山东省济南市槐荫区2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题 （解析版）

这是一份山东省济南市槐荫区2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题 （解析版），共28页。试卷主要包含了02）， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数；
【详解】解：，
故选：D
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
2. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）

A. 三棱柱B. 圆柱C. 三棱锥D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】根据主视图和左视图确定是柱体、锥体、球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，
根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥．
故选：D．
【点睛】本题考查了由物体的三种视图确定几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
3. 如图，，点E为上一点，连接．若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质求出的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项；
故选A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
6. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如右图所示，下列说法中错误的是（ ）

A. 这周最高气温是32℃B. 周四与周五的最高气温相差8℃
C. 这组数据的众数是24D. 这组数据的中位数是30
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了折线统计图、中位数及众数，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键．根据折线统计图，可得答案．
【详解】解：A、由纵坐标看出，这一天中最高气温是，说法正确，故不符合题意；
B、周四与周五的最高气温相差，说法正确，故不符合题意；
C、这组数据的众数是24，说法正确，故不符合题意；
D、这组数据的中位数是27，原说法错误，故符合题意；
故选：D．
7. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于）．已知cm，则AB约是（ ）
A. 30cmB. 49cmC. 55cmD. 129cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出比例式即可解答．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例问题，解题关键是根据题意正确列出比例式．
8. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：

一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
9. 2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得当时，，再代入，可得到该函数解析式为，然后化为顶点式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当时，，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴足球到达距离地面最大高度时的时间t为．
故选：D
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．
10. 如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
点四点共圆，在以为直径的圆上，
如图，连接，

由圆周角定理得：，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
注意事项：
所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．
不按以上要求作答，答案无效．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 分解因式：=____．
【答案】．
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为，
，
去分母，得，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
14. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为___________．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形内角和，首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得的度数．
【详解】解：在正五边形中，每条边都相等，每个内角也相等，
正五边形内角和：
∴，
又∵，
∴ ．
故答案为．
15. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
由作图知平分，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键．
16. 年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
、、，
设抛物线解析式为：，
将代入解析式，
解得：，
，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为：，
令，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简绝对值、零次幂，正弦值，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
18. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】；
【解析】
【分析】先求出不等式组解集，进而求出它的所有整数解即可．
【详解】解：由，得：；
由，得：；
∴不等式组的解集为：；
∴它的所有整数解为：．
【点睛】本题考查求不等式组的整数解．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键．
19. 如图，矩形中，过对角线的中点O作直线，分别交于点E，F，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，矩形的性质，由四边形是矩形，得到，再得出，由是的中点，得到，即可得出，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
是中点，
，
又，
．
20. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ；
（2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数．
【答案】（1）450 （2）
（3）见解析 （4）人
【解析】
【分析】（1）根据的人数是人，所占的比例是，据此即可求得此次调查的样本容量；
（2）用类学生数除以，再乘以即可得解；
（3）利用总人数减去、、三类的人数即可求得的人数，从而补全直方图；
（4）利用总人数乘以对应的百分比即可求得．
【小问1详解】
解：，
答：此次调查的样本容量为是，
故答案为．
【小问2详解】
解：，
故答案为；
【小问3详解】
解：
补全图形如下：
【小问4详解】
解：（人）
答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】（1）A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个
（2）最多可购进A型玩具25个
【解析】
【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解；
（2）根据题意列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
设型玩具的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型玩具的单价为元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
【小问2详解】
设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式．
22. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：）

【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，点E是的中点，连接交于点F．

（1）求证：；
（2）若，求的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，由是的切线，可得，由是直径，可得，由，可得，证明，进而可证；
（2）由勾股定理得，，由（1）可知，，则．由，可得，，由勾股定理得，，由点E是的中点，可得，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∵是直径，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由勾股定理得，，
由（1）可知，，
∴．
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、直径所对的圆周角为直角、等角对等边、同弧或等弧所对的圆周角相等、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键在于确定角度、线段之间的关系．
24. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【解析】
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；

把代入得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
25. 已知正方形，是对角线上一点．

（1）如图1，连接，．求证：；
（2）如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，．求的值．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质得出，，进而即可得到；
（2）先判断出，进而判断出，即可得到结论；
（3）先求出的长，可证明是等腰直角三角形．从而得到的长，再利用，，可证得，进而得到，从而可得到答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
在和中
∴．
【小问2详解】
解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．

【小问3详解】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟练掌握等腰三角形以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）最大为
（3）存在，的坐标为或（3，-16）或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；
（2）过作于点，过点作轴交于点，证明 是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
（1）∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
【小问3详解】
存在．
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．