比例函数；
故答案为：不是．
②根据图表，描点法画出图像如下：

③根据时，，
∴室温是；
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，设直线解析式为，
把代入解析式得，
解得，
故函数的解析式为．
【小问3详解】
∵，
∴时，
，
故沸点的温度是．
26. 综合与实践
在数学实验课上，老师让同学们以“长方形折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作测量
操作一：对折长方形纸片，使较长的一组对边与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿将三角形折叠，点A在平面内的对应点为点，把纸片展平．
如图1，当点在折痕上时，连接，．测量，的度数，得________度，________度．
（2）迁移探究
在操作二中，若使点限制在长方形纸片内，设，，请判断，的数量关系？并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，若点的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当时，直接写出的度数．
【答案】（1），；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）连接，由题意可知是的垂直平分线，依据垂直平分线的性质可得，由翻折可知，易证是等边三角形解题题意求解即可；
（2）由翻折可知，当点限制在长方形纸片内时，根据可得结果；
（3）①当点限制在长方形纸片内时，由（2）可知代入求解即可；②当点限制在长方形纸片外时，如图，可求得，代入求解即可．
【小问1详解】
解：连接，
由题意可知是的垂直平分线，
，
由翻折可知，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
由翻折可知，
如图2，当点限制在长方形纸片内时，
，
设，，
，
即；
【小问3详解】
①当点限制在长方形纸片内时，
由（2）可知，
当时,，
，
解得：；
②当点限制在长方形纸片外时，
由翻折可知，
且，
，
即，
当时,
，
解得：，
故：或．
【点睛】本题考查了与矩形有关的翻折问题以及等边三角形的判定和性质；解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质．
风味
偏甜
适中
偏酸
含量/
71.2
89.8
110.9
时间t/s
0
10
20
30
40
油温
10
30
50
70
90