高考数学科学创新复习方案提升版第46讲两条直线的位置关系与距离公式学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第46讲两条直线的位置关系与距离公式学案（Word版附解析），共20页。


1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
2.两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \x(\s\up1(07))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．三种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq \x(\s\up1(08))eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \x(\s\up1(09))eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq \x(\s\up1(10))eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．
1．三种常见的直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0.
(3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)．
2．五种常见的对称
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(4)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等．
1．(人教A选择性必修第一册习题2.2 T8改编)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线经过点(1，0)，得出c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0.故选A.
2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－12 B．－2
C．0 D．10
答案 A
解析 由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.解得p＝－2.又因为垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，所以2＋10＋n＝0，解得n＝－12.故选A.
3．(人教A选择性必修第一册习题2.3 T9改编)若三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6)
C．2eq \r(3) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,x－y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))∵三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，∴m＋2n＝5.则点(m，n)到原点的距离的最小值为原点到直线x＋2y＝5的距离d＝eq \f(5,\r(12＋22))＝eq \r(5).故选A.
4．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为( )
A．5eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．5eq \r(10) D．10eq \r(5)
答案 C
解析 点B(2，10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由对称性可得光线从A到B经过的路程为|AB′|＝eq \r(（－3－2）2＋[5－（－10）]2)＝5eq \r(10).故选C.
5．已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则a＝________，此时l1与l2之间的距离为________．
答案 －1 eq \r(2)
解析 由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l1与l2重合，不符合题意．所以a＝－1，此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0.所以l1与l2的距离d＝eq \f(|－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2).
例1 (1)(2023·重庆模拟)已知直线l1：(m－2)x－3y－1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0相互平行，则实数m的值是( )
A．－4 B．1
C．－1 D．6
答案 A
解析 ∵l1∥l2，∴(m－2)(m＋2)＝－3m，解得m＝－4或m＝1，当m＝1时，直线l1与直线l2重合，舍去，经检验m＝－4符合题意．故选A.
(2)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．
答案 0或1
解析 解法一：l1的斜率k1＝eq \f(3a－0,1－（－2）)＝a.
当a≠0时，l2的斜率k2＝eq \f(－2a－（－1）,a－0)＝eq \f(1－2a,a).因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq \f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.
当a＝0时，得P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.
综上可知，实数a的值为0或1.
解法二：eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，3a)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(a，1－2a)，由eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(PQ,\s\up6(→))可知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1.
两直线位置关系的判定方法
(1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.
(2)已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．
(3)已知两直线的一般方程
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论．
1.(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的值可以为( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,3)
答案 ABC
解析 若三条直线不能构成三角形，则三条直线要么相交于一点，要么存在平行直线．①若三条直线交于一点，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,4x＋3y＋5＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(1,3)，))代入mx－y－1＝0得－m＋eq \f(1,3)－1＝0，∴m＝－eq \f(2,3)；②若存在平行直线，则3m＝2或3m＝－4，解得m＝eq \f(2,3)或m＝－eq \f(4,3).综上可知，m的可能取值为－eq \f(4,3)，－eq \f(2,3)，eq \f(2,3).故选ABC.
2．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．
答案 4x－3y＋9＝0
解析 解法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，
即4x－3y＋9＝0.
解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
可解得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
解法三：由题意知直线x－3y＋4＝0不满足条件，
设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，
代入①式得，所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
例2 (1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5)
C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
答案 C
解析 因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq \f(29,10).故选C.
(2)已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则eq \r(a2＋b2)的最小值为________．
答案 3
解析 ∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，而eq \r(a2＋b2)的几何意义是坐标平面内原点与点M间的距离，其最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离，∴(eq \r(a2＋b2))min＝eq \f(15,\r(32＋42))＝3.
1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
1.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
答案 B
解析 由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝eq \r(2).故选B.
2．已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．
答案 4x－y－2＝0或x＝1
解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由题设有eq \f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.此时直线方程为4x－y－2＝0；若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．
解 (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线l在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，
要使直线l不经过第四象限，
则必须有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；
当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意．
故k的取值范围是[0，＋∞)．
共点直线系中定点的求解方法
(1)分离参数，假设直线方程中含有的参数为k，则将直线方程化为f(x，y)＋kg(x，y)＝0的形式．
(2)解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x，y）＝0，,g（x，y）＝0，))若方程组有解，则可得定点坐标；若方程组无解，则说明直线不过定点．
已知直线(3a－1)x－(a－2)y－1＝0.
(1)求证：无论a为何值，直线总过第一象限；
(2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围．
解 (1)证明：直线方程可化为(－x＋2y－1)＋a(3x－y)＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋2y－1＝0，,3x－y＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).))
所以直线恒过定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5))).
因为点M在第一象限，所以无论a为何值，直线总过第一象限．
(2)当a＝2时，直线方程为x＝eq \f(1,5)，显然不经过第二象限；
当a≠2时，直线方程化为y＝eq \f(3a－1,a－2)x－eq \f(1,a－2).
直线不经过第二象限的充要条件为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3a－1,a－2)≥0，,－\f(1,a－2)≤0，))解得a>2.
综上，a的取值范围为[2，＋∞)．
多角度探究突破
角度 点关于点的对称
例4 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
角度 点关于直线的对称
例5 在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
解 (1)如图，设点B关于直线l的对称点为B′，AB′的延长线交直线l于点P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0.
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0.①
又线段BB′的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在直线l上，故3a－b－6＝0.②
由①②，解得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．
所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，))可得P0(2，5)．
所以满足条件的点P的坐标为(2，5)．
(2)设点C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(24,5))).
连接AC′交直线l于P1，在直线l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．
又直线AC′的方程为19x＋17y－93＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0，))解得P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,7)，\f(26,7))).
所以满足条件的点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,7)，\f(26,7))).
角度 直线关于直线的对称
例6 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．
解 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))
∴反射点M的坐标为(－1，2)．取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq \f(2,3)＝eq \f(y0,x0＋5).
而PP′的中点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，点Q在l上，∴3·eq \f(x0－5,2)－2·eq \f(y0,2)＋7＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)（x0－5）－y0＋7＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))
根据直线的两点式方程可得，所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
注意：“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．“线关于线对称”转化为“点关于线对称”即可．
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2·\f(x－1,2)－3·\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))
∴A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2·\f(a＋2,2)－3·\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)·\f(2,3)＝－1，))得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设直线m与直线l的交点为N，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)．
又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
解法二：∵l∥l′，
∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，得
eq \f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq \f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，
∴直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
解法三：设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．
∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
课时作业
一、单项选择题
1．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝( )
A．4 B．2
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－2x＋4，,y＝x＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(8,3)，))由于该点在直线y＝kx上，故eq \f(2k,3)＝eq \f(8,3)，解得k＝4.故选A.
2．(2024·毕节市模拟)直线l1：x＋(1＋a)y＝1－a(a∈R)，直线l2：y＝－eq \f(1,2)x，下列说法正确的是( )
A．∃a∈R，使得l1∥l2
B．∃a∈R，使得l1⊥l2
C．∀a∈R，l1与l2都相交
D．∃a∈R，使得原点到l1的距离为3
答案 B
解析 对于A，要使l1∥l2，则k1＝k2，所以－eq \f(1,1＋a)＝－eq \f(1,2)，解得a＝1，此时l1与l2重合，所以A错误；对于B，要使l1⊥l2，则k1·k2＝－1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,1＋a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，解得a＝－eq \f(3,2)，所以B正确；对于C，当a＝1时，l1与l2重合，所以C错误；对于D，原点到l1的距离d＝eq \f(|1－a|,\r(12＋（1＋a）2))＝3，化简得8a2＋20a＋17＝0，此方程Δ<0，a无实数解，所以D错误．故选B.
3．(2023·东北师大附中二模)直线l的方程为(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为( )
A．－1 B．－5
C．1 D．5
答案 B
解析 由(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)可得(x＋y－3)λ＋2x－y＝0，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,2x－y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))故直线l过定点A(1，2)，当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，因为kOA＝2，所以直线l的斜率为－eq \f(1,2)，即－eq \f(1,2)＝－eq \f(λ＋2,λ－1)，解得λ＝－5.故选B.
4．(2023·青岛三模)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1
C．－1或3 D．3
答案 B
解析 由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3＋3＋3,3)，\f(0＋0＋3,3)))，即(1，1)，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3＋3,2)，\f(0＋3,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，所以可得△ABC的欧拉线方程为eq \f(y－1,\f(3,2)－1)＝eq \f(x－1,0－1)，即x＋2y－3＝0，因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，所以eq \f(a,1)＝eq \f(a2－3,2)≠eq \f(－9,－3)，解得a＝－1.故选B.
5.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．3eq \r(3) B．6
C．2eq \r(10) D．2eq \r(5)
答案 C
解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10).故选C.
6．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线所在的直线方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是( )
A．y＝3x＋5 B．y＝2x＋3
C．y＝2x＋5 D．y＝－eq \f(x,2)＋eq \f(5,2)
答案 C
解析 点A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.
7．(2024·江西八所重点高中模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，B(1，0)，P为直线2x－4y＋3＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值是( )
A.eq \r(5) B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 设点A(0，－2)关于直线2x－4y＋3＝0的对称点为A′(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2×\f(x,2)－4×\f(y－2,2)＋3＝0，,\f(y＋2,x)×\f(1,2)＝－1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(11,5)，,y＝\f(12,5)，))所以A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,5)，\f(12,5)))，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝eq \r(\f(256,25)＋\f(144,25))＝4，当且仅当点P为线段A′B与直线2x－4y＋3＝0的交点时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最小值是4.故选B.
8．(2023·南京师大附中模拟)已知实数a>0，b<0，则eq \f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))的取值范围是( )
A．[－2，－1) B．(－2，－1)
C．(－2，－1] D．[－2，－1]
答案 A
解析 根据题意，设直线l：ax＋by＝0，点A(1，－eq \r(3))，那么点A(1，－eq \r(3))到直线l的距离d＝eq \f(|a－\r(3)b|,\r(a2＋b2))，因为a>0，b<0，所以d＝eq \f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))，且直线l的斜率k＝－eq \f(a,b)>0.当直线l的斜率不存在时，d＝eq \f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))＝1；当OA⊥l时(O为坐标原点)，d＝|OA|＝eq \r(1＋3)＝2，所以1二、多项选择题
9．(2023·浙江温州期中)若两直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8互相平行，则( )
A．m＝－7
B．m＝－1
C．l1与l2之间的距离为eq \f(21\r(2),4)
D．与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为4x－4y＋5＝0
答案 ACD
解析 因为两直线l1与l2互相平行，所以(3＋m)(5＋m)＝4×2，解得m＝－7或m＝－1.当m＝－7时，l1：2x－2y＋13＝0，l2：2x－2y－8＝0，此时两直线l1与l2互相平行，符合题意；当m＝－1时，l1：x＋2y－4＝0，l2：x＋2y－4＝0，此时两直线l1与l2重合，不符合题意．综上，当两直线l1与l2互相平行时，m＝－7，故A正确，B错误．l1：2x－2y＋13＝0与l2：2x－2y－8＝0的距离为eq \f(|13＋8|,\r(4＋4))＝eq \f(21\r(2),4)，故C正确．设与l1，l2距离相等的点为(x，y)，则eq \f(|2x－2y＋13|,\r(4＋4))＝eq \f(|2x－2y－8|,\r(4＋4))，整理得4x－4y＋5＝0，所以与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为4x－4y＋5＝0，故D正确．故选ACD.
10．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是( )
A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
答案 AC
解析 对于A，存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故A错误；对于B，直线l1：x－y－1＝0经过点(0，－1)，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，即k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故B正确；对于C，当k＝－eq \f(1,2)时，动直线l2的方程为eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)y－eq \f(1,2)＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故C错误；对于D，若两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．故选AC.
11．(2023·重庆一中高三期中)若过点A(1，0)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(36,5)
C.eq \f(26,5) D.eq \f(196,53)
答案 ABD
解析 当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点C的直线为l1：y＝k(x－1)和l2：y＝k(x－4)，则过点B和点D的直线为l3：y＝－eq \f(1,k)(x－2)和l4：y＝－eq \f(1,k)(x－8)，其中l1和l2的距离与l3和l4的距离相等，即eq \f(|3k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,k))),\r(1＋\f(1,k2)))，解得k＝±2，故正方形的边长为eq \f(|3k|,\r(1＋k2))＝eq \f(6\r(5),5)，该正方形的面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(36,5)；当过点A和点B的直线平行，过点C和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点B的直线为m1：y＝n(x－1)和m2：y＝n(x－2)，则过点C和点D的直线为m3：y＝－eq \f(1,n)(x－4)和m4：y＝－eq \f(1,n)(x－8)，其中m1和m2的距离与m3和m4的距离相等，即eq \f(|n|,\r(1＋n2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,n))),\r(1＋\f(1,n2)))，解得n＝±4，故正方形的边长为eq \f(|n|,\r(1＋n2))＝eq \f(4\r(17),17)，该正方形的面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(17),17)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,17)；当过点A和点D的直线平行，过点B和点C的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点D的直线为e1：y＝s(x－1)和e2：y＝s(x－8)，则过点B和点C的直线为e3：y＝－eq \f(1,s)(x－2)和e4：y＝－eq \f(1,s)(x－4)，其中e1和e2的距离与e3和e4的距离相等，即eq \f(|7s|,\r(1＋s2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,s))),\r(1＋\f(1,s2)))，解得s＝±eq \f(2,7)，故正方形的边长为eq \f(|7s|,\r(1＋s2))＝eq \f(14\r(53),53)，该正方形的面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14\r(53),53)))eq \s\up12(2)＝eq \f(196,53).故选ABD.
三、填空题
12．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．
答案 eq \f(1,2)或－4
解析 由平面几何知识得AB平行于直线ax＋y＋1＝0或AB中点(1，3)在直线ax＋y＋1＝0上．当AB平行于直线ax＋y＋1＝0时，因为kAB＝－eq \f(1,2)，所以a＝eq \f(1,2)；当AB中点(1，3)在直线ax＋y＋1＝0上时，a＋3＋1＝0，即a＝－4.所以a＝eq \f(1,2)或－4.
13．(2023·长春学情调研)若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2，3)对称，则直线l2恒过定点________，l1与l2的距离的最大值是________．
答案 (4，5) 4eq \r(2)
解析 ∵直线l1：y＝kx＋1经过定点(0，1)，又两直线关于点(2，3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2，3)对称，∴直线l2恒过定点(4，5)，∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为eq \r(（4－0）2＋（5－1）2)＝4eq \r(2).
14．(2024·长沙模拟)已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，直线FD的斜率的取值范围为________．
答案 (4，＋∞)
解析 ∵A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，∴直线BC的方程为x＋y－2＝0，直线AC的方程为x－y＋2＝0，如图，作F关于直线BC的对称点P，∵F(1，0)，∴P(2，1)，再作P关于直线AC的对称点M，则M(－1，4)，连接MA，ME，且ME与AC交于点N，则直线ME的方程为x＝－1，∴N(－1，1)，连接PN，PA，分别交BC于点G，H，则直线PN的方程为y＝1，直线PA的方程为x－4y＋2＝0，∴G(1，1)，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(4,5)))，连接GF，HF，则G，H之间即为点D的变动范围．∵直线FG的方程为x＝1，直线FH的斜率为eq \f(\f(4,5),\f(6,5)－1)＝4，∴直线FD的斜率的取值范围为(4，＋∞)．
四、解答题
15．(2024·济宁实验中学月考)已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
(1)求顶点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且点C在直线2x－y－5＝0上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n－1,m－5)＝－2，,2m－n－5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝3，))故C(4，3)．
(2)设B(a，b)，由题意知，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋5,2)，\f(b＋1,2)))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋5－\f(b＋1,2)－5＝0，,a－2b－5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－3，))
即B(－1，－3)．
kBC＝eq \f(3＋3,4＋1)＝eq \f(6,5)，
直线BC：y－3＝eq \f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0.
|BC|＝eq \r(（4＋1）2＋（3＋3）2)＝eq \r(61)，
点A到直线BC的距离d＝eq \f(|6×5－5－9|,\r(62＋（－5）2))＝eq \f(16,\r(61))，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(61)×eq \f(16,\r(61))＝8.
16．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)求证：该方程表示的直线与点P的距离小于4eq \r(2).
解 (1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，
当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，又kPM＝－1，
∴此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立．位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
eq \x(\s\up1(01))k1＝k2且b1≠b2
eq \x(\s\up1(02))A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
垂直
eq \x(\s\up1(03))k1·k2＝－1
eq \x(\s\up1(04))A1A2＋B1B2＝0
相交
eq \x(\s\up1(05))k1≠k2
eq \x(\s\up1(06))A1B2－A2B1≠0
考向一 平行与垂直问题
考向二 距离公式的应用
考向三 共点直线系
考向四 对称问题