2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．费马螺线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3⋅a2＝a5C．（a2）3＝a5D．a8÷a2＝a4
3．（2分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
4．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
5．（2分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
6．（2分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
7．（2分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
A．65°B．50°C．60°D．57.5°
8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC＝60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB＝1：3．
其中正确的有（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）计算：28x4y2÷7x3y＝ ．
10．（2分）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的 ．
11．（2分）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 ．
12．（2分）已知点P（3，﹣1），关于y轴的对称点的坐标是 ．
13．（2分）若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为 ．
14．（2分）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，
∠DAC＝16°，则∠DGB＝ ．
15．（2分）如图，是某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分析．在讨论中得到了∠B＝∠C＝60°，F、H都在线段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正确结论．接着，小聪又提出了如下结论线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长．请判断小聪提出的结论正确吗？ （填“正确”或“错误”）．
16．（2分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
三、解答题（本题共有68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）
17．计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x（x﹣3）．
18．计算：（8a3﹣4a2b+5a2）÷（2a）2．
19．因式分解：ax2﹣6ax+9a．
20．因式分解：a2（x﹣y）+（y﹣x）．
21．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
22．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度数．
23．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．
24．如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P为BC上一点（不与B，C重合）．在AB上找一点M，在AC上找一点N，使得△AMN与△PMN全等，以下是甲，乙两位同学的作法．
甲：连接AP，作线投AP的垂直平分线，分别交AB，AC于M，N两点，则M，N两点即为所求；
乙：过点P作PM∥AC，交AB于点M，过点P作PN∥AB，交AC于点N，则M，N两点即为所求．
（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ；
A．两人都正确
B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．
25．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：（1）△ABE≌△CAD；
（2）BP＝2PQ．
26．阅读理解：
①32+42＞2×3×4
②32+32＝2×3×3；
③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；
④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）
（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；
（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；
（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．
27．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AEC的度数；
（3）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
28．对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，…，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝…＝PMn，那么称点M1，M2，M3，…，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，…，PMn，为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）如图2，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC＝ ．（用含a的式子表示）
2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．费马螺线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3⋅a2＝a5C．（a2）3＝a5D．a8÷a2＝a4
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，逐一进行计算即可判断．
【解答】解：A．因为a3+a2≠a5，故A选项计算错误；
B．因为a3•a2＝a5，故B选项计算正确；
C．因为（a2）3＝a6，故C选项计算错误；
D．因为a8÷a2＝a6，故D选项计算错误．
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解决本题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则．
3．（2分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
4．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
5．（2分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
6．（2分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根据面积相等，列出关系式即可．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．
7．（2分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
A．65°B．50°C．60°D．57.5°
【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC＝60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB＝1：3．
其中正确的有（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④
【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．
【解答】解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠ADC＝60°，故②正确；
∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∵AD＝DB，
∴CD＝DB，
∴CD＝CB，
S△ACD＝CD•AC，S△ACB＝CB•AC，
∴S△ACD：S△ACB＝1：3，故④正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法等知识，根据角平分线的性质得出∠DAC＝∠DAB＝30°是解题关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）计算：28x4y2÷7x3y＝ 4xy ．
【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：28x4y2÷7x3y＝4xy，
故答案为：4xy．
【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是单项式除以单项式的法则，在计算时要注意系数和指数的变化．
10．（2分）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的 三角形的稳定性 ．
【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
【解答】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
11．（2分）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 16米 ．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD＝PB，
在△ABP与△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD＝AB＝16（米），
故答案为：16米．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
12．（2分）已知点P（3，﹣1），关于y轴的对称点的坐标是 （﹣3，﹣1） ．
【分析】根据关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特征解决问题即可．
【解答】解：∵点P（3，﹣1），
∴点P关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣1），
故答案为：（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等．
13．（2分）若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为 9 ．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求得BD＝3，然后利用三角形面积公式解答即可．
【解答】解：如图所示，过B作BD⊥AC于D，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴S△ABC＝AC×BD＝×6×3＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
14．（2分）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，
∠DAC＝16°，则∠DGB＝ 66° ．
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠E，再求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠E＝105°，
∴∠ACF＝180°﹣105°＝75°，
在△ACF和△DGF中，∠D+∠DGB＝∠DAC+∠ACF，
即25°+∠DGB＝16°+75°，
解得∠DGB＝66°．
故答案为：66°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15．（2分）如图，是某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分析．在讨论中得到了∠B＝∠C＝60°，F、H都在线段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正确结论．接着，小聪又提出了如下结论线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长．请判断小聪提出的结论正确吗？ 正确 （填“正确”或“错误”）．
【分析】由∠B＝∠C＝60°，即可推出△ABC为等边三角形，再根据平行线的性质，即可推出△BEF、△FGH、△HPC均为等边三角形，然后根据等边三角形的性质，即可推出线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长．
【解答】解：正确，
理由：∵∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°
∴△ABC是等边三角形，
又∵EF∥AC，
∴∠EFB＝∠C＝60°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
同理可证△FGH、△HPC是等边三角形；
∵△BEF、△FGH、△HPC都是等边三角形，
∴BE+EF＝2BF，FG+GH＝2FH，HP+PC＝2HC，
∴BE+EF+FG+GH+HP+PC＝2（BF+FH+HC）＝2BC，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB+AC＝2BC，
∴AB+AC＝BE+EF+FG+GH+HP+PC，
线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长．
故答案为：正确．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16．（2分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 3或 厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣3t，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点Q的运动速度为2÷＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴点Q的运动速度为6÷＝厘米/秒；
故答案为：3或．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
三、解答题（本题共有68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）
17．计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x（x﹣3）．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，再去括号、合并同类项即可得．
【解答】解：原式＝x2﹣5x﹣2x+10﹣x2+3x
＝﹣4x+10，
故答案为：﹣4x+10．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
18．计算：（8a3﹣4a2b+5a2）÷（2a）2．
【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
【解答】原式＝（8a3﹣4a2b+5a2）÷4a2
＝8a3÷4a2﹣4a2b÷4a2+5a2÷4a2
＝2a﹣b+．
【点评】本题考查多项式除以单项式．多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
19．因式分解：ax2﹣6ax+9a．
【分析】原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x2﹣6x+9）
＝a（x﹣3）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．因式分解：a2（x﹣y）+（y﹣x）．
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a2（x﹣y）﹣（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣1）
＝（x﹣y）（a+1）（a﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
22．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度数．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠ADC＝90°，根据角平分线的性质得到∠DAE＝40°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ADE＝70°，再根据角的和差关系求得∠EDC的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝70°，
∴∠EDC＝90°﹣70°＝20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理．
23．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．
【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，
∵3x2﹣x﹣1＝0，
∴3x2﹣x＝1．
∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
24．如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P为BC上一点（不与B，C重合）．在AB上找一点M，在AC上找一点N，使得△AMN与△PMN全等，以下是甲，乙两位同学的作法．
甲：连接AP，作线投AP的垂直平分线，分别交AB，AC于M，N两点，则M，N两点即为所求；
乙：过点P作PM∥AC，交AB于点M，过点P作PN∥AB，交AC于点N，则M，N两点即为所求．
（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 A ；
A．两人都正确
B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．
【分析】（1）结论两人都是正确的．
（2）根据全等三角形的判定分别证明即可．
【解答】解：（1）两人都正确，
故选A．
（2）甲：如图1中，
∵MN垂直平分线段PA，
∴MA＝MP，NA＝NP，
在△AMN和△PMN中，
，
∴△AMN≌△PMN（SSS）．
乙：如图2中，
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴AM＝PN，PM＝AN，
在△AMN和△PMN中，
，
∴△AMN≌△PNM（SSS）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：（1）△ABE≌△CAD；
（2）BP＝2PQ．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）先由全等三角形的性质和三角形外角的性质求得∠BPQ＝60°，得∠PBQ＝30°，再由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）由（1）知，△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2CQ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
26．阅读理解：
①32+42＞2×3×4
②32+32＝2×3×3；
③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；
④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）
（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；
（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；
（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．
【分析】（1）观察各式，即可得出规律：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab；
（2）根据完全平方的计算结果是非负数证明即可；
（3）根据规律可得ab≤（a+b）2．
【解答】解：（1）规律是：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab；
（2）∵（a﹣b）2≥0，
∴a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（3）∵a2+b2≥2ab，
∴（a+b）2﹣2ab≥2ab，
（a+b）2≥4ab，
ab≤（a+b）2＝×16＝4．
故ab的最大值是4．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较以及数字的变化规律，通过阅读题目，发现规律实质上是完全平方公式的变形：因为（a﹣b）2≥0，所以a2+b2≥2ab．
27．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AEC的度数；
（3）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）由等腰三角形的性质可求∠ADC的度数，由外角性质可求解；
（3）由“AAS”可证△BCG≌△DAE，可得AE＝CG，即可求解．
【解答】（1）解：如图，补全图形：
（2）解：如图，连接AD，
由对称可知，∠BAE＝∠DAE＝α，
∵AD＝AB＝AC，
∴∠ADC＝＝60°﹣α，
∠AEC＝60°，
∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α，
∴∠BCE＝α，
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α，
∴∠BEC＝60°，
∴∠AEC＝∠BEC；
（3）当0°＜α＜60°时，CD＝2DE+AE，理由如下：
如图，在CD上截取BG＝BE，
∵∠BEC＝60°，
∴△BGE是等边三角形，
∴∠BGC＝∠AED＝120°，
∵∠BCE＝∠DAE＝α，
∴△BCG≌△DAE（AAS），
∴AE＝CG，
∵EG＝BE＝DE，
∴CD＝2DE+CG，
即CD＝2DE+AE．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
28．对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，…，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝…＝PMn，那么称点M1，M2，M3，…，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，…，PMn，为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C 是 △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB 不是 △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）如图2，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC＝ a或a ．（用含a的式子表示）
【分析】（1）①根据等腰三角形的三线合一、等腰直角三角形的性质解答；
②根据角平分线的性质作出线段PM1，PM2；
（2）分点D在AC边上、点D′在BC边上两种情况，根据△ABC关于点P的等距点的定义计算；
（3）根据角平分线的性质、△ABC关于点P的等距点的定义计算．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC，点P是BC的中点，
∴PB＝PC，
∴点B，C是△ABC关于点P的等距点，
当∠A＝90°，AB＝AC，点P是BC的中点时，PA＝PB＝PC，
∵∠A＜90°，
∴PA≠PB，
∴线段PA，PB不是△ABC关于点P的等距线段，
故答案为：是；不是；
②如图1所示，线段PM1，PM2即为所求；
（2）显然，点D不可能在AB边上，
当点D在AC边上时，如图2所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵点C，D是△ABC关于点P的等距点，
∴PC＝PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴CD＝PC＝1；
当点D′在BC边上时，∵点C，D′是△ABC关于点P的等距点，
∴PC＝PD′＝1，
∴CD′＝2，
∴综上所述，DC＝1或2；
（3）作PE⊥AB于E，
∵∠B＝30°，
∴PE＝PB，
当PC＝PE时，PC＝PB，
∴PC＝BC＝a，
此时，点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有3个，PC＝PE＝PD，
当点P为BC中点时，PC＝PB，在AB上有且只有一点F，使PC＝PB＝PF，此时，PC＝BC＝a，
综上所述，点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点C，BC＝a，PC＝a或a，
故答案为：a或a．
【点评】本题考查的是△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义、角平分线的性质，正确理解△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义是解题的关键．
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