山东省青岛第三十九中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛第三十九中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，

故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ）
A B. 2C. 0D. 或2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
【详解】解：把代入一元二次方程，得
，
解得，
而，即．
所以k的值为-2．
故选A．
3. 下列命题是假命题的为（ ）
A. 对角线相等的菱形是正方形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握正方形和菱形的判定．
根据正方形和菱形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的菱形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是假命题，故此选项符合题意；
故选：D．
4. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图象分布在一、三象限
B. y随x的增大而减小
C. 图象与坐标轴无交点
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随着增大而减小，
∵，
∴图象与坐标轴没有交点，
若点在它的图象上，则：，
∴点也在它的图象上；
综上，错误的选项B．
故选B．
5. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一.设彩条的宽为cm，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设彩条的宽为xcm，根据要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程．
【详解】解：设彩条的宽度是x cm，则
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题．
6. 如图是的直径，内接于，，，则（ ）
A. 113°B. 103°C. 45°D. 58°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角的性质可得∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=45°，再用三角形内角和可求．
【详解】解：∵是的直径，
∴∠ABC=90°，
∵，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A=∠D=45°，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质求出角的度数，结合已知角的度数进行计算．
7. 如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．
【详解】
如图过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
则 ,
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案选D
【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．
8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了积的乘方运算、整式的除法．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
10. 如图，正方形中，对角线和相交于点O，点E在线段上，交于点F，小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由正方形的性质求得△OCE≌△ODF，从而得出阴影面积=△ODC面积=正方形面积，再由几何概率计算求值即可；
【详解】解：ABCD是正方形，则OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∠EOF=∠COD，则∠EOF-∠FOC=∠COD-∠FOC，
∴∠EOC=∠FOD，
∴△OCE≌△ODF（ASA），
∴△OCE面积等于△ODF面积，
∴阴影面积=△ODC面积=正方形面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：；
【点睛】本题考查了正方形的性质，几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大值为 ________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式， 根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴m的最大值为9．
故答案为：9．
12. 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C，若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是___．
【答案】﹣
【解析】
【详解】连接OB．
∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∵OC=OB，∠C=30°，
∴∠C=∠OBC=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，
在Rt△ABO中，∵∠ABO=90°，AB=，∠A=30°，
∴OB=1，
∴S阴=S△ABO﹣S扇形OBD=×1×﹣ =﹣ ．
13. 如图，以边长为的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________．
【答案】144
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、解直角三角形，由题意得：为等边三角形，为等边三角形，得出，，连结，作于，解直角三角形得出的长，再求出，再根据体积公式计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意得：为等边三角形，为等边三角形，，
，，
，
连结，作于，
在中，，
，
，
，
∴无盖柱形盒子的容积；
故答案为：．
14. 如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成了一个边长为的大正方形，连接并延长交CD于点，交于点，作于点若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的性质等知识点，解题的关键是假设为，运用勾股定理求出未知数的值．
利用正方形的性质及四个全等的直角三角形得到，进而得到；设，在中利用勾股定理建立方程求得的值即可．
【详解】解：四边形EFGH是正方形，
，，
，
，
由题意得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又于点，
，
，
设，则，，由勾股定理得：，解得，则，
故答案为：．
三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知：线段，直线及外一点A.
求作：菱形ABCD，使顶点A、C在直线两侧，对角线BD在直线上，且.
【答案】见解析
【解析】
【分析】过点A作AC⊥l于O，在AO延长线上截取OC=OA，在直线l上截取OB=OD=，连接AB，BC，CD，DA即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥l于O，在AO延长线上截取OC=OA，在直线l上截取OB=OD=，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所要求作的．

∵AC⊥BD，OA=OC，OB=OD=，
∴四边形ABCD是菱形，BD=a，
即菱形ABCD，即为所要求作的．
【点睛】本题考查复杂作图，掌握过一点作已知直线的垂线的基本作图和菱形的判定性质是解题的关键．
16. 计算：解不等式或不等式组：
（1）计算：；
（2）化简：；
（3）解一元二次方程；
（4）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【答案】（1）
（2）
（3），
（4）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算、分式的化简、解一元二次方程、不等式组的解法，熟练掌握相关运算法则和步骤是解答本题的关键．
（1）根据实数的运算，先把化简成最简二次根式，将特殊角的函数值转化后再运算即可；
（2）将括号内部分通分运算后再与前面项约分化简即可；
（3）根据解一元二次方程的因式分解法解方程即可；
（4）根据解不等式组的步骤解答并取最大整数解即可．
【小问1详解】
，
，
，
【小问2详解】
，
，
，
．
【小问3详解】
，
整理得：，，
，
．
【小问4详解】
解①得：，
解②得：，
不等式组的解集为，
不等式的最大整数解是．
17. 眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍的距离为40cm，与水平方向夹角为，小林在书桌上方的身长为52cm，且垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离．（参考数据：，，）

【答案】小林与书籍底端的水平距离为
【解析】
【分析】如图，过点D作于M，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，由，，可得，在中，，，则，，，在中，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于M，延长交的延长线于点H，

∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：小林与书籍底端的水平距离为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18. 如图，反比例函数的图象与直线AB交于点，轴，与反比例函数的图象交于点．

（1）求反比例函数的解析式和的值；
（2）当时，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）点
【解析】
【分析】（1），将点代入，可得解析式；再将点坐标代入解析式即可；
（2），过点作于点，，根据相似三角形线段成比例，求出点B的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后令求出点A的坐标．
【小问1详解】
∵点是反比例函数图象上的点，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
∴；
【小问2详解】
如图，过点作于点，

轴，，
∴轴，
，
∴，
点、的横坐标分别为、，
∴，
∴，
由得点，
点，
点，
设直线的解析式为，
把点，点代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点A-2,0．
【点睛】这是一道关于反比例函数与一次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形．
19. A、B两地相距19.2km，甲、乙两人相向而行，两人的运动速度保持不变。甲从A地向B地出发，当甲运动一段时间后，乙从B地向A地出发，甲、乙两人同时运动时他们之间的距离y（km）与乙运动时间t（h）满足一次函数关系式，其图像如图所示．
（1）根据图像求y与t的函数关系式，并求出两人的速度和；
（2）已知甲由A地运动到B地所用时间是乙由B地运动到A地所用时间的倍．求甲由A地运动到B地所用时间是多少小时？
【答案】（1）；速度和为8 km/h
（2）小时
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设y与t的函数关系式为，则
，解得，
∴y与t的函数关系式为；
两人的速度和为：（km/h）；
【小问2详解】
解：设甲的速度为，乙的速度为，则
，
由（1）可知，
解得：，；
经检验，，是原方程的解；
∴甲由A地运动到B地所用时间是（小时）；
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
20. 如图，中，，是的角平分线，点F为的中点，连接并延长至点E，使，连接和．

（1）判断并证明四边形的形状；
（2）为添加一个条件，使四边形是矩形．请证明你的结论．
【答案】（1）四边形是平行四边形，证明见解析
（2）添加条件，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据三线合一得到，再由即可证明四边形是平行四边形；
（2）添加条件，由三线合一定理得到，即可证明平行四边形是矩形．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，证明如下：
∵，是的角平分线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：添加条件，证明如下：
∵，点F为的中点，
∴，即，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，熟知平行四边形的判定定理和矩形的判定定理是解题的关键．
21. 某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件．设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价；
（3）若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣10x2+280x﹣1600
（2）11元/件或17元/件
（3）200≤y≤360
【解析】
【分析】（1）根据利润y等于每件的利润乘以销售量，列出y与x的函数关系式并化简；
（2）令y＝270得关于x的一元二次方程，求得方程的解；
（3）由每件该小商品的利润率不超过100%和每天的进货总成本不超过800元，求得x的范围，根据二次函数的性质可得答案．
小问1详解】
解：由题意得：
y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+280x﹣1600（x≥10）；
故答案为：y＝﹣10x2+280x﹣1600；
【小问2详解】
解：令y＝270得：﹣10x2+280x﹣1600＝270，
解得：x1＝11，x2＝17，
∴销售单价为11元/件或17元/件；
【小问3详解】
解：∵每件该小商品的利润率不超过100%，
∴x﹣8≤100%×8，解得x≤16，
∵每天的进货总成本不超过800元，
∴销售单价x≥10，
故销售单价的范围是10≤x≤16，
由（1）得y＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，
当x＝14时，利润最大是360元，
当x＝10时，利润200元，
所以利润的取值范围是200≤y≤360．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得二次函数的解析式和不等式是解决本题的关键．
22. 问题：如图，在中，，D是上一点（不与A，B重合），交于点E，连接．设的面积为S，的面积为．
（1）当时， ______；
（2）设，请你用含字母的代数式表示．
问题：如图，在四边形中，，，，E是上一点（不与A，B重合），，交于点F，连接，设，四边形的面积为S，的面积为．请你利用问题的解法或结论，用含字母的代数式表示．
【答案】问题一：（1）；（2）；问题二：
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
问题一：（1）证明，得到，得到，进行求解即可；
（2）同法（1）即可得出结论；
问题二：分别延长，交于点O，同探究一的方法进行求解即可．
【详解】解：问题一
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即；
问题二：
分别延长，交于点O，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴由问题1的解法可知：．
∵，
∴，
∴，
即．
23. 发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点20米时达到最大高度10米，如图所示，现将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，距离O的水平距离为30米，垂直高度3米，是垂直高度为3米的防御墙．
（1）求石块运行的函数关系式；
（2）计算说明石块能否飞跃防御墙；
（3）石块飞行时与坡面之间的最大距离是多少？
（4）如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移多远？
【答案】（1）y＝－x2＋x（0≤x≤40）
（2）能，理由见解析 （3）8.1米
（4）（4－10）米
【解析】
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x－20）2＋10，用待定系数法求得a的值，即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝－x2＋x，求得y的值,与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝，设抛物线上一点P（t，－），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，），利用二次函数的性质可得答案；
（4）设向后平移后的解析式为y＝－（x－h）2＋10，把（30，6）代入解析式，求得h即可.
【小问1详解】
解：设石块运行的函数关系式为y＝a（x－20）2＋10，
把（0，0）代入解析式得：400a＋10＝0，解得：a＝－
∴石块运行的函数解析式为：y＝－（x－20）2＋10，
即y＝－x2＋x（0≤x≤40）；
【小问2详解】
解：石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝30代入y＝－x2＋x得：y＝－×900＋30＝7.5，
而点B的最大垂直高度为3＋3＝6，
由于7.5＞6，
∴石块能飞越防御墙AB；
【小问3详解】
解：设OA的解析式为y＝kx，
由于A（30，3），
∴3＝30k，
∴k＝．
∴OA的解析式为y＝；
如图，设抛物线上一点P（t，－），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，）
∴PQ的长d＝－t2＋t－t＝－t2＋t
∵－＜0，
∴函数图象的开口向下，d有最大值．
当t＝－＝18时，dmax＝－×182＋×18＝8.1
∴石块飞行时与坡面OA之间的最大距离时8.1米；
【小问4详解】
解：设向后平移后的解析式为y＝－（x－h）2＋10，
把（30，6）代入解析式，得：6＝－（30－h）2＋10，
解得h1＝30－4，h2＝30＋4（不合题意，舍去）
∴20－（30－4）＝4－10．
∴如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移（4－10）米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点．直线从与重合的位置开始，以的速度沿轴正方向平移，且平移过程中四边形始终为平行四边形；同时，点从点出发，以的速度向点运动．连接，过点作于．设运动时间为，回答下列问题：

（1）求直线的函数关系式和点的坐标．
（2）设五边形的面积为，写出与的函数关系式．
（3）若点关于轴的对称点为，当为何值时，三点共线，并求出点坐标．
（4）连接，交于点，当______时，点是的中点．
【答案】（1）直线解析式为；点的坐标为
（2）
（3）当时，点三点共线
（4）
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入直线即可求出直线的解析式，令即可求出点的坐标；
（2）由题意可得，进行计算即可得到答案；
（3）由题意得：，即可得到，通过证明，得到，即，解方程即可得到答案；
（4）过点作，与交于点，作，与交于点，由题意得：，即可得到，即，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：直线经过点，
，
，
直线解析式为：，
令，
解得：，
点的坐标为；
【小问2详解】
解：由题意得：，，
，，
，
，
，
，
直线从与重合的位置开始，以的速度沿轴正方向平移，且平移过程中四边形始终为平行四边形，点从点出发，以的速度向点运动，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：根据题意画出图如图所示：
，
由题意得：，
，
，
，即，
解得：或（舍去），
当时，点三点共线；
【小问4详解】
解：如图，过点作，与交于点，作，与交于点，
，
则四边形为矩形，
，，
点是中点，，
∴，
为的中点，
为的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
解得：，
当时，点是的中点，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、多边形面积的计算，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．