山东省滕州市鲍沟中学2023-2024学年下学期九年级数学开学收心考检测试题（解析版）

这是一份山东省滕州市鲍沟中学2023-2024学年下学期九年级数学开学收心考检测试题（解析版），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共30分）
1. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘（dá），欣欣家国”为主题，以“龘”字为题眼，用“龘龘”之姿生动描摹十四亿中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．其中数字十四亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将十四亿写成，再写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：十四亿．
故选C．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，用表示是关键．
根据等式的性质，用表示，再利用分式的性质化简即可．
详解】解：由得，
∴．
故选A．
3. 如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．解题关键是注意折叠中的对应关系，等腰三角形性质的熟练应用．由，，根据等边对等角的性质，即可求得的度数，又由折叠的性质，求得的度数，继而求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4. 如图，在中，半径，弦，是弦AB上的动点，则线段长的最小值是（ ）
A. 12B. 6C. 5D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．过点作于，连接，根据垂径定理的求得，由勾股定理求出，由垂线段最短得：当与重合时，最短为即可．
【详解】解：过点作于，连接，
∴，
∵的半径，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由垂线段最短得：当与重合时，最短，
故选：．
5. 小明和爸爸两人从相距4千米的甲地前往乙地，两人同时出发，小明骑自行车，爸爸骑电瓶车．线段，折线分别表示小明和爸爸距离甲地路程S（千米）与时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（ ）
A. 小明骑车速度为千米/小时B. 爸爸中途停留了20分钟
C. 小明在第15分钟追上爸爸D. 小明比爸爸早到5分钟
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据图象信息可以计算小明骑车的速度，判断A错误；
根据图象信息可以计算爸爸中途停留的时间为15分钟，判断B错误；
通过计算小明行驶2千米所用时间，即可判断C正确；
根据图象信息可以得出爸爸比小明早到5分钟，即可判断D错误．
【详解】解：A．根据图象可知，小明骑车的速度为：（千米/小时），故A错误；
B．爸爸中途停留了（分钟），故B错误；
C．（小时），
小时分钟，
即小明在第15分钟追上爸爸，故C正确；
D．根据图象可知，爸爸比小明早到5分钟，故D错误．
故选：C．
6. 如图，将正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算、旋转变换的性质，勾股定理，以及正方形的性质，先利用正方形的性质可得，再利用勾股定理求出，代入弧长公式计算即可求解，掌握弧长公式进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵，正方形是由正方形绕着点逆时针旋转所得，
∴，
∴，
∴的长，
故选：．
7. 点和点在二次函数的图象上，且，，则的值为（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，令，则，求出，，从而得出，进而得出，代入进行计算即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：令，则，
解得：，，
，
，
，
，
故选：C．
8. 如图，在矩形中，点E在上，使点D落在边上的点F处，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质和翻折的性质以及勾股定理，求出，再求出，在中，根据勾股定理得：，可求出，再利用锐角三角形函数即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由翻折可知：，，
∴，
∴，
∵，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握翻折的性质，灵活利用勾股定理求出未知线段的长．
9. 求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算．
【详解】解：设，则，
所以，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键．
10. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，其中结论正确的为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．根据以上相关性质，逐项判定即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
即，
∴，故选项A不符合题意；
由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
则当 时，方程有两个不相等实数根，
∴，故选项B不符合题意；
由图象，抛物线与x轴交于，
代入，可得，
故选项C不符合题意；
由抛物线对称性可知，原点关于直线的对称点在抛物线上方，
∴当时，，故选项D符合题意；
故选：D
二、填空题（共18分）
11. 若，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．根据，将代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则m的取值范围是 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得，解不等式组可得答案．
【详解】解：因为在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，
所以，
解得．
故答案为：．
13. 如图，在一个三阶幻方中，若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握幻方的特点是解题的关键．
根据幻方特点可得关于的方程，求解即可解答．
【详解】解：由题意有：，
解得：．
故答案为：4．
14. 如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆内接多边形性质，扇形的面积，如图，连接，，证明即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接，，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，
∴，
∴，，三点共线，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴每个直角三角形的面积为，
故答案为：．
16. 如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心画弦交轴于，，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则的值为_______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，作于E是解题的关键．作于E，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：作于E，连接，
∵以点A为圆心画弧交x轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∵的面积等于4，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∵
∴，
故答案为：12．
三、解答题（共72分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算及解分式方程；
（1）利用负整数指数幂，零指数幂及立方根的定义计算即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（1）原式；
（2）原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：将代入得，
故原方程的解为．
18. 二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）年月日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______；
（2）老师选出写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率．
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：共有张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同，
若随机抽取一张卡片，则上面写有“立春”的概率为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：把写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片、、，画树状图如下：
由树状图可知：共有种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有种，
两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为．
19. 遵义市某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？
【答案】（1）每捆A种菜苗的价格是25元；
（2）至少可购买A种菜苗35捆．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用；
（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元，根据“用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆”，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆，根据“菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗，对A，B两种菜苗均提供八折优惠”，结合（1）的结果，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是25元；
【小问2详解】
设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆，
由题意得：，
解得：，
∴至少可购买A种菜苗35捆，
答：至少可购买A种菜苗35捆．
20. 如图，在中，，，以为边作等腰，其中，连接．
（1）求证：；
（2）作的垂直平分线分别交，于点，．
①如图1，，求证：；
②如图2，，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②4．
【解析】
【分析】（1）由，即可证明，，由三角形外角性质可知，由此即可得出结论；
（2）①先证明，再延长到，使，得是等边三角形，再证明，得即可解题；
②在上取一点，使，得到，由此可得，再由（1），从而可得证明是等腰直角三角形，由此即可求出．
【小问1详解】
证明：如解图1，作的延长线，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴，
∴，即，
【小问2详解】
①∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
如解图2，延长到，使，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②如解图3，在上取一点，使，
∵，，
∴，
∴，
由（1）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故
【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形、等边三角形的性质和判定，解题关键是利用手拉手模型或对称模型构造全等三角形转化线段关系．
21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A，B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
（3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在，
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．
（1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）当时，即为B点左侧图象和第一象限的图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围；
（3）先求出点C和点D的坐标，设，根据得到n的值，再根据点P在反比例函数的图象上，代入求解即可．
【小问1详解】
解：点A、B的横坐标分别为1、，点A、B在的图象上，
当时，；当时，，
，，
点A、B在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
由反比例函数图象可得时，x的取值范围是或；
【小问3详解】
存在．
对于，当时，，当时，，
，，
设，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
22. 如图，是的内接三角形，是的直径，点D在的延长线上，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，的半径是4，求的长．
【答案】（1）相切．理由见解析
（2）
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等边对等角，勾股定理，
（1）由是直径得到，证得，即，，即可证得与相切．
（2）先证明，得到，求出．证得，利用勾股定理求出．
小问1详解】
解：相切．理由如下：
∵是直径，
∴．
∴．
∵，
∴，即，．
又∵是半径，
∴与相切．
【小问2详解】
∵，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
．
23. 直线与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，．

（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点在线段上运动，
①求线段的最大长度．
②连接，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）把点坐标代入直线解析式可求得，则可求得点坐标，
（2）由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由点坐标可表示、的坐标，从而可表示出的长，根据二次函数的性质即可求解；
②根据三角形的面积公式，表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：将代入，得，
直线解析式为，
当x=0时，，
；
【小问2详解】
将，代入，
，
解得，
；
【小问3详解】
①，
)，，
，
，
时，有最大值；
②的面积，
面积的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，线段周长问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 在正方形中，点G是边上的一个动点，点F、E在边上，且，的延长线相交于点P．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求的度数；
（2）如图2，当点E与C不重合时，过D作于点N，若，求长；
（3）在（2）的条件下，连接，取的中点M，连接，在点G的运动过程中，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质结合已知条件得出，进而得，根据平行得出结论即可；
（2）利用辅助线构造正方形中常见的旋转型全等，结合中位线得出，是等腰直角三角形，然后利用勾股定理解答即可；
（3）本题辅助线是关键，通过题目中给出的中点条件考虑可取其他中点结合中位线推导，并找到一组旋转型相似的三角形，进而解决问题．
小问1详解】
解：在正方形中，，
∵，E与C重合，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
如图2，过D作于点N，连接，取中点O，连接．
在正方形中，，，
又∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
又∵O，F分别是中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图所示，取中点，连接，，，
由题意可得，为等腰直角三角形，
为中点，
，
设，则，，
，分别是，的中点，
，
，
，
．
又，，
，
又为等腰直角三角形，
，
，
．
．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活选择辅助线并需要熟练掌握正方形的性质以及相似三角形模型是解答本题的关键．
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