2022-2023学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见．下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．乒乓球B．跳远
C．举重D．武术
2．点M（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（2，4）
3．若一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长可能是（ ）
A．8B．7C．2D．1
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．周长相等的两个三角形全等
C．全等三角形的对应边相等
D．等腰三角形的两个底角相等
5．如图是一个平分角的简单仪器，其中AD＝AB，BC＝DC．将A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线．在这个过程中△ADC≌△ABC的根据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
6．如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，若BD＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．如图，已知△ABC，OA＝OB＝OC，则点O是△ABC（ ）
A．三条边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
8．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（ ）
A．“筝形”是轴对称图形B．AC垂直BD
C．BD平分一组对角D．AC平分一组对角
9．如图，小明从A点出发，沿直线前进1米后左转30°，再沿直线前进1米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）
A．10米B．12米C．16米D．20米
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜2时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3B．2＜n＜3C．3＜m＜5D．n＞3
二、填空题
11．四边形的内角和是 ．
12．如图，已知∠ACD为△ABC的外角，∠ACD＝60°，∠A＝20°，那∠B的度数是 ．
13．等腰三角形的两边长分别为3和4，则周长为 ．
14．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，请你添加一个条件 ，使得△ABD≌△BAC．
15．如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得
灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB＝ °．
16．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O且与BC平行的直线MN与AB、AC两边分别交于M、N，若AB＝3，AC＝4，则△AMN的周长为 ．
17．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，EF⊥AB于点F，连接CE，若EF＝1，BD＝2，则△CDE的面积是 ．
18．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠O＝30°，当∠A＝ 时，△AOP为等腰三角形．
三、解答题
19．已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
20．如图，已知：点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．请说明BD＝CE的理由．
21．平面直角坐标系中，点A（﹣4，1）、B（﹣1，2）、C（﹣2，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．
22．如图，已知线段BC．
（1）请用直尺和圆规作出它的垂直平分线MN，在MN上取点A，连接AB，AC（保留作图痕迹）
（2）求作：直线AD，使得AD∥BC，依据下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；
①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交BA的延长线于点E，交线段AC于点F；
②分别以点E，F为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在∠EAC的内部相交于点D；
③画直线AD；
（3）完成下面的证明．
证明：由作法可知：AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC
∵MN垂直平分BC，点A在MN上，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C（ ）．（填推理的依据）
∵∠EAC＝∠ +∠C．
∴∠EAC＝2∠C．
∵∠EAC＝2∠DAC．
∴∠DAC＝∠ ．
∴AD∥BC．
23．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC边的垂直平分线DE与BC边交于点D，垂足为E，若DE＝1，求BC的长．
24．已知：如图，等边△ABC和等边△ADE，连接BD、CE交于点O．
（1）求证：BD＝CE；
（2）连接AO，猜想线段AO、BO、CO的数量关系，并证明．
25．【定义】
如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
【理解】
（1）①如图1，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数；
②如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，请你在这个三角形中画出它的“黄金分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数．
（2）填空：等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
【应用】
（3）在△ABC中，∠A＝30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可能 ．
26．已知如图，∠AOB＝45°，点P在OA边上，点M在OB边上，∠OMP为钝角，∠MPN＝135°．
（1）猜想∠OMP与∠OPN的数量关系，并证明；
（2）若PM＝PN，连接ON，过点P作PE⊥OB于点E，点H是OB边上位于点E右侧的动点，且H为线段MQ的中点，连接PQ；
①补全图形；
②猜想当线段OP、EH满足怎样的数量关系时，能使ON＝PQ，并证明．
2022-2023学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列每则的四个选项中，只有一个正确的选项）
1．我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见．下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．乒乓球B．跳远
C．举重D．武术
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而得出答案．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．点M（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（2，4）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（4，2）关于x轴对称的坐标是（4，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．若一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长可能是（ ）
A．8B．7C．2D．1
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可．
【解答】解：设第三边长x．
根据三角形的三边关系，得1＜x＜7．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．周长相等的两个三角形全等
C．全等三角形的对应边相等
D．等腰三角形的两个底角相等
【分析】利用三角形的稳定性、全等三角形的判定方法及性质、等腰三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形具有稳定性，正确，是真命题，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、等腰三角形的两个底角相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的稳定性、全等三角形的判定方法及性质、等腰三角形的性质等知识，难度不大．
5．如图是一个平分角的简单仪器，其中AD＝AB，BC＝DC．将A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线．在这个过程中△ADC≌△ABC的根据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC．
【解答】解：∵在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，若BD＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AB的长．
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∵BD＝3，
∴AB＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
7．如图，已知△ABC，OA＝OB＝OC，则点O是△ABC（ ）
A．三条边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∵OA＝OC，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
∴点O是△ABC三条边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（ ）
A．“筝形”是轴对称图形B．AC垂直BD
C．BD平分一组对角D．AC平分一组对角
【分析】由线段垂直平分线的判定与性质进而分别判断得出答案．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵AB＝CB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴BD是AC的垂直平分线，故B选项不合题意；
在△ADB和△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，
即对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故C选项不合题意；
直线BD是筝形的对称轴，故A选项不合题意；
无法得到，AC平分一组对角，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，对称性，解本题的关键是判断出△ADB≌△CDB．
9．如图，小明从A点出发，沿直线前进1米后左转30°，再沿直线前进1米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）
A．10米B．12米C．16米D．20米
【分析】由多边形的外角和是360°，即可计算．
【解答】解：小明从A点出发，第一次回到出发地A点时，所走的路线是正多边形，
∵正多边形的每个外角是30°，
∴正多边形的边数是360÷30＝12，
∴他第一次回到出发地A点时，一共走了1×12＝12（米），
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的概念，关键是搞清楚小明走的路线是正多边形．
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜2时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3B．2＜n＜3C．3＜m＜5D．n＞3
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H，根据等腰直角三角形的性质易证△AOB≌△BHC（AAS），根据全等三角形的性质可得BH＝OA＝3，进一步可得m的取值范围．
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示，
则有∠BHC＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠CBH＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
在△OAB和△HBC中，
，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA，
∵点A坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∴BH＝3，
∴m＝OH＝OB+BH＝3+a，
∴0＜a＜2，
∴3＜m＜5，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
11．四边形的内角和是 360° ．
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：（4﹣2）×180°＝360°．
故四边形的内角和为360°．
故答案为：360°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单．
12．如图，已知∠ACD为△ABC的外角，∠ACD＝60°，∠A＝20°，那∠B的度数是 40° ．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，所以∠ACD＝∠B+∠A，根据已知求出∠B即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A，
∵∠ACD＝60°，∠A＝20°，
∴∠B＝60°﹣20°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
13．等腰三角形的两边长分别为3和4，则周长为 10或11 ．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论
【解答】解：当3为底时，其它两边都为4，3、4、4可以构成三角形，周长为11；
当3为腰时，其它两边为3和4，3、3、4可以构成三角形，周长为10．
故填10或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
14．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，请你添加一个条件 BC＝AD（答案不唯一） ，使得△ABD≌△BAC．
【分析】先根据垂直的定义得到∠D＝∠C＝90°，加上AB为公共边，根据全等三角形的判定方法，当添加BC＝AD或BD＝AC时，根据“HL”可判断Rt△ABD≌Rt△BAC；当添加∠ABC＝∠BAD或∠BAC＝∠ABD时，根据“AAS”可判断△ABD≌△BAC．
【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠D＝∠C＝90°，
而AB＝BA，
∴当添加BC＝AD或BD＝AC时，Rt△ABD≌Rt△BAC（Hl）；
当添加∠ABC＝∠BAD或∠BAC＝∠ABD时，△ABD≌△BAC（AAS）．
故答案为：BC＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
15．如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得
灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB＝ 35 °．
【分析】根据方向角的定义，求出∠CAB、∠ABC，再根据三角形的内角和定理求出结果即可．
【解答】解：由方向角的定义可知，
∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+25°＝115°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB
＝180°﹣30°﹣115°
＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
16．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O且与BC平行的直线MN与AB、AC两边分别交于M、N，若AB＝3，AC＝4，则△AMN的周长为 7 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得△AMN的周长＝AB+AC，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MB＝MO，NO＝NC，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+MO+ON+AN
＝AM+MB+NC+AN
＝AB+AC
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，EF⊥AB于点F，连接CE，若EF＝1，BD＝2，则△CDE的面积是 1 ．
【分析】过点E作EG⊥BC于点G，由角平分线的性质可得EG＝EF＝1，再由AD是中线，则有CD＝BD＝2，利用三角形的面积公式可求得△CDE的面积．
【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，如图，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EF＝1，
∴EG＝EF＝1，
∵BD＝2，AD为BC边上的中线，
∴CD＝BD＝2，
∴S△CDE＝＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等并灵活运用．
18．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠O＝30°，当∠A＝ 75°，120°，30° 时，△AOP为等腰三角形．
【分析】分三种情况：①OA＝OP时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠A＝∠OPA＝75°；②AO＝AP时，由等腰三角形的性质得∠APO＝∠O＝30°，则∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；③PO＝PA时，∠A＝∠O＝30°．
【解答】解：分三种情况：
①OA＝OP时，
则∠A＝∠OPA＝（180°﹣∠O）＝（180°﹣30°）＝75°；
②AO＝AP时，
则∠APO＝∠O＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；
③PO＝PA时，
则∠A＝∠O＝30°；
综上所述，当∠A为75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角形，
故答案为：75°或120°或30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题
19．已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】先根据平行线的性质得到∠B＝∠E，然后根据“ASA”判断△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
20．如图，已知：点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．请说明BD＝CE的理由．
【分析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据三角形外角的性质可推出∠BAD＝∠CAE，根据SAS可判定△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．
21．平面直角坐标系中，点A（﹣4，1）、B（﹣1，2）、C（﹣2，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．
【分析】（1）作出△ABC各点关于y轴的对称点，顺次连接各点即可；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，连接PA，则PA+PB的值最小．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）如图所示：
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，此题涉及到最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
22．如图，已知线段BC．
（1）请用直尺和圆规作出它的垂直平分线MN，在MN上取点A，连接AB，AC（保留作图痕迹）
（2）求作：直线AD，使得AD∥BC，依据下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；
①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交BA的延长线于点E，交线段AC于点F；
②分别以点E，F为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在∠EAC的内部相交于点D；
③画直线AD；
（3）完成下面的证明．
证明：由作法可知：AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC
∵MN垂直平分BC，点A在MN上，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C（ 等腰三角形的两底角相等 ）．（填推理的依据）
∵∠EAC＝∠ B +∠C．
∴∠EAC＝2∠C．
∵∠EAC＝2∠DAC．
∴∠DAC＝∠ C ．
∴AD∥BC．
【分析】（1）（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）先利用角平分线的定义得∠EAD＝∠DAC，再根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AC，则利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，接着利用三角形外角性质得到∠EAC＝∠B+∠C，于是可证明∠DAC＝∠C，从而可判断AD∥BC．
【解答】（1）解：如图，
（2）解：如图，
（3）证明：由作法可知：AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵MN垂直平分BC，点A在MN上，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等腰三角形的两底角相等），
∵∠EAC＝∠B+∠C．
∴∠EAC＝2∠C，
∵∠EAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠C．
∴AD∥BC．
故答案为：等腰三角形的两底角相等；B；C；
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
23．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC边的垂直平分线DE与BC边交于点D，垂足为E，若DE＝1，求BC的长．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得CD的长度，再根据线段垂直平分线的性质可得AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质可得BD的长，从而可得BC的长．
【解答】解：连接AD，如图所示：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AC边的垂直平分线DE与BC边交于点D，DE＝1，
∴CD＝2DE＝2，AD＝CD＝2，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝4，
∴BC＝4+2＝6．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
24．已知：如图，等边△ABC和等边△ADE，连接BD、CE交于点O．
（1）求证：BD＝CE；
（2）连接AO，猜想线段AO、BO、CO的数量关系，并证明．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出结论；
（2）在OB上截取OF＝OC，AC与BD交于M，证明△BCF≌△ACO（SAS），由全等三角形的性质得出BF＝OA，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：OB＝OA+OC．
证明：在OB上截取OF＝OC，AC与BD交于M，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AMB＝∠CMO，
∴∠BAC＝∠BOC＝60°，
∵OC＝OF，
∴△COF为等边三角形，
∴∠FCO＝60°，CF＝OC，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝∠ACO，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴BF＝OA，
∴OB＝BF+OF＝OA+OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
25．【定义】
如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
【理解】
（1）①如图1，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数；
②如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，请你在这个三角形中画出它的“黄金分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数．
（2）填空：等边三角形 不存在 （填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形 存在 （填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
【应用】
（3）在△ABC中，∠A＝30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可能 112.5°或135°或140° ．
【分析】（1）①画∠ABC的角平分线BD即可；
②画高线CE和EF即可；
（2）根据“分割线”和“黄金分割线”可得结论；
（3）分三种情况分别画图可得∠B的度数．
【解答】解：（1）①如图1，当BD是∠ABC的角的平分线时，BD是△ABC的“分割线”；
②如图2，CE和EF是△ABC的“黄金分割线”，
（2）等边三角形不存在“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，如图3所示，
故答案为：不存在，存在；
（3）如图4，AD＝AB，DB＝DC，
则∠ADB＝∠ABD＝＝75°，
∴∠C＝37.5°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°；
如图5，AB＝BD，BD＝CD，
∴∠A＝∠ADB＝30°，∠C＝∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝120°，
∴∠ABC＝120°+15°＝135；
如图6，AB＝BD，AD＝CD，
∴∠BAD＝∠ADB，∠C＝∠DAC，
∵∠DAC+∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；
综上，写出∠ABC的所有可能的角是：112.5°或135°或140°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的“分割线”，三角形的“黄金分割线”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26．已知如图，∠AOB＝45°，点P在OA边上，点M在OB边上，∠OMP为钝角，∠MPN＝135°．
（1）猜想∠OMP与∠OPN的数量关系，并证明；
（2）若PM＝PN，连接ON，过点P作PE⊥OB于点E，点H是OB边上位于点E右侧的动点，且H为线段MQ的中点，连接PQ；
①补全图形；
②猜想当线段OP、EH满足怎样的数量关系时，能使ON＝PQ，并证明．
【分析】（1）先根据角的和差关系可得：∠OPN＝135°﹣∠OPM，再由三角形的内角和定理得：∠OMP＝135°﹣∠OMP，由此可得结论；
（2）①正确画图即可；
②如图3，在MQ上取一点C，使ME＝CE，连接PC，过点N作NG⊥OA于G，证明△PGN≌△CEP（AAS），Rt△OGN≌Rt△QEP和△OPN≌△QCP，根据全等三角形的性质和线段中点的定义可得结论．
【解答】解：（1）猜想：∠OMP＝∠OPN，理由如下：
如图1，∵∠MPN＝135°，
∴∠OPN＝135°﹣∠OPM，
∵∠AOB＝45°，
∴∠OPM+∠OMP＝180°﹣45°＝135°，
∴∠OMP＝135°﹣∠OMP，
∴∠OMP＝∠OPN；
（2）①如图2，
②当线段OP＝2EH时，能使ON＝PQ，理由如下：
如图3，在MQ上取一点C，使ME＝CE，连接PC，过点N作NG⊥OA于G，
∵PE⊥OB，ME＝CE，
∴PM＝PC＝PN，
∴∠PME＝∠PCE，
∵∠OPN+∠NPG＝180°，∠OMP+∠PME＝180°，
∴∠NPG＝∠PME＝∠PCE，
∵∠NGP＝∠PEM＝90°，PN＝PM，
∴△PGN≌△CEP（AAS），
∴NG＝PE，
∵ON＝PQ，
∴Rt△OGN≌Rt△QEP（HL），
∴∠NOP＝∠PQE，
∵∠NPG＝∠PCE，
∴∠OPN＝∠QCP，
∴△OPN≌△QCP（AAS），
∴OP＝CQ，
∵H为MQ的中点，
∴MQ＝2MH，
∵CQ＝MQ﹣MC＝2MH﹣2ME＝2EH，
∴当OP＝2EH时，ON＝PQ．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，最后一问有难度，正确作辅助线构建三角形全等是解本题的关键，属于压轴题．
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