2022-2023学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．4cm，4cm，8cm
C．4cm，5cm，9cmD．5cm，6cm，9cm
3．（3分）三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线B．中位线C．高D．中线
4．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
5．（3分）如图，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．不确定
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴于点M．若C点坐标为（﹣3，﹣4），则B点坐标为（ ）
A．（5，0）B．（6，0）C．（7，0）D．（8，0）
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）多边形的每个外角的度数都等于45°，则这个多边形的边数为 ．
10．（3分）如果一个等腰三角形的一角为80°，那么它的顶角是 ．
11．（3分）如图，已知D是BC的中点，E是AD的中点，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，若∠BPC＝130°，则∠A＝ ．
13．（3分）如图，AB∥DC，请你添加一个条件使得△ABD≌△CDB，可添条件是 ．（添一个即可）
14．（3分）如图，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，则DE＝ cm．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，EF为AC的中垂线，若EC＝8，则BE的长为 ．
16．（3分）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
三、解答题（共52分）
17．（6分）求下列图中x的值．
18．（5分）两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．
19．（6分）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）写出点A'、B'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
20．（5分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度数．
21．（5分）已知：如图，AB∥CD，OA＝OC．求证：OB＝OD．
22．（5分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，求证：OB＝OC．
23．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由．
24．（7分）【原题再现】课本第42页有这样一道题：
如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置．试探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
小明提出一种正确的解题思路：
连接AA'，则∠1、∠2分别为△AEA'、△ADA'的外角，…
请你按照小明的思路解决上述问题．
【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形BCDE内点A'的位置”变为“点A落在四边形BCDE外点A'的位置”，试猜想此时∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由．
【结论运用】将四边形纸片ABCD（∠C＝90°，AB与CD不平行）沿EF折叠成图3的形状，若∠1＝110°，∠2＝40°，请直接写出∠ABC的度数．
25．（7分）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝∠DBO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
二、第二部分
26．（3分）若x、y满足|x﹣y+1|+（x+y+1）2＝0，则x2﹣y2＝ ．
27．（3分）规定：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．请计算i2022＝ ．
28．（6分）如图是三个5×5的正方形网格，请你用三种不同的方法分别把每幅图中的一个白色小正方形涂上阴影，使每幅图中的阴影部分成为一个轴对称图形．
29．（8分）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax＝N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N＝ax（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作：x＝lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
（1）∵21＝2，∴lg22＝1；∵22＝4，∴lg24＝2；∵23＝8，∴lg28＝3；∵24＝16，∴lg216＝ ；计算：lg232＝ ；
（2）计算后小明观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：lg24+lg28＝ ；（用对数表示结果）
（3）于是他猜想：lgaM+lgaN＝ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
（4）根据之前的探究，直接写出lgaM﹣lgaN＝ ．
2022-2023学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．4cm，4cm，8cm
C．4cm，5cm，9cmD．5cm，6cm，9cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、1+2＝3，不能组成三角形，故该选项不符合题意；
B、4+4＝8，不能够组成三角形，故该选项不符合题意；
C、4+5＝9，不能组成三角形，故该选项不符合题意；
D、5+6＝11＞9，能组成三角形，故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．（3分）三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线B．中位线C．高D．中线
【分析】三角形的角平分线与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中位线将三角形分成面积为1：3，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等．
【解答】解：
（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（2）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的；
（3）
三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（4）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为•CD•AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD＝CD，
所以△ABD的面积等于△ACD的面积．
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选：D．
【点评】考查中线，高，中位线，角平分线的定义，及中线，高，中位线在实际运算中的应用．
4．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为：（﹣3，﹣2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
5．（3分）如图，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠1＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2＝∠3＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】利用三角形全等的判定证明．
【解答】解：从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△AFD≌△AED．
故选：D．
【点评】考查了全等三角形的判定，关键是根据三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．不确定
【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义可得出∠AMN＝2∠MBE，结合三角形外角的性质即可得出∠MBE＝∠MEB，即MB＝ME，同理可得出NC＝NE，再利用三角形的周长公式即可求出△AMN的周长．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠MBE，
∴∠AMN＝2∠MBE．
∵∠AMN＝∠MBE+∠MEB，
∴∠MBE＝∠MEB，
∴MB＝ME．
同理，NC＝NE，
∴C△AMN＝AM+ME+EN+AN＝AB+AC＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及三角形的周长，利用等腰三角形的性质找出MB＝ME、NC＝NE是解题的关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴于点M．若C点坐标为（﹣3，﹣4），则B点坐标为（ ）
A．（5，0）B．（6，0）C．（7，0）D．（8，0）
【分析】证明△AMC≌△BOA（AAS），得出CM＝AO＝3，AM＝BO，求出OB的长，则可得出答案．
【解答】解：∵C点坐标为（﹣3，﹣4），
∴CM＝3，OM＝4，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，
∴∠ABO＝∠CAM；
∵CM⊥y轴，
∴∠AMC＝∠BOA＝90°，
∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，
∴△AMC≌△BOA（AAS），
∴CM＝AO＝3，AM＝BO，
∴AM＝OA+OM＝3+4＝7，
∴OB＝7，
∴B（7，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）多边形的每个外角的度数都等于45°，则这个多边形的边数为 8 ．
【分析】多边形的外角和是360°，又有多边形的每个外角都等于45°，所以可以求出多边形外角的个数，进而得到多边形的边数．
【解答】解：这个多边形的边数是：＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查多边形的外角和，以及多边形外角的个数与其边数之间的相等关系．
10．（3分）如果一个等腰三角形的一角为80°，那么它的顶角是 80°或20° ．
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
11．（3分）如图，已知D是BC的中点，E是AD的中点，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为 3 ．
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△CDE是△ACDE的面积的，△ACD的面积是△ABC的面积的，依此即可求解．
【解答】解：∵D是BC的中点，E是AD的中点，
∴S△CDE＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△CDE＝S△ABC＝×12＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质，熟记三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，若∠BPC＝130°，则∠A＝ 80° ．
【分析】要求出∠A的值，只需求出（∠ABC+∠ACB）的值，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，可得∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，而∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC，进而求出∠A的值．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠PBC+2∠PCB＝2（∠PBC+∠PCB），
∵∠BPC＝130°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣2×50°，
∴∠A＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了内角和定理以及角平分线性质的应用，综合性较强，难度适中．
13．（3分）如图，AB∥DC，请你添加一个条件使得△ABD≌△CDB，可添条件是 AB＝CD等（答案不唯一） ．（添一个即可）
【分析】由已知二线平行，得到一对角对应相等，图形中又有公共边，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB，又BD＝BD，
①若添加AB＝CD，利用SAS可证两三角形全等；
②若添加AD∥BC，利用ASA可证两三角形全等．（答案不唯一）
故答案为：AB＝CD等（答案不唯一）
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
14．（3分）如图，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，则DE＝ 3 cm．
【分析】根据全等三角形的性质得出BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm，代入DE＝BD﹣BE求出即可．
【解答】解：∵△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，
∴BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm，
∴DE＝BD﹣BE＝3cm，
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，EF为AC的中垂线，若EC＝8，则BE的长为 4 ．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到EA＝8，做差后得到BE的长度．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12，EF为AC的中垂线
∴EC＝EA＝8，BE＝12﹣8＝4．
BE的长为4．
故填4．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
16．（3分）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ASA ．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．
故答案为：ASA．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
三、解答题（共52分）
17．（6分）求下列图中x的值．
【分析】根据直角三角形的锐角互余即可求出x的值；
根据四边形的内角和即可求出x的值；
根据外角的性质即可求出x的值．
【解答】解：因为直角三角形的两个锐角互余，
所以x°+50°＝90°，
解得x＝40；
因为四边形的内角和为360°，
所以x°+（x+10）°+60°+90°＝360°，
解得x＝100；
因为外角等于不相邻两个内角的和，
所以x°+（x+10）°＝（x+70）°，
解得x＝60．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，四边形的内角和，外角的性质，解题的关键是熟记相关性质以及定理并灵活运用．
18．（5分）两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．
【分析】依据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，即可得到点O的位置．
【解答】解：如图，点O即为所求．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
19．（6分）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）写出点A'、B'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据图形即可写出点A'、B'的坐标；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）由图可知点A'的坐标为（3，2），点B'的坐标为（4，﹣3）；
（3）△ABC的面积为3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
20．（5分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度数．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
21．（5分）已知：如图，AB∥CD，OA＝OC．求证：OB＝OD．
【分析】欲证明OB＝OD，只要证明△ABO≌△CDO即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴OB＝OD（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（5分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，求证：OB＝OC．
【分析】先由角平分线的性质得OD＝OE，再证△OBD≌△OCE（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，且∠1＝∠2，
∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，
在△OBD和△OCE中，
，
∴△OBD≌△OCE（ASA），
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由．
【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得出∠B＝∠ACE，由三角形内角和定理可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∠BCE+∠BAC＝180°．
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BCE＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定及其性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
24．（7分）【原题再现】课本第42页有这样一道题：
如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置．试探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
小明提出一种正确的解题思路：
连接AA'，则∠1、∠2分别为△AEA'、△ADA'的外角，…
请你按照小明的思路解决上述问题．
【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形BCDE内点A'的位置”变为“点A落在四边形BCDE外点A'的位置”，试猜想此时∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由．
【结论运用】将四边形纸片ABCD（∠C＝90°，AB与CD不平行）沿EF折叠成图3的形状，若∠1＝110°，∠2＝40°，请直接写出∠ABC的度数．
【分析】【原题再现】结论：2∠BAC＝∠1+∠2．利用三角形的外角的性质证明即可．
【变式探究】如图2，结论：2∠A＝∠1﹣∠2．利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【结论运用】如图3中，延长BA交CD的延长线于M．利用图2中的结论求出∠M即可解决问题．
【解答】解：【原题再现】图1中，结论：2∠BAC＝∠1+∠2，
理由是：连接AA′．
∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠DAE＝∠DA′E，
∵∠1＝∠EA′A+∠EAA′，∠2＝∠DA′A+∠DAA′，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝2∠BAC，
【变式探究】如图2，结论：2∠A＝∠1﹣∠2．
理由：设EA′交AC于J．
∵∠1＝∠EJA+∠A，∠EJA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2．
【结论运用】如图3中，延长BA交CD的延长线于M．
由上面结论可知：∠1﹣∠2＝2∠M，
∴2∠M＝110°﹣40°，
∴∠M＝35°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
25．（7分）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝∠DBO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【分析】（1）根据角平分线得出∠ACD＝∠BCD，进而判断出△ACD≌△BCD，即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥AC于M，根据角平分线得出DO＝DM，进而判断出△BOD≌△AMD，得出OB＝AM，进而判断出Rt△DOC≌Rt△DMC，得出OC＝MC，再判断出OB＝EM，即可得出结论；
（3）在GO的延长线上取一点N，使ON＝FH，再判断出DO＝DF，进而判断出△DON≌△DFH，得出DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，进而判断出∠GDH＝∠GDN，进而判断出△DGN≌△DGH，得出GH＝GN，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（AAS），
∴AC＝BC；
（2）如图2，
过点D作DM⊥AC于M，
∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，
∴DO＝DM，
在△BOD和△AMD中，
，
∴△BOD≌△AMD（AAS），
∴OB＝AM，
在Rt△DOC和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△DMC（HL），
∴OC＝MC，
∵∠CAO＝∠DBO，∠DEA＝∠DBO，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵DM⊥AC，
∴AM＝EM，
∴OB＝EM，
∵C（4，0），
∴OC＝4，
∴BC+CE＝OB+OC+MC﹣EM＝2OC＝8；
（3）GH＝OG+FH；
证明：如图3，
在GO的延长线上取一点N，使ON＝FH，
∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，
∴DO＝DF，
在△DON和△DFH中，
，
∴△DON≌△DFH（SAS），
∴DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，
∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH，
∴∠GDH＝∠GDO+∠ODN＝∠GDN，
在△DGN和△DGH中，
，
∴△DGN≌△DGH（SAS），
∴GH＝GN，
∵ON＝FH，
∴GH＝GN＝OG+ON＝OG+FH．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
二、第二部分
26．（3分）若x、y满足|x﹣y+1|+（x+y+1）2＝0，则x2﹣y2＝ 1 ．
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵|x﹣y+1|+（x+y+1）2＝0，
∴，
则原式＝（x+y）（x﹣y）＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
27．（3分）规定：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．请计算i2022＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用新定义将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：i2022＝（i2）1011＝（﹣1）1011＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确将原数变形是解题关键．
28．（6分）如图是三个5×5的正方形网格，请你用三种不同的方法分别把每幅图中的一个白色小正方形涂上阴影，使每幅图中的阴影部分成为一个轴对称图形．
【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
29．（8分）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax＝N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N＝ax（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作：x＝lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
（1）∵21＝2，∴lg22＝1；∵22＝4，∴lg24＝2；∵23＝8，∴lg28＝3；∵24＝16，∴lg216＝ 4 ；计算：lg232＝ 5 ；
（2）计算后小明观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：lg24+lg28＝ lg232 ；（用对数表示结果）
（3）于是他猜想：lgaM+lgaN＝ lgaMN （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
（4）根据之前的探究，直接写出lgaM﹣lgaN＝ ．
【分析】（1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论；
（2）利用对数的定义求解可得结论；
（3）根据所得结论进行推导可得结论；
（4）根据之前的探究，可得lgaM﹣lgaN＝．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴lg216＝4；
∵25＝32，
∴lg232＝5；
故答案为：4，5；
（2）lg24+lg28＝2+3＝5＝lg232，
故答案为：lg232；
（3）lgaM+lgaN＝lgaMN，
验证：设lgaM＝x，lgaN＝y，则ax＝M，ay＝N，
∴ax▪ay＝ax+y＝MN，
∴＝lgaMN＝x+y，
∴lgaMN＝lgaM+lgaN，
故答案为：lgaMN；
（4）根据之前的探究，可得lgaM﹣lgaN＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．
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