2022-2023学年北京市朝阳区对外经济贸易大学附中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区对外经济贸易大学附中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共33页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）抛物线y＝（x+1）2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝0B．直线x＝1C．直线x＝﹣1D．直线y＝1
2．（2分）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离2，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．其他
3．（2分）方程x（x﹣1）＝0的解是（ ）
A．x＝1B．x1＝0，x2＝1C．x＝0D．x1＝0，x2＝﹣1
4．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
5．（2分）不解方程，判断关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（ ）
A．70°B．80°C．110°D．140°
7．（2分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
8．（2分）如图，小聪要在抛物线y＝x（2﹣x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝﹣3，则点M的个数为0；
小云：若b＝1，则点M的个数为1；
小朵：若b＝3，则点M的个数为2．
下列判断正确的是（ ）
A．小云错，小朵对B．小明，小云都错
C．小云对，小朵错D．小明错，小朵对
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ．
10．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣5x上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
11．（2分）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝ ．
12．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 ．
13．（2分）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是 度．
14．（2分）某品牌服装原价173元，连续两次降价的降价率为x，现售价为127元，列出方程为 ．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17题每题4分；第18、20、21、22题，每题5分；第19题8分；第23-25题，每题6分；第26、27题，每小题8分.）
17．（8分）用适当的方法解方程
（1）x2﹣3x＝1；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5）．
18．（5分）下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：直线PN，使得PN与⊙O相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙O外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是⊙Q的直径，
∴∠MPN＝ ° （填推理的依据）．
∴OP⊥PN．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PN是⊙O的切线 （填推理的依据）．
19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ．
（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是 ．
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2+m）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你给m赋一个值，并求此时方程的根．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．
22．（5分）某课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）直接写出面积S与x的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）若矩形生物苗圃园的面积为100平方米时，求垂直于墙的一边长为多少米？
（3）垂直于墙的一边长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？
23．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点．以BD为直径作⊙O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若PC是⊙O的切线，BC＝8，求PC的长．
24．（6分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；
（3）如果A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）三点均在抛物线y＝ax2﹣2ax+4上，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．
26．（7分）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
27．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点，，中，⊙O的关联点是 ；
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A为（0，1），点B为（﹣1，0）．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
2022-2023学年北京市朝阳区对外经济贸易大学附中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）抛物线y＝（x+1）2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝0B．直线x＝1C．直线x＝﹣1D．直线y＝1
【分析】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣1，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
2．（2分）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离2，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．其他
【分析】已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离2，根据点P在圆内⇔d＜r解答即可．
【解答】解：∵r＝3，OP＝2，
∴OP＜r，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r．
3．（2分）方程x（x﹣1）＝0的解是（ ）
A．x＝1B．x1＝0，x2＝1C．x＝0D．x1＝0，x2＝﹣1
【分析】利用因式分解法得到x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
4．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣5）2+7
∴当x＝5时，y有最小值7．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．
5．（2分）不解方程，判断关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【分析】先求出Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4，在根据根的判别式的内容得出选项即可．
【解答】解：∵x2+ax﹣1＝0，
∴Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4，
∵不论a为何值，a2+4＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
6．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（ ）
A．70°B．80°C．110°D．140°
【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P＝70°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．
【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P＝∠AOC＝×140°＝70°
∵∠P+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（2分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．
【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．（2分）如图，小聪要在抛物线y＝x（2﹣x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝﹣3，则点M的个数为0；
小云：若b＝1，则点M的个数为1；
小朵：若b＝3，则点M的个数为2．
下列判断正确的是（ ）
A．小云错，小朵对B．小明，小云都错
C．小云对，小朵错D．小明错，小朵对
【分析】把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【解答】解：∵点M（a，b）在抛物线y＝x（2﹣x）上，点M（a，b），
当b＝﹣3时，﹣3＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a﹣3＝0，
∵△＝4﹣4×（﹣3）＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2；
当b＝1时，1＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a+1＝0，
∵△＝4﹣4×1＝0，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1；
当b＝3时，3＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a+3＝0，
∵△＝4﹣4×3＜0，
∴点M的个数为0；
故小明错，小云对，小朵错，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 y＝x2﹣2 ．
【分析】令抛物线的对称轴为y轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为y＝x2+m，然后把已知点的坐标代入求出m即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝x2+m，
把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，
所以满足条件的抛物线解析式为y＝x2﹣2．
故答案为y＝x2﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
10．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣5x上，则y1 ＞ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】分别计算自变量为﹣3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝x2﹣5x＝24；
当x＝2时，y2＝x2﹣5x＝﹣6；
∵24＞﹣6，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
11．（2分）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程求得k的值；注意二次项系数不为零．
【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个解为0，
∴（k﹣1）×02+3×0+k2﹣1＝0且k﹣1≠0，
解得 k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．
12．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，
∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
13．（2分）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是 45 度．
【分析】连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，有∠BOC＝90°，由圆周角定理可以求出．
【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC＝90°，
∴∠P＝∠BOC＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质及圆周角定理求解．
14．（2分）某品牌服装原价173元，连续两次降价的降价率为x，现售价为127元，列出方程为 173（1﹣x）2＝127 ．
【分析】根据降价后的价格＝原价（1﹣降低的百分率），173（1﹣x）表示第一次降价后服装的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
【解答】解：当商品第一次降价时，其售价为173﹣173x＝173（1﹣x）；
当商品第二次降价后，其售价为173（1﹣x）﹣173（1﹣x）x＝173（1﹣x）2．
∴方程为：173（1﹣x）2＝127．
故答案为：173（1﹣x）2＝127．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键．
16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①②正确，证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论．
③错误，证明AB＝MN，可得结论．
④正确，证明△OBN是等边三角形，可得结论．
【解答】解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD＝180°，
∴∠CMN＝90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，
∴＝，故②正确，
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴AC＝BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM＝2OC，
∴OM＝OC，
∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③错误，
若M是的中点，连接BN，
∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，
∵ON＝OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD＝DB，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
三、解答题（本题共68分，第17题每题4分；第18、20、21、22题，每题5分；第19题8分；第23-25题，每题6分；第26、27题，每小题8分.）
17．（8分）用适当的方法解方程
（1）x2﹣3x＝1；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5）．
【分析】（1）移项，求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
（2）先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝1，
x2﹣3x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，
x＝，
x1＝，x2＝；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5），
4（x﹣5）2﹣（x﹣5）（x+5）＝0，
（x﹣5）（4x﹣20﹣x﹣5）＝0，
（x﹣5）（3x﹣25）＝0，
x﹣5＝0，3x﹣25＝0，
x1＝5，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
18．（5分）下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：直线PN，使得PN与⊙O相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙O外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是⊙Q的直径，
∴∠MPN＝ 90 ° （直径所对的圆周角是直角） （填推理的依据）．
∴OP⊥PN．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PN是⊙O的切线 （经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） （填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）证明OP⊥PN即可解决问题．
【解答】解：（1）补全图形如下图：
（2）∵MN是⊙Q的直径，
∴∠MPN＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OP⊥PN，
又∵OP是⊙O的半径，
∴PN是⊙O的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）与y轴的交点坐标是 （0，﹣3） ；与x轴的交点坐标是 （3，0）（﹣1，0） ．
（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是 x＜﹣1或x＞3 ．
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ﹣4≤y＜0 ．
【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x＝0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；
（3）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；
（4）结合图象可以直接得到答案；
（5）结合图象可以直接得到答案．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4，即y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是 （0，﹣3），
又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）．
故答案是：（0，﹣3）；（3，0），（﹣1，0）；
（3）列表：
图象如图所示：
；
（4）如图所示，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．
故答案是：x＜﹣1或x＞3；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是﹣4≤y＜0．
故答案为：﹣4≤y＜0．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2+m）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你给m赋一个值，并求此时方程的根．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）当m＝0时，方程化为x2+2x＝0，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2+m）2﹣4×2m
＝4+4m+m2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：当m＝0时，方程化为x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x＝﹣2，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．
【分析】（1）将点B，C的坐标代入解析式得出关于a，b的方程组，解之可得；
（2）将抛物线解析式配方成顶点式得出点C的坐标，再根据两点间的距离公式求出OB2＝10，OC2＝10，BC2＝20，从而依据勾股定理逆定理求解可得．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+ax+b经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3），
∴，
解得，
∴y＝x2+6x+8．
（2）∵y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，
∴顶点C坐标为（﹣3，﹣1），
∵B（﹣1，3）．
∴OB2＝12+32＝10，OC2＝32+12＝10，BC2＝[（﹣3）﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
∴OB2+OC2＝BC2，
则△OBC是以BC为斜边的直角三角形，
∴∠BOC＝90°．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据题意灵活设出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质与勾股定理逆定理．
22．（5分）某课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）直接写出面积S与x的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）若矩形生物苗圃园的面积为100平方米时，求垂直于墙的一边长为多少米？
（3）垂直于墙的一边长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？
【分析】（1）由长方形的面积公式建立二次函数即可；
（2）令（1）中S＝100，解一元二次方程即可；
（3）利用（1）中的二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；
（2）令（1）中S＝100，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5＝100，
解得x1＝5，x2＝10，
∵当x＝5时，30﹣2x＝20＞18，
∴x＝10．
∴若矩形生物苗圃园的面积为100平方米时，垂直于墙的一边长为10米；
（3）由（1）知，S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∵6≤x＜15且﹣2＜0，
∴当x＝7.5时，S有最大值112.5
∴当垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
23．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点．以BD为直径作⊙O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若PC是⊙O的切线，BC＝8，求PC的长．
【分析】（1）要证明AD是⊙O的切线，只要证明BD⊥AD即可，根据题目的已知，利用等腰三角形的三线合一性质进行解答即可；
（2）根据已知PC是⊙O的切线，想到连接OP，可得OP⊥PC，先利用D是BC的中点，求出BD和CD的长，进而求出圆的半径，最后在Rt△OPC中进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BD是⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连接OP，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OPC＝90°，
∵BC＝8，D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∵BD是⊙O的直径，
∴OD＝OP＝2，
∴OC＝OD+CD＝6，
∴PC＝＝＝4．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
24．（6分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【分析】（1）利用h＝2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45，当y＝0时，，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，或根据不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y＝a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2＝a（0﹣6）2+2.6，
解得：a＝﹣，
故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y＝0时，，
解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时球要过网h≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
解法二：y＝a（x﹣6）2+h过点（0，2）点，代入解析式得：
2＝36a+h，
若球越过球网，则当x＝9时，y＞2.43，即9a+h＞2.43，
解得h＞
球若不出边界，则当x＝18时，y≤0，解得h≥．
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；
（3）如果A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）三点均在抛物线y＝ax2﹣2ax+4上，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标；
（2）根据题意Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＝0，解得a＝4，即可得到抛物线的表达式为y＝4x2﹣8x+4；
（3）根据题意得到，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+4＝a（x﹣1）2﹣a+4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4﹣a）；
（2）∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
∴方程ax2﹣2ax+4＝0有两个相等的根，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＝0，
解得a＝4或a＝0（不符合题意，舍去），
∴抛物线的表达式为y＝4x2﹣8x+4；
（3）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵A（m﹣1，y1）、B（m，y2）、C（m+2，y3）为该抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴，
解得0＜m＜．
∴m的取值范围是0＜m＜．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．（7分）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
【分析】（1）①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠B+∠BAE＝∠B+∠BCD＝90°，即可得出∠BAE＝∠BCD
②作DG⊥DE，交AE于G，则∠EDG＝90°＝∠CDA，得出∠ADG＝∠CDE，证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD＝CD，由①得出∠DAG＝∠DCE，证明△ADG≌△CDE（ASA），得出AG＝CE，DG＝DE，证出△DEG是等腰直角三角形，得出EG＝DE，即可得出结论；
（2）作DG⊥DE，交AE的延长线于G，则∠EDG＝90°＝∠CDA，证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD＝CD，证明△ADG≌△CDE（ASA），得出AG＝CE，DG＝DE，得出△DEG是等腰直角三角形，证出EG＝DE，即可得出结论．
【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示：
猜想∠BAE＝∠BCD，理由如下：
∵CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
∴∠CDB＝∠CDA＝∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD；
②AE＝CE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE于G，如图1﹣1所示：
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
由①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AE＝AG+EG，
∴AE＝CE+DE；
（2）依题意补全图形如图2所示：CE＝AE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE的延长线于G，
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AG＝AE+EG，
∴CE＝AE+DE．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
27．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点，，中，⊙O的关联点是 P2，P3 ；
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A为（0，1），点B为（﹣1，0）．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【分析】（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得OP1＝，OP2＝1，OP3＝，于是得到结论；
②根据定义分析，可得当y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；
（2）根据已知条件得到直线AB的解析式为y＝x+1，当圆过点B时，得到C（2，0），当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（﹣1，0），于是得到结论；当圆过点O，则BC＝1，得到C（﹣2，0），当圆过点A，连接AC，根据勾股定理得到C（﹣2，0），于是得到结论．
【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），
∴OP1＝，OP2＝1，OP3＝，
∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，
∴⊙O的关联点是P2，P3；
故答案为：P2，P3；
②根据定义分析，可得当直线y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，
∴设P（x，﹣x），当OP＝1时，
由距离公式得，OP＝＝1，
∴x＝±，
当OP＝3时，OP＝＝3，
解得：x＝±；
∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤x≤﹣或≤x≤；
（2）∵点A为（0，1），点B为（﹣1，0），
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
如图，当圆过点B时，此时，CB＝3，
∴C（2，0），
如图，当直线AB与小圆相切时，切点为D，
∴CD＝1，
∵直线AB的解析式为y＝x+1，
∴直线AB与x轴的夹角为45°，
∴BC＝，
∴C（﹣1，0），
∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣1≤xC≤2；
如图，当圆过点O，则BC＝1，
∴C（﹣2，0），
如图，当圆过点A，连接AC，此时，AC＝3，
∴OC＝＝2，
∴C（﹣2，0）．
∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤﹣2；
综上所述：圆心C的横坐标的取值范围为：﹣1≤xC≤2或﹣2≤xC≤﹣2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．
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…
﹣1
0
1
2
3
…
y
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0
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﹣4
﹣3
0
…