2023年山东省济南市槐荫区中考三模数学试题（解析版）

这是一份2023年山东省济南市槐荫区中考三模数学试题（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级联合模拟测试
数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数定义直接求值即可得到答案；
详解】解：由题意可得，
的相反数是，
故选D．
【点睛】本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2. 故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达平方米，在世界宫殿建筑群中面最大．请将用科学记数法表示应为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：将用科学记数法表示应为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．
3. 某公园供游客休息的石板凳如图所示，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的定义和画法判定即可．
【详解】从左边看，可得左视图为：

故选：B
【点睛】本题主要考查立体图形的三视图，正确理解左视图是从左边看而得到的图形是解题的关键．
4. 如图，，FG平分，则的度数是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得到的度数，再根据角平分线的性质，求得，最后利用两直线平行，同位角相等，得到的度数．
【详解】解：，
,
平分，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项C符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义解及性质是解题的关键．
6. 如果，且，那么代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．
【详解】解：原式

，
，
，
原式，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
7. 现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片（除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均匀后从中随机一次抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意列举出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片（除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均匀后从中随机一次抽取两张卡片，共有6种等可能的结果：“道路自信”和“理论自信”； “道路自信”和 “制度自信”； “道路自信”和“文化自信”； “理论自信”和“制度自信”； “理论自信”和“文化自信”； “制度自信”和“文化自信”；其中恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的结果有1种，
∴恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率，
故选A．
【点睛】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是解题的关键．
8. 已知一次函数（，为常数，）的图像如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图像大致是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数（，为常数，）的图像判定，确定图像分布，判断即可．
【详解】根据一次函数（，为常数，）的图像判定，
∴的图像分布在二四象限，反比例函数的图像分布在二四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k，m的关系是解题的关键．
9. 如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE，若AE＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（　　）

A. 4 B. 8 C. 2 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本作图得到∠ABE＝∠CBE，再根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BC＝AD＝16，AB＝CD，再证明AB＝AE＝10，则CD＝10，接着利用勾股定理的逆定理判断△CED为直角三角形，∠CED＝90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理计算BE的长．
【详解】解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝AE＋DE＝10＋6＝16，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，
∴CD＝10，
在△CDE中，∵DE＝6，CE＝8，CD＝10，
∴DE2＋CE2＝CD2，
∴△CED为直角三角形，
∴∠CED＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠CED＝90°，
在Rt△BCE中，BE＝
故选：B．
【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理．
10. 若点在抛物线上，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据抛物线的解析式确定其对称轴，结合抛物线的对称性，开口方向，函数的增减性和两个点的坐标即可确定的取值范围．
【详解】抛物线的对称轴是，
当点关于直线对称时， ，
解得．
∴当时，．
∵，抛物线开口向下，点在的右侧，
∴当时．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的对称性和函数的增减性确定的取值范围是解题的难点．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式直接分解即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
12. 若小球在如图所示的地面上自由滚动，并随即停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是___．

【答案】
【解析】
【分析】求出黑色部分所占面积，再根据几何概率解答．
【详解】黑色部分面积为12个小三角形，即6个小正方形；
P，
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式，用概率公式求解简单的概率是解题的关键．
13. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______．

【答案】##度
【解析】
【分析】先根据正六边形的内角和定理和正方形的性质得到，，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的性质，熟知多边形内角和定理是解题的关键．
14. 如图，在菱形中，，，扇形的半径为6，圆心角为，则阴影部分的面积是______．

【答案】##
【解析】
【分析】连接．先证是等边三角形．得，又由扇形的半径为6，圆心角为，证，从而有，进而得四边形的面积等于的面积，即可求解．
【详解】解：连接．

∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
∴的高为．
∵扇形的半径为6，圆心角为，
∴，
∴，
设相交于点G，设相交于点H．
在和中，
，
∴，
∴四边形的面积等于的面积，
∴图中阴影部分的面积是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形的面积等于的面积是解题的关键．
15. 在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．

【答案】2022
【解析】
【分析】终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022
【点睛】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
16. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是_________

【答案】①②③
【解析】
【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．
【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，．
∴．
∴．
故①正确；
∵，
∴．
∴．
∴．
故②正确；
∵，，
∴．
即．
∴．
∴．
故③正确；
∵点A是线段的中点，
∴．
即．
∴．
∴．
∴．
故④不正确；
故答案是①②③．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数、二次根式的性质及负整数指数幂的性质依次计算各项后再合并即可．
【详解】原式=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练运用绝对值的性质、特殊角的三角函数、二次根式的性质、负整数指数幂的性质及实数的混合运算法则是解决问题的关键．
18. 解不等式组：，并求出所有整数解．
【答案】不等式组的解集为，整数解为，0，1，2
【解析】
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可作答．
【详解】
解：解不等式①得，，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为，
整数解为，0，1，2．
【点睛】本题考查了求解不等式组的知识，掌握不等式的基本求解方法是解答本题的关键．
19. 已知：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，过点D作，交AC于点E，过点B作，交AC于点F．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】通过证明△DCE≌△BAF推知CE=AF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠DCE=∠BAF．
又∵DE⊥DC，BF⊥AB，
∴∠CDE=∠ABF=90°．
在△DCE与△BAF中，
．
∴△DCE≌△BAF（ASA）．
∴CE=AF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20. 资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：）

（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔的高．
【答案】（1）5米；（2）19.25米
【解析】
【分析】（1）过点D作DE⊥CM，根据坡度及勾股定理求DE的长度；
（2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形
【详解】解：（1）过点D作DE⊥CM
∵斜坡的坡度为
∴设DE=x，则CE=2.4x
在Rt△CDE中，
解得：x=±5（负值舍去）
∴DE=5
即D处的竖直高度为5米；
（2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形
∴GF=DE=5，CE=2.4DE=12，
由题意可得：∠ACF=45°，∠ADG=53°
设AF=CF=a，则DG=EF=a-12，AG=AF-GF=a-5
∴在Rt△ADG中，，
解得：a=33
经检验：符合题意，
∴DG=33-12=21，
又∵斜坡的坡度为
∴，
解得：BG=8.75
∴AB=AF-GF-BG=19.25
即基站塔的高为19.25米．

【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．
21. 为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织七、八年级学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分100分）．该校数学兴趣小组为了解学生竞赛分数情况，随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩，已知抽查得到的七年级的数据如下：
80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，
75，65，70，65，85，70，95，80，75，80．
为了便于分析数据，统计员对七年级数据进行了整理，如表：
成绩等级
分数（单位：分）
学生数
D等

5
C等

a
B等

b
A等

2
两个年级成绩的平均数、中位数、优秀率如表：（分数80分以上、不含80分为优秀）
年级
平均数
中位数
优秀率
七年级
78
c

八年级
76
82.5
50%

（1）a=______，b=______，c=______，m=______；
（2）七年级秀秀和八年级清清的分数都为80分，判断秀秀、清清在各自年级的排名哪位更靠前？并说明理由；
（3）如果我校七、八年级各有学生2000人，估计我校七、八年级此“垃圾分类知识竞赛”成绩优秀的总人数．
【答案】（1）10，3，77.5，25
（2）七年级秀秀的排名更靠前．理由见解析
（3）估计该校此次线上测试成绩优秀的人数是1500人
【解析】
【分析】（1）根据数据的搜集与整理可直接得到a、b的值，根据中位数的定义求出七年级的中位数，即可确定c的值；求出七年级的优秀率可确定M的值；
（2）根据七、八年级的中位数以及各自的成绩比较得出答案；
（3）分别求出七、八年级学生中成绩为优秀的学生人数即可．
【小问1详解】
解：（1）由数据的统计可得，a＝10，b＝3，
将七年级20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝77.5（分），因此中位数是77.5分，即c＝77.5；
七年级这20名学生成绩的优秀率为：＝25%，即m＝25，
故答案为：10，3，77.5，25；
【小问2详解】
解∶ 七年级秀秀的排名更靠前．理由如下：
因为七年级的中位数是77.5，八年级的中位数是82.5，
所以七年级秀秀和八年级清清的分数都为80分，但秀秀的排名更靠前；
【小问3详解】
解∶2000×25%＋2000×50%＝500＋1000＝1500（人），
故估计该校此次线上测试成绩优秀的人数是1500人．
【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数以及样本估计总体，掌握中位数的定义以及计算方法是解决问题的关键．
22. 如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝， 连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．

（1）求证：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；
（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到，求得CE＝AF＝AE，根据AE＋CE＝AC即可求得AF．
【小问1详解】
证明：连接AD，

∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠F+∠DAF＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABF，
∵＝，
∴∠ABF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE；
【小问2详解】
解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∵AB＝8，BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴，即，
∴CE＝AF，
∵AF＝AE，
∴CE＝AE，
∵AE+CE＝AC＝2，
∴AE＝，
∴AF＝AE＝．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据切线的性质和圆周角定理得到90°角．
23. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
【答案】（1）甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；（2）甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【解析】
【分析】（1）根据该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：（1）设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元，
依题意，得： ，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程解，且符合实际意义，则x-6=24．
答：甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式：
m≥(300-m)，解得：m≥75，
∴75≤m≤300，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(300-m)=5m+4500，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=75时，W有最小值，
∴W=5×75+4500=4875元
∴甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
24. 如图，已知反比例函数的图象经过点，动点在反比例函数图象上的点和轴之间移动，是轴上一点，连接．

（1）求直线的表达式；
（2）过点作轴交直线于点．
①求出面积的最大值；
②是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线AB的表达式为
（2）①△MBN面积的最大值为；②存在，点N的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，进而求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式；
（2）①根据三角形的面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可；
②分三种情况，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程得到答案．
【小问1详解】
解：设直线的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
则点A的坐标为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
【小问2详解】
解：①设点N的坐标为，点M的坐标为，
则，
∴

，
∵，
∴面积的最大值为；
②过点N作轴于点H，

当时，点H为中点．
∴点N的纵坐标为，即，
解得：，
此时，点N的坐标为；
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），，
则，
此时，点N的坐标为；
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），，
则，
此时，点N的坐标为，
综上所述：为等腰三角形时，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用、等腰三角形的性质、二次函数的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
25. （1）观察猜想：
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．
（2）类比探究：
如图3，当，时，请求出的值及的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．

【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2
【解析】
【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°；
（2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°；
（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD=
DM=2．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，
∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形，
∴，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∆BAD~∆CAE，
∴，∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=45°，
故答案是：，45°；
（2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，
∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，
∴，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∆BAD~∆CAE，
∴，∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=30°；
（3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∆ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAM=45°，，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM，
∴∆BAD~∆CAM，
∴∠ABD=∠ACM，，
又∵BD=6，
∴CM==3，
∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90°
∴∠ABD+∠BCD=180°，
∴∠ACM+∠BCD=180°，
∴∠DCM=90°，
∴DM=，
∴AD=DM=2，
即A，D两点之间的距离是2．

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值．
（3）如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2），C的最小值为
（3）最大值为
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论；
（2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论；
（3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论．
【小问1详解】
解：∵
∴
∵
∴，
将、的坐标代入
得：
∴
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：由，
令，即，
解得：，
∴，
∴，
∴

作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接，

，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当时，的最小值为；
【小问3详解】
如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于，

设直线解析式为：，
由(1)得：，
将， 分别代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
，故的横坐标，代入，得：，
，
，
设，则，
，
轴于点，轴，
，
，
，
将、分别看作、为底边，则它们的高相同，
，
，
时，有最大值，最大值为
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值．