辽宁省锦州市实验学校2023-2024学年下学期九年级开学验收数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，，其中最低的气温是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；由题意可根据有理数的大小比较进行求解．
【详解】解：∵，
∴最低的气温是；
故选A．
2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则进行计算，再逐一判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、，原计算正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键．
【详解】解：这个立体图形主视图为：

故选：B．
5. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A. 0.46B. 0.50C. 0.55D. 0.61
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
6. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
7. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板，先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
故选：C．
8. 如图，过上一点P的切线与直径AB的延长线交于点C，点D是圆上一点，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．
连接，由圆周 角定理得出，再由切线的性质得，即可由三角形内角和定理求解．
【详解】解：如图，连接，
∴
∵是的切线，
∴
∴
∴
故选：A．
9. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
10. 某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（ ）
A 3B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得：，，当点在上运动时，由图可得，当点与点重合时，，求出，即，当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，求出抛物线解析式为，从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，则从图象上看关于对称，关于对称，，，结合，求出的值即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，，
当点在上运动时，，
由图可得，当点与点重合时，，
，
或（不符合题意，舍去），
，
当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，
则抛物线的表达式为，
将代入得：，
，
抛物线的表达式为：，
从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，
若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看关于对称，关于对称，
，，
，
由①③③解得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）．
【答案】抽样调查
【解析】
【分析】根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可．
【详解】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
12. 已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，且两点间的距离为4，则点表示的数是 _____．
【答案】或##或5
【解析】
【分析】分点在点的左边和右边，分别列出方程：和，解方程求出后即可得到答案．
【详解】解：当点在点的左边时，
，
解得：，
点表示的数是；
当点在点的右边时，
，
解得：，
点表示的数是；
综上所述点表示的数是5或，
故答案为：5或．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离和一元一次方程，解题的关键是列出关于的方程，注意分类讨论．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解m的不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
故答案为：．
14. 如图，的直角边在x轴上，，反比例函数的图象经过的中点D，若，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：∵，点是的中点，
∴，
∵，反比例函数图象经过点D，
∴
∵函数图象在第二象限，
∴.
故答案为：.
15. 如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论有 ________.（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出，，，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，到之间的距离等于到之间的距离（设距离为h），求出四边形与四边形的面积相等，根据菱形的判定求出四边形是菱形即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，到之间的距离等于到之间的距离（设距离为h），
∵四边形的面积，四边形的面积，，
∴四边形与四边形的面积相等，故③正确；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故④正确；
∴正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．
三．解答题（共8小题）
16. 计算
（1）
（2）老师所留作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
①老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第 步开始出现错误；乙同学的解答从第 步开始出现错误；
②请重新写出此题的正确解答过程．
【答案】（1）
（2）①二；二；②，见解析
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的减法等知识．
（1）利用特殊角三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂进行计算即可；
（2）①根据异分母分式减法的步骤进行判断和解答即可；②先通分化为同分母分式，再进行同分母分式减法计算即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
①老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第二步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误；
故答案为：二；二；
②

．
17. 为提高居民防范电信网络诈骗的意识，某社区举办相关知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩（满分100分），并进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分为四组：A． ，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息：
甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100．
乙队10名队员的比赛成绩在D组中的所有数据为：92，92，97，99，99，99．
甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）该社区甲代表队有200名队员、乙代表队有230名队员参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在A组的队员共有多少名；
（3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）93，99，10
（2）43 （3）甲队，理由见详解．
【解析】
【分析】本题主要考查中位数、众数、平均数以及所占比例的意义和计算方法．
（1）根据中位数、众数的定义和百分比之和为1求解即可；
（2）甲队总人数乘以样本中A组所占比例加上乙队总人数乘以样本中A组所占比例即可．
（3）根据平均数和中位数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100．
所以，
，
∴
根据成绩统计表和扇形统计图可知：
乙队10名队员的比赛中A组有1人，B组有1人，C组有2人，
∴乙队10名队员中众数为D组出现3次的99．
故答案为：93，99，10．
【小问2详解】
根据题意，甲队A组人员有1人，∴A组占比为：，
由（1）可知乙队A组占比：，
∴此次比赛成绩在A组的队员共有（人），
【小问3详解】
根据甲、乙代表队比赛成绩统计表，可知：甲队的比赛成绩更好，
∵甲、乙队平均数都为相等，而甲队的中位数大于乙队，
∴甲队的比赛成绩更好．
18. 阅读并完成相应的任务
【答案】任务1：款盲盒的销售单价是10元，款盲盒的销售单价是8元
任务2：；
任务3：至少购买款盲盒16个，线下购买方式更合算
【解析】
【分析】任务1：设该商店在无促销活动时，款盲盒的销售单价是元，款盲盒的销售单价是元，由等量关系类二元一次方程组求解即可得到答案；
任务2：小明计划在促销期间购买、两款盲盒共40个，其中款盲盒个（），则款盲盒个，根据线上线下销售情况列式表示即可得到答案；
任务3：由题意列不等式求解，再由问题的实际意义取值即可得到答案．
【详解】解：（任务1）设该商店在无促销活动时，款盲盒的销售单价是元，款盲盒的销售单价是元，
根据题意得，解得，
答：该商店在无促销活动时，款盲盒的销售单价是10元，款盲盒的销售单价是8元；
（任务2）小明计划在促销期间购买、两款盲盒共40个，其中款盲盒个（），则款盲盒个，
若线下购买，共需要元；
若线下购买，共需要元；
（任务3）根据题意得，解得：，
又∵，
∴，
∵为正整数，
∴的最小整数解为16，
答：至少购买款盲盒16个，线下购买方式更合算．
【点睛】本题考查解实际应用题，涉及二元一次方程组解实际应用题、列代数式表示实际问题、不等式解实际问题等知识，读懂题意，根据题中关系准确列出方程组、代数式及不等式求解是解决问题的关键．
19. 如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内）
（1）求两点之间的距离；
（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01）
【答案】（1）6千米
（2）1.06分钟
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而利用平角定义可得，，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：过点作，垂足为，
由题意得：，，，
∴，，
在中，千米，
∴（千米），
在中，（千米），
∴两点之间的距离为千米；
【小问2详解】
解：过点作，垂足为，
由题意得：，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，千米，
∴（千米），
在中，（千米），
∴飞机从点飞行到点所用的时间（分钟），
∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟．
20. 如图，圆内接四边形的对角线，BD交于点，BD平分，．

（1）求证DB平分，并求的大小；
（2）过点作交AB的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【答案】（1）见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明DB平分，进而根据BD平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，即平分．
∵BD平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21. 综合探究：
整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题．
如：代数式的化简问题．若把看成一个整体，
则：．
这就是数学解题中的“整体思想”．
请运用上面的“整体思想”解决下列问题：
（1）尝试应用：化简
（2）拓展运用：如图1，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．
（3）迁移运用：如图2，长方形纸片，点E，F分别是边上任意一点，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由．
【答案】（1）
（2）8 （3）不会发生变化
【解析】
【分析】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型；
（1）根据题干给出的思路作答即可；
（2）根据分别是线段的中点，得出，再根据，进行计算即可得解；
（3）根据折叠的性质，角的和差定义计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：因为分别是线段的中点，
所以．
所以．
因为，所以；
【小问3详解】
由折叠的性质可知平分平分
故不会发生变化．
22. 如图
（1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是 ；
（2）如图，四边形是矩形，，，点是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为 ．
【答案】（1）；
（2），，理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】()证明，即可得到；
()证明，得到，，延长相交于点，可以证明；
()作于，交的延长线于，首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值即可求解．
【小问1详解】
解： ∵正方形，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，理由如下：
延长相交于点
∵矩形、矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：作于，交的延长线于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点的运动轨迹是直线，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，
由()知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点Px1,y1是图形上的任意一点，点Qx2,y2是图形上的任意一点，若存在直线l：y=kx+bk≠0满足且，则称直线l：y=kx+bk≠0是图形与的“隔离直线”．
例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“隔离直线”．
（1）在直线中，是图1函数的图象与正方形的“隔离直线”的为 ；
（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，与的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式；
（3）正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“隔离直线”，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】此题重点考查定义新函数的有关内容，用到反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）根据定义，结合图象，可判断出与双曲线及正方形最多有一个公共点的的直线为；
（2）先作出以原点为圆心且经过的顶点的圆，再过点作的切线，求出该直线的解析式即可；
（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出的取值范围．
【小问1详解】
解：如图，
从图可知：与双曲线和正方形没有公共点，
不在双曲线及正方形之间，
根据“隔离直线”定义可知，直线是双曲线与正方形的“隔离直线”，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图1，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则．
，
，
直线是与的“隔离直线”．
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，解得，
∴与的“隔离直线”是；
【小问3详解】
由得，
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴，
∴，解得，
∴此时的“隔离直线”为，
当正方形在直线上方时，如图：
∵点是此正方形的中心，
∴顶点，
∵顶点不能在直线下方，得，解得；
当正方形在直线下方时，如图：
对于抛物线，当时，；当时，
设经过点0,3和点的直线为，
则
解得
∴直线恰好经过点0,3和点；
对于直线，当时，，
由不能在直线上方，得，解得，
综上所述，或．试验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形线”内部的次数
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形线”内部的频率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0.498
0.501
甲同学
乙同学

第一步
第二步
第三步

第一步
第二步
第三步
代表队
平均数
中位数
众数
“C”组所占百分比
甲
90
a
94
10%
乙
90
92
b
20%
代表队
平均数
中位数
众数
甲
90
93
94
乙
90
92
99
问题背景
小明所在的班级开展知识竞赛，需要购买、两种款式的盲盒作为奖品．
调研1
商店在无促销活动时，若买15个款盲盒、10个款盲盒，共需230元；若买25个款盲盒、25个款盲盒，共需450元．
调研2
商店开展促销活动时，线下活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1
商店在无促销活动时，求款盲盒和款盲盒的销售单价各是多少元？
任务2
小明计划在促销期间购买、两款盲盒共40个，其中款盲盒个（），
若线下购买，共需要______元；
若线上购买，共需要______元．（均用含的代数式表示）
任务3
请你帮小明算一算，在任务2的情况下，至少购买款盲盒多少个，线下购买方式更合算？