新高考数学二轮复习 专题突破 专题2 培优点5　平面向量“奔驰定理”（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习 专题突破 专题2 培优点5　平面向量“奔驰定理”（含解析），共10页。

考点一 平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0．
例1 已知O是△ABC内部一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋meq \(OC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(4,7)，则实数m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由奔驰定理得S△BOC·eq \(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq \(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
又eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋meq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
∴eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(m,1＋2＋m)＝eq \f(4,7)，解得m＝4.
易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．
跟踪演练1 设点O在△ABC内部，且eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(S△OAB,S△OBC)＝________.
答案 eq \f(3,5)
解析 由eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
得－12eq \(OA,\s\up6(→))＝4(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
整理得5eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \f(S△OAB,S△OBC)＝eq \f(3,5).
考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)
(1)O是△ABC的重心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1
⇔eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0．
(2)O是△ABC的内心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c
⇔aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0．
(3)O是△ABC的外心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB
＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
⇔sin 2A·eq \(OA,\s\up6(→))＋sin 2B·eq \(OB,\s\up6(→))＋sin 2C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0．
(4)O是△ABC的垂心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C
⇔tan A·eq \(OA,\s\up6(→))＋tan B·eq \(OB,\s\up6(→))＋tan C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0．
考向1 “奔驰定理”与重心
例2 已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aeq \(GA,\s\up6(→))＋40beq \(GB,\s\up6(→))＋35ceq \(GC,\s\up6(→))＝0，则B＝________.
答案 eq \f(π,3)
解析 依题意，可得56a＝40b＝35c，
所以b＝eq \f(7,5)a，c＝eq \f(8,5)a，
所以cs B＝eq \f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)a))2,2a×\f(8,5)a)＝eq \f(1,2)，
因为0考向2 “奔驰定理”与外心
例3 已知点P是△ABC的外心，且eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))＝0，C＝eq \f(2π,3)，则λ＝________.
答案 －1
解析 依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝1∶1∶λ，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，
∴A＝B，又C＝eq \f(2π,3)，
∴A＝B＝eq \f(π,6)，
又eq \f(sin 2B,sin 2C)＝eq \f(1,λ)，
∴λ＝eq \f(sin 2C,sin 2B)＝eq \f(sin \f(4π,3),sin \f(π,3))＝－1.
考向3 “奔驰定理”与内心
例4 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则3λ＋6μ的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))可化为
eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))－λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))－μeq \(OB,\s\up6(→))＝0，
整理得(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(λ－μ)eq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，
解得λ＝eq \f(5,9)，μ＝eq \f(2,9)，
所以3λ＋6μ＝3×eq \f(5,9)＋6×eq \f(2,9)＝3.
考向4 “奔驰定理”与垂心
例5 已知H是△ABC的垂心，若eq \(HA,\s\up6(→))＋2eq \(HB,\s\up6(→))＋3eq \(HC,\s\up6(→))＝0，则A＝________.
答案 eq \f(π,4)
解析 依题意，
可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3，
代入tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
可得6tan A＝6tan3A，
因为tan A≠0，
所以tan A＝±1.
又因为tan A所以tan A＝1，所以A＝eq \f(π,4).
规律方法 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件．
跟踪演练2 (1)设I为△ABC的内心，且2eq \(IA,\s\up6(→))＋3eq \(IB,\s\up6(→))＋eq \r(7)eq \(IC,\s\up6(→))＝0，则角C＝________.
答案 eq \f(π,3)
解析 由2eq \(IA,\s\up6(→))＋3eq \(IB,\s\up6(→))＋eq \r(7)eq \(IC,\s\up6(→))＝0，
可得a∶b∶c＝2∶3∶eq \r(7)，
令a＝2k，b＝3k，c＝eq \r(7)k，
则cs C＝eq \f(4k2＋9k2－7k2,2·2k·3k)＝eq \f(1,2)，
又C∈(0，π)，
所以C＝eq \f(π,3).
(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝eq \f(π,6)，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为eq \f(1,2)，x，y，则x＋y的最大值是______．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 方法一 据奔驰定理得，
eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＋xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))＝0，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝2xeq \(PB,\s\up6(→))＋2yeq \(PC,\s\up6(→))，
平方得eq \(AP,\s\up6(→))2＝4x2eq \(PB,\s\up6(→))2＋4y2eq \(PC,\s\up6(→))2＋8xy|eq \(PB,\s\up6(→))|·|eq \(PC,\s\up6(→))|·cs∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|，
且∠BPC＝2∠BAC＝eq \f(π,3)，
所以x2＋y2＋xy＝eq \f(1,4)，
(x＋y)2＝eq \f(1,4)＋xy≤eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，
解得0当且仅当x＝y＝eq \f(\r(3),6)时取等号，
所以(x＋y)max＝eq \f(\r(3),3).
方法二 S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝eq \f(1,2)∶x∶y，
又∠BAC＝eq \f(π,6)，∴sin 2A＝eq \f(\r(3),2)，
∵x＝eq \f(\r(3),3)sin 2B，y＝eq \f(\r(3),3)sin 2C，
∴x＋y＝eq \f(\r(3),3)(sin 2B＋sin 2C)
＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin 2B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2B))))
＝eq \f(\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,3))).
又∵B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,6)))，
∴2B－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(4π,3)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,3)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，
∴x＋y∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))，
∴(x＋y)max＝eq \f(\r(3),3).
专题强化练
1．点P在△ABC内部，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1 B．3∶2
C．3∶1 D．5∶3
答案 C
解析 根据奔驰定理得，
S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.
所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.
2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
答案 A
解析 根据奔驰定理，得3eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
即3eq \(OA,\s\up6(→))＋2(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋4(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
整理得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))，
故λ＝eq \f(2,9)，μ＝eq \f(4,9).
3．△ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝2eq \r(13)，则△BGC的面积为( )
A．12eq \r(3) B．8eq \r(3)
C．4eq \r(3) D．4
答案 C
解析 cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)
＝eq \f(36＋64－52,2×6×8)＝eq \f(1,2)，
又A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×6×8×sin eq \f(π,3)＝12eq \r(3)，
又G为△ABC的重心，
∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，
∴S△BGC＝eq \f(1,3)S△ABC＝4eq \r(3).
4.如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝60°，M为△ABC的外心，若eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则4λ＋3μ等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(5,3) C.eq \f(7,3) D.eq \f(8,3)
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理，可得BC＝eq \r(82＋62－2×8×6cs 60°)＝2eq \r(13)，
所以圆M的半径R＝eq \f(2\r(13),2sin 60°)＝eq \f(2\r(39),3)，
所以S△AMB＝eq \f(1,2)×8×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(39),3)))2－42)＝eq \f(8\r(3),3)，
S△BMC＝eq \f(1,2)×2eq \r(13)×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(39),3)))2－\r(13)2)＝eq \f(13\r(3),3)，
S△CMA＝eq \f(1,2)×6×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(39),3)))2－32)＝5eq \r(3).
由eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
可得eq \(MA,\s\up6(→))＋λeq \(MB,\s\up6(→))－λeq \(MA,\s\up6(→))＋μeq \(MC,\s\up6(→))－μeq \(MA,\s\up6(→))＝0，
整理得(1－λ－μ)eq \(MA,\s\up6(→))＋λeq \(MB,\s\up6(→))＋μeq \(MC,\s\up6(→))＝0，
所以S△AMB∶S△BMC∶S△CMA＝μ∶(1－λ－μ)∶λ＝8∶13∶15，
解得λ＝eq \f(5,12)，μ＝eq \f(2,9)，
所以4λ＋3μ＝eq \f(7,3).
5.如图，设P，Q为△ABC内的两点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则下列结论正确的是( )
①eq \f(S△ABP,S△ABC)＝eq \f(1,5)；②eq \f(S△ABQ,S△ABC)＝eq \f(1,3)；③eq \f(S△ABP,S△ABQ)＝eq \f(4,5)；④eq \f(S△ABP,S△ABQ)＝eq \f(3,4).
A．①② B．①③ C．①②④ D．②④
答案 B
解析 由eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))，
可得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(PB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(PC,\s\up6(→))－eq \f(1,5)eq \(PA,\s\up6(→))＝0，
整理得eq \f(2,5)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
所以2eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
eq \f(S△ABP,S△ABC)＝eq \f(1,2＋2＋1)＝eq \f(1,5)，故①正确；
由eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
可得eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(QB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(QC,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(QA,\s\up6(→))＝0，
整理得eq \f(1,12)eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(QC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(QA,\s\up6(→))＋8eq \(QB,\s\up6(→))＋3eq \(QC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \f(S△ABQ,S△ABC)＝eq \f(3,1＋8＋3)＝eq \f(1,4)，eq \f(S△ABP,S△ABQ)＝eq \f(4,5)，故②，④错误，③正确．
6．△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14,2eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的外接圆面积为________．
答案 eq \f(64π,7)
解析 ∵2eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
且O为内心，
∴a∶b∶c＝2∶2∶3，
令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
又S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r
⇒eq \f(1,2)×7k×2＝14⇒k＝2，
∴a＝4，b＝4，c＝6，
∴cs C＝－eq \f(1,8)，sin C＝eq \f(3\r(7),8)，
又2R＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(6,\f(3\r(7),8))⇒R＝eq \f(8,\r(7))＝eq \f(8\r(7),7)，
∴外接圆面积S＝πR2＝eq \f(64π,7).
7．若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋5eq \(OC,\s\up6(→))＝0．则△ABC的面积为______．
答案 eq \f(6,5)
解析 ∵3eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＝－5eq \(OC,\s\up6(→))，
且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，
∴9|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋16|eq \(OB,\s\up6(→))|2＋24eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝25|eq \(OC,\s\up6(→))|2，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，∴OA⊥OB，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，
由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，
∴S△AOB＝eq \f(5,3＋4＋5)·S△ABC，
∴S△ABC＝eq \f(12,5)S△AOB＝eq \f(6,5).
8.已知点P，Q在△ABC内，eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(QA,\s\up6(→))＋3eq \(QB,\s\up6(→))＋5eq \(QC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(|\(PQ,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝________.
答案 eq \f(1,30)
解析 根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，
S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，
∴S△PAB＝S△QAB＝eq \f(1,2)S△ABC，∴PQ∥AB，
又∵S△PBC＝eq \f(1,6)S△ABC，S△QBC＝eq \f(1,5)S△ABC，
∴eq \f(|\(PQ,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(S△QBC－S△PBC,S△ABC)＝eq \f(1,5)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,30).