2021-2022学年北京四中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京四中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．m+3m＝3m2B．3m3•2m2＝6m6
C．（3m）2＝9m2D．m6÷m6＝m
3．（2分）如图，点B，D，E，C在同一条直线上，若△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（2分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（ ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．
A．①B．②C．③D．①②③
5．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
6．（2分）如图1，将长为（x+1），宽为（x﹣1）的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．x（x﹣1）＝x2﹣x
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
7．（2分）如图，等边△ABC的边长为3，点M为AC边上的一个动点，作MD⊥AB于点D，延长CB使得BF＝AM，连接MF交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．B．1C．D．2
8．（2分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：
①a*b＝0，则a＝0且b＝0
②a*b＝b*a
③a*（b+c）＝a*b+a*c
④a*b＝（﹣a）*（﹣b）
正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）计算：（π﹣2）0＝ ．
10．（2分）计算：（﹣3a2b）3＝ ；a6÷a3＝ ．
11．（2分）如图，已知∠1＝∠2，请你添上一个条件： ，使△ABC≌△ADC．
12．（2分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝4，BC＝10，则△BCE的面积为 ．
13．（2分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为 ．
14．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则BC边中线AD的取值范围为 ．
16．（2分）丽丽在做一道计算题目（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式（2﹣1），很快得到计算结果．
①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝ ；
请参考丽丽的方法进行运算：
②（5+1）（52+1）（54+1）…（52048+1）的值为 ．
三、解答题（本大题共12小题，第17题14分，第23、25题每题8分，第24题6分，26题7分，其余每题5分，共68分）
17．计算：
（1）（﹣4x2）（3x+1）；
（2）（m+2n）（3n﹣m）；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m；
（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．
18．课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．
（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）
＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a
＝﹣a2﹣b2﹣a
左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．
19．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N两点；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C．
则射线OC是∠AOB的平分线．
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出射线OC（请保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．
连接MC，NC．
在△OCM和△OCN中，
∵，
∴△OCM≌△OCN（ ），
∴∠AOC＝ （ ），
即OC平分∠AOB．
20．如图，△ABC的顶点都是格点（平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C'三点的坐标：A′ ，B′ ，C′ ．
21．化简求值：若a2﹣3a＝1，求（2a﹣3）2﹣（a+2）（a﹣5）的值．
22．已知：AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE＝DF．求证：AB∥CD．
23．计算：
（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n的值；
（2）已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求xy的值．
24．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．
25．我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．
根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等．
【初步思考】
一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？
通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：
【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？
小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型：
Ⅰ．一条边和四个角分别相等；Ⅱ．二条边和三个角分别相等；
Ⅲ．三条边和二个角分别相等；Ⅳ．四条边和一个角分别相等．
（1）小齐认为“Ⅰ．一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．
（2）小栗认为“Ⅳ．四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图3进行证明．
已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，DA＝D1A1，∠B＝∠B1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．
（3）小熊认为还可以对“Ⅱ．二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A1B1C1D1为例，分为以下几类：
①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；
②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；
③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；
④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．
其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是 （填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是 ．
26．已知：如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．E是线段AD上一点（点E不与点A，点D重合），满足∠ABE＝2∠ACE．
（1）如图2，若∠ACE＝18°，且EA＝EC，则∠DEC＝ °，∠AEB＝ °．
（2）求证：AB+BE＝AC．
（3）如图3，若BD＝BE，请直接写出∠ABE和∠BAC的数量关系．
27．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数．
（1）根据表中规律，写出（a+b）5的展开式 ；
（2）写出（a+b）12展开式中含a10b2项的系数是 ．
28．在平面直角坐标系xOy中，定义：
①“直线y＝m”表示过点（0，m）且平行于x轴的直线；
②若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于直线l的二次对称点．
③若图形T关于y轴对称的图形为T1，图形T1关于直线l对称的图形为T2，则称T2是图形T关于直线l的二次对称图形．
例如：点Q（1，2）关于直线y＝1的二次对称点是Q2（﹣1，0）．
已知四点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），C（﹣3，3），D（1，1）．
（1）若点E是点A关于直线l1：y＝2的二次对称点，则点E的坐标为 ；
（2）点B是点A关于直线l2：y＝a的二次对称点，则a的值为 ；
（3）已知线段CD关于直线y＝b的二次对称图形C2D2与线段BD有交点，则b的取值范围为 ．
（4）已知△ABC关于直线y＝t的二次对称图形为△A2B2C2．若△A2B2C2与△BCD无交点，则t的取值范围为 ．
2021-2022学年北京四中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．m+3m＝3m2B．3m3•2m2＝6m6
C．（3m）2＝9m2D．m6÷m6＝m
【分析】直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、整式的除法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A．m+3m＝4m，故此选项不合题意；
B．3m3•2m2＝6m5，故此选项不合题意；
C．（3m）2＝9m2，故此选项符合题意
D．m6÷m6＝1，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算、合并同类项、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2分）如图，点B，D，E，C在同一条直线上，若△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】先根据全等三角形的性质得到∠ADB＝∠AEC＝110°，再利用邻补角的定义计算出∠ADE＝∠AED＝70°，然后根据三角形内角和计算∠DAE的度数．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝110°，
∴∠ADE＝∠AED＝180°﹣110°＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
4．（2分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（ ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．
A．①B．②C．③D．①②③
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．
5．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解答】解：观察图形可知点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6．（2分）如图1，将长为（x+1），宽为（x﹣1）的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．x（x﹣1）＝x2﹣x
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
【分析】用代数式分别表示出图1和图2中两个长方形的面积的和，由此得出等量关系即可．
【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1），
图2中拼成图形的面积为：x2﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个长方形面积的和不变列出等式是解决问题的关键．
7．（2分）如图，等边△ABC的边长为3，点M为AC边上的一个动点，作MD⊥AB于点D，延长CB使得BF＝AM，连接MF交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】作FN⊥AB，交直线AB的延长线于点N，连接MN，DF，由BF＝AM，再根据全等三角形的判定定理得出△FNB≌△MDA，再由NF＝DM，BN＝AD且FN∥DM，可知四边形FDMN是平行四边形，进而可得出NB+BD＝AD+BD＝AB，DE＝AB，由等边△ABC的边长为3可得出DE＝即可．
【解答】解：作FN⊥AB，交直线AB的延长线于点N，连接MN，DF，如图：
又∵MD⊥AB于点D，
∴∠FNB＝∠MDA＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBN＝60°，
在FNB和△MDA中，
，
∴△FNB≌△MDA（AAS），
∴NF＝DM，BN＝AD且FN∥DM，
∴四边形FDMN是平行四边形，
∴DE＝ND，
∵D＝NB+BD＝AD+BD＝AB，
∴DE＝AB，
又∵AB＝3，
∴DE＝．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键．
8．（2分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：
①a*b＝0，则a＝0且b＝0
②a*b＝b*a
③a*（b+c）＝a*b+a*c
④a*b＝（﹣a）*（﹣b）
正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．
【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）2，
∴（a+b）2＝0，即：a+b＝0，
∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，
a*b＝（a+b）2，b*a＝（b+a）2，
因此②符合题意，
a*（b+c）＝（a+b+c）2，a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2，故③不符合题意，
∵a*b＝（a+b）2，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）2，
∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，
∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）
故④符合题意，
因此正确的个数有2个，
故选：B．
【点评】考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）计算：（π﹣2）0＝ 1 ．
【分析】根据非零的零次幂等于，可得答案．
【解答】解：（π﹣2）0＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了零指数幂，非零的零次幂等于1．
10．（2分）计算：（﹣3a2b）3＝ ﹣27a6b3 ；a6÷a3＝ a3 ．
【分析】利用积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各式进行运算即可．
【解答】解：（﹣3a2b）3
＝（﹣3）3×（a2）3b3
＝﹣27a6b3；
a6÷a3
＝a6﹣3
＝a3．
故答案为：﹣27a6b3；a3．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11．（2分）如图，已知∠1＝∠2，请你添上一个条件： ∠B＝∠D或∠ACB＝∠ACD或AB＝AD（答案不唯一） ，使△ABC≌△ADC．
【分析】在△ABC与△ADC中，已知∠1＝∠2，AC是公共边，具备了一组角、一组边对应相等，所以添加∠B＝∠D、∠ACB＝∠ACD、AB＝AD均可．
【解答】解：添加∠B＝∠D、∠ACB＝∠ACD、AB＝AD后可分别根据AAS、ASA、SAS判定△ABC≌△ADC．
故答案为：∠B＝∠D或∠ACB＝∠ACD或AB＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
12．（2分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝4，BC＝10，则△BCE的面积为 20 ．
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得出DE＝EF＝4，根据三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，EF⊥BC，
∴DE＝EF，
∵DE＝4，
∴EF＝4，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为＝，
故答案为：20．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE＝EF是解此题的关键．
13．（2分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为 9cm ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△EBC的周长＝BE+EC+BC＝BE+EA+BC＝BA+BC，
∵BC＝4cm，AB＝5cm，
∴△EBC的周长＝BA+BC＝9（cm），
故答案为：9cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 ．
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则BC边中线AD的取值范围为 1＜AD＜4 ．
【分析】如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解．
【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
而AB＝3，AC＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
即1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
【点评】此题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
16．（2分）丽丽在做一道计算题目（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式（2﹣1），很快得到计算结果．
①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝ 232﹣1 ；
请参考丽丽的方法进行运算：
②（5+1）（52+1）（54+1）…（52048+1）的值为 ＝ ．
【分析】①配上因式（2﹣1），连续利用平方差公式进行计算即可；
②配上因式（5﹣1），连续利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1，
故答案为：232﹣1；
②原式＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）…（52048+1）
＝（52﹣1）（52+1）（54+1）…（52048+1）
＝（54﹣1）（54+1）…（52048+1）
＝（58﹣1）（58+1）…（52048+1）
＝……
＝（54096﹣1）
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，配上适当的因式是正确计算的关键．
三、解答题（本大题共12小题，第17题14分，第23、25题每题8分，第24题6分，26题7分，其余每题5分，共68分）
17．计算：
（1）（﹣4x2）（3x+1）；
（2）（m+2n）（3n﹣m）；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m；
（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．
【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则计算即可；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算即可；
（3）根据多项式除以单项式的法则计算即可；
（4）根据平方差公式与完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）（﹣4x2）（3x+1）
＝﹣12x3﹣4x2；
（2）（m+2n）（3n﹣m）
＝3mn﹣m2+6n2﹣2mn
＝mn﹣m2+6n2；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m
＝4m2﹣2m+1；
（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）
＝[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]
＝（2x）2﹣（y+z）2
＝4x2﹣（y2﹣2yz+z2）
＝4x2﹣y2﹣2yz﹣z2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．
（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）
＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a
＝﹣a2﹣b2﹣a
左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．
【分析】根据平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减进行计算即可．
【解答】解：不正确，
原式＝9a2﹣b2﹣4a2+a
＝5a2﹣b2+a，
即正确答案为：5a2﹣b2+a．
【点评】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减，掌握平方差公式的结构特征以及去括号、合并同类项是得出正确答案的前提．
19．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N两点；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C．
则射线OC是∠AOB的平分线．
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出射线OC（请保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．
连接MC，NC．
在△OCM和△OCN中，
∵，
∴△OCM≌△OCN（ SSS ），
∴∠AOC＝ ∠BOC （ 全等三角形的对应角相等 ），
即OC平分∠AOB．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
【解答】（1）解：如图，射线OC即为所求；
（2）证明：连接MC，NC．
在△OCM和△OCN中，
，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等），
即OC平分∠AOB．
故答案为：SSS，∠BOC，全等三角形的对应角相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20．如图，△ABC的顶点都是格点（平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C'三点的坐标：A′ （2，2） ，B′ （3，0） ，C′ （﹣2，﹣2） ．
【分析】（1）（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A'，B'，C'三点的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）A'（2，2），B'（3，0），C'（﹣2，﹣2）．
故答案为：（2，2），（3，0），（﹣2，﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
21．化简求值：若a2﹣3a＝1，求（2a﹣3）2﹣（a+2）（a﹣5）的值．
【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2﹣12a+9﹣（a2﹣3a﹣10）＝4a2﹣12a+9﹣a2+3a+10＝3a2﹣9a+19＝3（a2﹣3a）+19，
∵a2﹣3a＝1，
∴原式＝3×1+19＝22．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．已知：AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE＝DF．求证：AB∥CD．
【分析】由AE⊥BC，DF⊥BC，得出∠AEB＝∠DFC＝90°，再由AE＝DF，AB＝DC得Rt△AEB≌Rt△DFC，即可得∠B＝∠C，即可得出结论．
【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．
23．计算：
（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n的值；
（2）已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求xy的值．
【分析】（1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，即可得出答案；
（2）利用完全平方公式进行计算．
【解答】解：（1）103m+2n
＝103m⋅102n
＝（10m）3⋅（10n）2
＝23×32
＝8×9
＝72；
（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16①，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4②，
∴①﹣②得，4xy＝12，
∴xy＝3．
【点评】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，完全平方公式，掌握（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4是解题的关键．
24．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠DAC，由“SAS”可证△ADB≌△ADC，可得BD＝CD．
【解答】证明：∵ED∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵ED＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAD＝∠DAC，
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明△ADB≌△ADC是本题的关键．
25．我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．
根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等．
【初步思考】
一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？
通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：
【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？
小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型：
Ⅰ．一条边和四个角分别相等；Ⅱ．二条边和三个角分别相等；
Ⅲ．三条边和二个角分别相等；Ⅳ．四条边和一个角分别相等．
（1）小齐认为“Ⅰ．一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．
（2）小栗认为“Ⅳ．四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图3进行证明．
已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，DA＝D1A1，∠B＝∠B1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．
（3）小熊认为还可以对“Ⅱ．二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A1B1C1D1为例，分为以下几类：
①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；
②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；
③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；
④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．
其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是 ①②③ （填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是 有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等 ．
【分析】（1）举例正方形和矩形满足条件但是不全等；
（2）连接AC、A1C1，先证△ABC≌△A1B1C1，再证△ACD≌△A1C1D1，进而得证；
（3）①②③证法同（2），④举反例同（1）．
【解答】解：（1）如图1，
在正方形ABCD和矩形EFGH中，
满足AB＝EH，且四对角对应相等，正方形ABCD和矩形EFGH不全等；
∴一条边和四个角分别相等；
（2）证明：如图2，
连接AC、A1C1，
∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1
∴△ABC≌△A1B1C1（SAS），
∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，
又∵CD＝C1D1，DA＝D1A1，
∴△ACD≌△A1C1D1（SSS），
∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠DCA＝∠D1C1A1，
∴∠BAD＝∠B1A1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；
（3）如图3，
AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；
②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；
③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；
④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．
①连接BD，
∵AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，
∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），
∴∠ABD＝∠A1B1D1，BD＝B1D1，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠DBC＝∠D1B1C1，
∵∠C＝∠C1，
∴△BCD≌△B1D1C1（AAS），
∴BC＝B1C1，CD＝C1D1，
∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，
故①正确，
②同理①可得，
∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），
再证得△BCD≌△B1D1C1，
从而四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，
故②正确；
③根据四边形的内角是360°，
∵∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，
∴∠A＝∠A1，
转化到①，故③正确；
如图4，
满足AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
但两个四边形不全等，
故答案是：①②③，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．
【点评】本题类比三角形全等的条件探究过程研究四边形全等的过程，解题的关键是转化为全等三角形的判定和性质．
26．已知：如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．E是线段AD上一点（点E不与点A，点D重合），满足∠ABE＝2∠ACE．
（1）如图2，若∠ACE＝18°，且EA＝EC，则∠DEC＝ 36 °，∠AEB＝ 126 °．
（2）求证：AB+BE＝AC．
（3）如图3，若BD＝BE，请直接写出∠ABE和∠BAC的数量关系．
【分析】（1）由EA＝EC得∠CAE＝∠ACE＝18°，进而求得结果；
（2）在AC上截取AF＝AB，连接FE，可证得△BAE≌△AFE，从而∠AFE＝∠ABE，根据∠ABE＝2∠ACE可得△CEF是等腰三角形，进一步可得证；
（3）先推出∠DEC＝∠ACE，从而得出E是△ABC的内心，进而BE平分∠ABC，可根据三角形内角和推出∠ABE和∠BAC的数量关系．
【解答】（1）解：∵EA＝EC，
∴∠CAE＝∠ACE＝18°，
∴∠DEC＝∠CAE+∠ACE＝36°，
∵∠ABE＝2∠ACE，∠ACE＝18°，
∴∠ABE＝36°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝18°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE
＝180°﹣18°﹣36°
＝126°，
故答案是：∠DEC＝36°，∠AEB＝126°；
（2）证明：如图1，
在AC上截取AF＝AB，连接FE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴EF＝EB，∠AFE＝∠ABE，
∵∠ABE＝2∠ACE，
∴∠AFE＝2∠ACE，
∵∠AFE＝∠ACE+∠CEF，
∴2∠ACE＝∠ACE+∠CEF，
∴∠ACE＝∠CEF，
∴EF＝FC，
∴FC＝BE，
∴AC＝AF+FC＝AB+BE；
（3）解：如图2，
设∠CAE＝∠BAE＝α，∠ACE＝β，
∴∠ABE＝2β，
∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE＝α+2β，
∵BE＝BD，
∴∠ADB＝∠DEB＝α+2β，
∵∠ADB＝∠CAE+∠ACD，
∴2β＝α+（∠ACE+∠DCE），
∴2β＝α+（β+∠ACD），
∴∠ACD＝β，
∴∠ACB＝2∠ACE＝∠ABE，
∴CE是∠ACB的平分线，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴E点△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE＝2β，
∴∠ABC＝2∠ABE，
在△ABC中，
∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABE+∠ABE＝180°，
∴3∠ABE+∠BAC＝180°．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形内心等知识，解决问题的关键是“截长补短”以及内心的性质．
27．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数．
（1）根据表中规律，写出（a+b）5的展开式 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ；
（2）写出（a+b）12展开式中含a10b2项的系数是 66 ．
【分析】根据每行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多一个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和解答．
【解答】解：（1）

1 5 10 10 5 1 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）∵（a+b）6展开式的系数为：1，6，15，20，15，6，1；
（a+b）7展开式的系数为：1，7，21，35，35，21，7，1；
（a+b）8展开式的系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
（a+b）9展开式的系数为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
（a+b）10展开式的系数为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1；
（a+b）11展开式的系数为：1，11，55，165，330，462，462，330，165，55，11，1；
（a+b）12展开式的系数为：1，12，66，220，495，792，924，792，495，220，66，12，1；
∴含a10b2的项为66a10b2，
故答案为：66．
【点评】本题考查了探索规律，掌握中间的数等于上一行两数的和是解题的关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，定义：
①“直线y＝m”表示过点（0，m）且平行于x轴的直线；
②若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于直线l的二次对称点．
③若图形T关于y轴对称的图形为T1，图形T1关于直线l对称的图形为T2，则称T2是图形T关于直线l的二次对称图形．
例如：点Q（1，2）关于直线y＝1的二次对称点是Q2（﹣1，0）．
已知四点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），C（﹣3，3），D（1，1）．
（1）若点E是点A关于直线l1：y＝2的二次对称点，则点E的坐标为 （﹣1，5） ；
（2）点B是点A关于直线l2：y＝a的二次对称点，则a的值为 ﹣2 ；
（3）已知线段CD关于直线y＝b的二次对称图形C2D2与线段BD有交点，则b的取值范围为 ﹣1＜b＜ ．
（4）已知△ABC关于直线y＝t的二次对称图形为△A2B2C2．若△A2B2C2与△BCD无交点，则t的取值范围为 t＜﹣2或t＞1 ．
【分析】（1）作出点A关于y轴对称点A1，再作出A1关于y＝2的对称点；
（2）作出点A1，观察A1和B的位置可得；
（3）先求出直线C2D2的解析式，求出其过点D和点B求出b，进而确定范围；
（4）求出A1和B对称时t的值，求出点点A1C1上的点D的对称点D2在D点上方时，此时A2（﹣1，3），进而求得t的范围．
【解答】解：（1）如图1，
故答案是：E（﹣1，5）；
（2）如图2，
故答案是：a＝﹣2；
（3）如图3，
设C1D1关于y＝a对称，则C2（3，2b﹣3），D2（﹣1，2b﹣1），
设直线C2D2的解析式是：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴y＝﹣+（2b﹣），
当C2D2过D（1，1）时，
﹣+（2b﹣）＝1，
∴b＝，
当C2D2过B（﹣1，﹣3）时，
+（2b﹣）＝﹣3，
∴b＝﹣1，
∴C2D2与线段BD有交点时，﹣1≤b≤，
故答案是：﹣1≤b≤；
（4）如图4，
由题意得，
A1（﹣1，﹣1），B1（1，﹣3），C1（3，3），
当t＜0时，
只需点A1关于y＝t的对称点A2不在△BCD内即可，
∵当A1对称的对称点是B时，t＝﹣2，
∴t＜﹣2，
当t＞0时，
只要点A1C1上的点D的对称点D2在D点上方即可，
当D2与D重合时，此时A2（﹣1，3），此时＝1，
∴t＞1，
综上所述：t＜﹣2或t＞1．
【点评】本题考查了一次函数及其图象性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是数形结合．
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