2021-2022学年北京十九中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京十九中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED．若量出DE＝58米，则A，B间的距离即可求．依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
3．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和8，则第三边长可能是（ ）
A．4B．5C．8D．11
4．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（3分）要使如图的六边形框架形状稳定，至少需要添加对角线的条数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）若一个正多边形的每个内角度数都为108°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．8D．10
7．（3分）如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向，C岛在A岛南偏东30°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．（3分）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）
A．62°B．152°C．208°D．236°
10．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，则BC的长为（ ）
A．14B．16或22C．22D．14或22
二、填空题：（每空3分，共30分）
11．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D到直线AB的距离是 cm．
13．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 ．
14．（3分）若一个正多边形的内角和与外角和的度数相等，则此正多边形对称轴条数为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为 ．
16．（3分）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 ．
17．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是 ．
18．（3分）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由 ．
19．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 °．
20．（3分）非Rt△ABC中，已知∠A＝45°，高BD和CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是 ．
三、解答题：（21—25每题5分，26题7分，27题8分，共40分）
21．（5分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．
22．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，∠E＝∠F，EC∥FB．求证：EA＝FD．
23．（5分）下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AM＝AN，MP＝ ，
∴AP是线段MN的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．
24．（5分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的长．
25．（5分）如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BD＝AD，FD＝CD．问：BE与AC有何位置关系？并说明理由．
26．（7分）在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．
（1）用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）当∠ABC＝ °时，BF＝CA．
27．（8分）△ABC中，∠C＝60°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．
（1）如图①所示，如果点P在线段BA上，且α＝30°，那么∠PEB+∠PDA＝ ；
（2）如图②所示，如果点P在线段BA上运动，
①依据题意补全图形；
②写出∠PEB+∠PDA的大小（用含α的式子表示）；并说明理由．
（3）如果点P在线段BA的延长线上运动，直接写出∠PEB与∠PDA之间的数量关系（用含α的式子表示）．那么∠PEB与∠PDA之间的数量关系是 ．
2021-2022学年北京十九中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED．若量出DE＝58米，则A，B间的距离即可求．依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEC中，，
△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE＝58米，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
3．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和8，则第三边长可能是（ ）
A．4B．5C．8D．11
【分析】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵一个三角形的两边长分别为3和8，
∴5＜第三边长＜11，
则第三边长可能是：8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．
4．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边a所对的角为50°，然后根据全等三角形的性质得到∠1的度数．
【解答】解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为50°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
5．（3分）要使如图的六边形框架形状稳定，至少需要添加对角线的条数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可．
【解答】解：根据三角形的稳定性，得要使框架稳固且不活动，至少需要添加对角线的条数是3条．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是多边形的对角线，掌握三角形的稳定性是解答本题的关键．
6．（3分）若一个正多边形的每个内角度数都为108°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】先求出多边形的每一个外角的度数，再利用多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于108°，多边形的内角与外角互为邻补角，
∴每个外角是：180°﹣108°＝72°，
∴多边形中外角的个数是360°÷72°＝5，则多边形的边数是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟练掌握的内容．
7．（3分）如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向，C岛在A岛南偏东30°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】根据方向角的定义和三角形的内角和求出答案即可．
【解答】解：根据方向角的意义可知，∠BAS＝55°，∠SAC＝30°，∠NCB＝60°，
∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝55°+30°＝85°，
∠ACB＝∠BCN﹣∠ACN＝60°﹣30°＝30°，
在△ABC中，
∠ABC＝180°﹣85°﹣30°＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的意义，掌握三角形的内角和为180°是正确计算的前提．
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】由∠1＝∠2结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
①加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
②加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；
③加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；
④加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（3分）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）
A．62°B．152°C．208°D．236°
【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．
【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，
又∵∠BED＝∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD＝180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，
又∵∠D＝28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的知识，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，此题难度不大．
10．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，则BC的长为（ ）
A．14B．16或22C．22D．14或22
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成24cm和30cm两部分，可得|AB﹣BC|＝30﹣24＝6，AB+BC+AC＝2AB+BC＝24+30＝54，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图，∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，
即AD＝CD，
∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|＝|AB﹣BC|＝30﹣24＝6（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝24+30＝54（cm），
若AB＞BC，则AB﹣BC＝6（cm），
又∵2AB+BC＝54（cm），
联立方程组：，解得：AB＝20cm，BC＝14cm，
20、20、14三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC﹣AB＝6（cm），
又2AB+BC＝54（cm），
联立方程组：，解得：AB＝16，BC＝22，
16、16、22三边能够组成三角形；
∴BC＝14或22．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
二、填空题：（每空3分，共30分）
11．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．
【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D到直线AB的距离是 4 cm．
【分析】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE＝CD，从而得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝11cm，BD＝7cm，
∴CD＝BC﹣BD＝11﹣7＝4cm，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4cm，
即点D到直线AB的距离是4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 15 ．
【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，
所以其另一边只能是6，
故其周长为6+6+3＝15．
故答案为15．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．
14．（3分）若一个正多边形的内角和与外角和的度数相等，则此正多边形对称轴条数为 4 ．
【分析】设此正多边形边数为n，根据内角和等于外角和，可得方程180（n﹣2）＝360，再解即可得到该正多边形的边数，进而得出此正多边形对称轴条数．
【解答】解：设此正多边形边数为n，由题意得：
180（n﹣2）＝360，
解得：n＝4，
∴该正多边形为正方形，
∴此正多边形对称轴条数为4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3）且n为整数），多边形的外角和等于360度．
15．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为 20 ．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC即可解决问题．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴AB+AC＝20，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故答案为20．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 140° ．
【分析】根据三角形外角性质求出求出∠DFB，再根据三角形外角性质求出∠α即可．
【解答】解：如图，
∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，
∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，
∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查了直角三角形和三角形的外角的性质，能灵活根据三角形的外角性质进行计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
17．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是 （1，4） ．
【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝4，
∴则B点的坐标是（1，4），
故答案为：（1，4）．
【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形．
18．（3分）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由 角平分线上的点到角两边的距离相等． ．
【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答．
【解答】解：理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【点评】此题考查角平分线的性质：熟练掌握角平分线上的任意一点到角的两边距离相等是解题的关键．
19．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 72 °．
【分析】先设∠ABC＝∠C＝2α，然后用含有α的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，进而得到∠AED，最后利用三角形的外角性质列出方程求得α，即可求得∠ABC的大小．
【解答】解：设∠ABC＝∠C＝2α，则∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4α，
由折叠得，∠BED＝∠C＝2α，∠ADE＝∠A＝180°﹣4α，
∵∠BED是△AED的外角，
∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2α＝180°﹣4α+180°﹣4α，
解得：α＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示．
20．（3分）非Rt△ABC中，已知∠A＝45°，高BD和CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是 135°或45° ．
【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；
②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解．
【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故答案为：135°或45°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．
三、解答题：（21—25每题5分，26题7分，27题8分，共40分）
21．（5分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝34°．
∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，
∠AEC＝90°﹣14°＝76°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．
22．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，∠E＝∠F，EC∥FB．求证：EA＝FD．
【分析】根据等式的性质得出AC＝DB，利用平行线的性质得出∠ECA＝∠FBD，再根据AAS证明△AEC≌△DFB，进而解答即可．
【解答】证明：∵AB＝DC（已知），
∴AC＝DB（等量加等量，和相等）．
∵EC∥FB（已知），
∴∠ECA＝∠FBD（两直线平行，内错角相等）．
在△AEC和△DFB中，
∴△AEC≌△DFB（AAS）．
∴EA＝FD（ 全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23．（5分）下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AM＝AN，MP＝ PN ，
∴AP是线段MN的垂直平分线．（ 到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）
∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求．
（2）∵AM＝AN，MP＝PN，
∴AP是线段MN的垂直平分线．（到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）
∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．
故答案为：PN，到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查作图﹣线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（5分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的长．
【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论．
【解答】解：（1）证明：
接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB＝DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE＝AF．
∵AC+CF＝AF，
∴AE＝AC+CF．
∵AE＝AB﹣BE，
∴AC+CF＝AB﹣BE，
∵AB＝8，AC＝6，
∴6+BE＝8﹣BE，
∴BE＝1，
∴AE＝8﹣1＝7．
即AE＝7，BE＝1．
【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
25．（5分）如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BD＝AD，FD＝CD．问：BE与AC有何位置关系？并说明理由．
【分析】由“SAS”可证△BDF≌△ADC，由全等三角形的性质可得∠DAC＝∠DBF，由余角的性质可得结论．
【解答】解：BE⊥AC，理由如下：
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（SAS），
∴∠DAC＝∠DBF，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
26．（7分）在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．
（1）用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）当∠ABC＝ 40 °时，BF＝CA．
【分析】（1）利用角平分线得出∠EBF＝∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM＝∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论；
（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG＝CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论．
【解答】解：（1）BE+CD＝BC，理由如下：
在BC上取一点M，使BM＝BE，
∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠FBC＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFD＝∠BFE＝60°
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBF＝∠MBF，
在△BEF和△BMF中，
，
∴△BEF≌△BMF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFM＝60°，
∴∠CFM＝∠BFC﹣∠BFM＝60°，
∴∠CFM＝∠CFD＝60°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠FCM＝∠FCD，
在△FCM和△FCD中，
，
∴△FCM≌△FCD（ASA），
∴CM＝CD，
∴BC＝CM+BM＝CD+BE；
（2）当∠ABC＝40°时，BF＝CA，理由如下：
在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝80°，
∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝20°，∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝40°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝80°，∠ABC＝∠BCE，
∴BE＝CE，
在△ABC的边AB左侧作∠ABG＝20°，交CE的延长线于G，
∴∠FBG＝∠ABD+∠ABG＝40°＝∠ACE．
∵∠AEC＝80°，
∴∠BEG＝80°，
∴∠G＝180°﹣∠ABG﹣∠BEG＝80°＝∠BEG＝∠AEC，
∴BG＝BE，
∴BG＝CE，
在△BGF和△CEA中，
，
∴△BGF≌△CEA（ASA），
∴BF＝AC．
故答案为：40．
【点评】主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出∠CFM＝∠CFD，（2）作出辅助线，判断出BG＝CE．
27．（8分）△ABC中，∠C＝60°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．
（1）如图①所示，如果点P在线段BA上，且α＝30°，那么∠PEB+∠PDA＝ 90° ；
（2）如图②所示，如果点P在线段BA上运动，
①依据题意补全图形；
②写出∠PEB+∠PDA的大小（用含α的式子表示）；并说明理由．
（3）如果点P在线段BA的延长线上运动，直接写出∠PEB与∠PDA之间的数量关系（用含α的式子表示）．那么∠PEB与∠PDA之间的数量关系是 60°+α或60°﹣α或60°； ．
【分析】（1）连接PC，由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）①根据题意画出图形即可；
②由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解；（1）∠PEB+∠PDA＝90°；理由如下；
连接PC，如图1所示
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠C+∠DPE＝60°+30°＝90°
故答案为：90°；
（2）①如图2所示；
②连接PC，如图3所示：
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠C+∠DPE＝60°+α；
∴∠PEB+∠PDA＝60°+α；
（3）分三种情况：
①如图4所示：
连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠1+∠2+∠3，∠PDA＝∠1+∠2
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB+∠3＝60°+α；
②如图5所示：连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠1+∠2，∠PDA＝∠1+∠2+∠3，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB﹣∠3＝60°﹣α；
③如图6所示：P、D、E在同一条直线上，连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠1+∠2，∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB＝60°；
综上所述：如果点P在线段BA的延长线上运动，
∠PEB与∠PDA之间的数量关系是60°+α或60°﹣α或60°；
故答案为：60°+α或60°﹣α或60°．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了三角形的外角性质、角之间的数量关系；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线运用三角形的外角性质是解决问题的关键，注意（3）中分类讨论．
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