广西南宁市第三中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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（考试形式：闭卷考试时间：120分钟分值：120分）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：B．
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，左视图是从左面看得到的图形，由此解答即可，考查了空间想象能力．
【详解】解：由题意得：它的左视图为一个三角形，如图：
，
故选：C．
4. 一元一次不等式的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先移项，再把未知数的系数化“1”即可．
【详解】解：，
移项得：，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的解法步骤”是解本题的关键．
5. 如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：“两直线平行，同位角相等”．依据，即可得到，再根据，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．

6. 正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）．
A. 6B. 10C. 8D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，根据正多边形的外角和性质计算，即可得到答案．
【详解】∵正多边形一个外角的度数为30°
又∵正多边形的外角和为：
∴正多边形的边数为：
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形外角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
7. 将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点在 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点的平移变换．利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点坐标为，即，
点在第二象限，
故选：B．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的计算，积的乘方，同底数幂相乘，完全平方公式．根据题干逐一对选项进行求解即可得到本题答案．
【详解】解：∵不是同类项无法进行计算，故A选项不正确；
∵，故B选项不正确；
∵，故C选项正确；
∵，故D选项不正确，
故选：C．
9. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是数学书的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率所求事件的结果数总的结果数是解题关键．
【详解】解：解：一共有本书，从中任取本书共有种结果，选中的书是数学书的结果有种，
∴从中任取本书是数学书的概率，
故选： D．
10. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有人，辆车，根据题意列出的方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方程组解决古代问题，涉及列二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系列方程即可得到答案，根据等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：设有人，辆车，根据题意得，
故选：A．
11. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积．根据相似三角形的判定与性质求出，再根据三角形面积公式求出，，两式相减求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：C．
12. 如图，点M是正方形边AB上一点，于N，，则的长度为（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．过点作于，可证得，求出，，进而求出，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，过点作于，

∵，，
，
，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∵，，，
，
，，
∵，
，，
，
∵，
．
故选：B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
14. 从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的求解，六个字母中字母有2个，根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：拼音“”的六个字母中字母有2个，
抽中字母的概率为，
故答案为：．
15. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
解得，
故答案为：3．
16. 如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．若在点A处测得点D的俯角为，点C的仰角为，则乙建筑物的高约为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，先证明四边形是矩形，再根据三角函数解直角三角形即可，解题的关键是借助仰角俯角，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
【详解】解：由题意得：，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，那么AP的长为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，由题意可得，，为直径，可得，可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得，，
∵为直径，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
18. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理、线段最小值问题等知识点，找到最短线段出现的点是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的运算，先计算乘方，乘法，除法，然后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，首先在方程的左右两边同时乘以将方程化成整式方程，然后求出方程的解，最后需要进行验根．
【详解】解∶去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
21. 冬季是各类呼吸道传染病的高发季，某市疾控中心对一周内上报的新冠、支原体、甲流、乙流病毒感染者人数做了统计，整理分析绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知一周内统计的感染者总人数为__________人，图中m的值为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）该疾控中心决定进行传染病防治宣传工作，现有工作人员2名男生和2名女生，要求从中随机选取2人，若每个工作人员被选取的可能性相等，求选取的2人中至少有1名男生的概率（画树状图或列表法）
【答案】（1）500，18
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，概率的求解，旨在考查学生的数据处理能力．
（1）根据新冠条形统计图和扇形统计图的数据即可求解；
（2）根据患甲流的人数所占比例即可求解；
（3）列出表格，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【小问1详解】
解：由图可知一周内统计的感染者总人数为：（人）；
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：患甲流的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
；
【小问3详解】
解：列表如下：
共有种等可能的结果，选取的2人中至少有1名男生的结果有种，
∴选取的2人中至少有1名男生的概率为：
22. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
（1）用直尺作出的外接圆圆心．
（2）若方格纸中每个小正方形边长为1，求外接圆半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心．
（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心．
（2）连接计算即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点即为所求．
【小问2详解】
解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
23. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆，当，时．（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长；
（2）求的长．
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
（1）根据即可求解；
（2）利用，先求出，再利用，求出，问题随之得解．
【小问1详解】
解∶ 在中，，．
，
，
即的长为米；
【小问2详解】
解∶ 在中，，，
，
，
，
，
，
（米），
即的长为米．
24. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）由题意得，，证明即可；
（）设的半径为，由可得，再由勾股定理即可求解；
此题考查了切线的判定，三角函数，全等三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴与相切；
【小问2详解】
设的半径为，由（）得：，
又∵，
∴，即，
∵，，
∴，解得（负值舍去），
∴的半径为．
25. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
【答案】（1）厘米
（2）厘米．
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点，
（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可；
（2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
【小问2详解】
过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
26. 综合与实践
一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现：在大自然里，存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成，如图1与图2所示．
【问题发现】如图3，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标．
【问题探究】如图③，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E、是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度的长．
【拓展应用】兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应【问题发现】中的二次函数．若直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖O落在射线上（如图5所示）．求此时一片幼苗叶子的长度．
【答案】[问题发现] ，2,-1；[问题探究]； [拓展应用]
【解析】
【分析】[问题发现]利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可；
[问题探究]先求出，得到，再求出，得到，由对称性可得，证明等腰直角三角形，求出，则；
[拓展应用] 先求出直线的解析式为，进而求出，同理可求出直线的解析式为：，则，求出抛物线解析式为，进而求出，作交延长线于点H，利用勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：[问题发现]把代入得：
∴，
∴抛物线解析式为
∴顶点D 的坐标为2,-1；
任务二：∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E、是叶片上的一对对称点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
[拓展应用]∵直线与x 轴成角
∴可设直线的解析式为，
把点代入得，．
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴，
同理可求出直线的解析式为：，
∴，
把代入，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
联立，解得．
∵幼苗是越长越张开，
∴不合题意，舍去
∴，
作交延长线于点H，
∴
即叶片的长度为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．