湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知复数z满足，则， 已知等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的坐标表示，列出不等式，即可得答案.
【详解】由，，可得，
解得，
故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合，，根据交集定义求.
【详解】∵，
∴.
解，得，
∴.
∴.
故选：D.
3. 已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台侧面积公式计算即可．
【详解】因为该圆台的侧面积为，母线长，
所以，解得，则，
故选：C．
4. 已知复数z满足，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求出1+iz，求出iz，求出，求出.
【详解】由，有1+iz=42+i=42-i2+i2-i=85-4i5，
∴iz=35-4i5，∴z=5i3-4i=5i3+4i3-4i3+4i=-45+3i5，
∴z=1.
故选：B．
5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合两角差的正弦公式求解即可.
【详解】由正弦定理得，
即，或．
若，结合，有，故舍去．
．，，
故选：D．
6. 记抛物线的焦点为，点在上，B2,1，则AF+AB的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的定义即可求解.
【详解】过点作的垂线，垂足为，则AF=AD，
则AF+AB=AD+AB≥3，如图所示.
所以AF+AB的最小值为.
故选：B．
7. 记A，B为随机事件，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解．
【详解】记，由全概率公式有，
代入数据有，解得，
，
故选：D．
8. 已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦函数性质得三点坐标，再由，结合有，建立方程即可求出，最后将代入函数解析式即可得解.
【详解】由正弦函数性质有，，，
由直角三角形，可得，
结合有，
，
，
解得或（舍去），
，
，
.
故选：C.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷､李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为，则（ ）
A. 该组数据的极差为25
B. 该组数据的分位数为19
C. 该组数据的平均数为17
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可.
【详解】对于A项，极差等于，故A正确；
对于B项，，故分位数为20，故B错误；
对于C项，平均数等于，故C正确；
对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知首项为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A. 可能为等差数列
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知分类讨论得出通项及性质判断A,B,C,分类讨论求和即可判断D.
【详解】由题意可得或.
注意到若存在使得，则，
对于C项，只能满足，得，
当时也符合，此时，故数列为等差数列，故A正确；
，故C正确；
若，则，故，故B错误；
此时，奇偶分类讨论有，则，故D正确，
故选:ACD.
11. 已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（ ）
A. B. 函数减函数
C. 点B可能在以为直径的圆上D. h的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用偶函数的性质求解参数判断A，利用导数判断B，利用圆的性质判断C，利用不等式的取等条件判断D即可.
【详解】对于A选项，由是偶函数得到，
则，解得，故A正确；
对于B选项，，
故，且恒成立，
故得为减函数，故B正确；
对于C选项，由B知，即，
由对称性，可设，则．
若点B在以为直径的圆上，则有，
带入即，
即．
若，则，不满足题意；
若，，而，
，
故B不可能在以为直径的圆上，故C错误；
对于D选项，过点B作x轴的垂线交于点D，则（当且仅当时取等），
而，记，
则，
当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等，
故h的最大值为，故D正确．
故答案选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是找到不等式的取等条件，然后得到参数值，得到所要求的最值即可．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由求得，进而利用二倍角公式可得的值.
【详解】因为，所以，
所以。
故答案为：.
13. 写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________.
①不是常函数
②的最小正周期为2
③不存在对称中心
【答案】（不唯一）
【解析】
【分析】根据函数所具有的性质，结合正弦函数的性质，即可确定答案.
【详解】根据题中函数需满足的条件，可取函数为正弦型函数，
即可取，其图象为：
结合图象可知满足题意，
故答案为：（不唯一）
14. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用给定条件分别求出边长，利用余弦定理表示同角的三角函数，建立齐次方程求解离心率即可.
【详解】如图记直线与直线的交点为P，且连接，则，

由对称性有过坐标原点O且．
由有，，
又，，，
，，，即，，
在中，，
在中，，解得，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用给定条件求出各个三角形的边长，然后利用余弦定理表示同一个角，得到所要求的离心率即可．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆过点和.
（1）求的离心率；
（2）若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆过点和，求得，进而求得，即可得到的离心率；
（2）联立和的方程，得到关于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程.
【小问1详解】
因为椭圆过点和，
所以，解得，
由，得，
所以的离心率.
【小问2详解】
由（1）可得的方程为，，
联立，得，
由，得，
直线的一般式方程为：.
16. 中国能源生产量和消费量持续攀升，目前已经成为全球第一大能源生产国和消费国，能源安全是关乎国家经济社会发展的全局性､战略性问题，为了助力新形势下中国能源高质量发展和能源安全水平提升，发展和开发新能源是当务之急.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
（1）计算与的相关系数（保留三位小数）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量.
参考公式.
参考数值：.
【答案】（1）
（2）线性回归方程是，该地区年新能源汽车购买数量约为万辆.
【解析】
【分析】（1）利用所提供数据求，，，，代入参考公式求即可；
（2）结合公式求，，由此可得回归方程，再利用回归方程进行预测.
【小问1详解】
，
，
，
.
【小问2详解】
由（1）知，
，
所以关于的线性回归方程是，
当时，（万辆），
该地区年新能源汽车购买数量约为万辆.
17. 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）侧面是边长为2的正方形得到和的关系，、和的长度，根据侧面是平行四边形得到和，在中，由余弦定理得，判断的形状，证明平面，证明；
（2）取的中点，记为D，连接，．证明，，平面，求出二面角的平面角，证明平面，记二面角为，表示出与的关系，找到和的关系，求出，求出，证明，求出.
【小问1详解】
侧面是边长为2的正方形，
，，，
侧面是平行四边形，
，
在中，由余弦定理有，
解得，是直角三角形，
，，，平面，
平面，又平面，
；
【小问2详解】
取的中点，记为D，连接，，
，，
，，
，，平面，
平面，为二面角的平面角．
又平面，，
平面，记二面角为，
则，，
，．
平面，，
，，，
的值为．
18. 已知函数，．
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，，讨论和的大小关系．
【答案】（1）极小值为，没有极大值
（2）
答案见详解 （3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）对求导，令求得，f'x的零点把定义域划分为0,1和1,+∞判断各个区间的单调性，从而判断是极大值点还是极小值点，再求出对应的极值即可；
（2）对求导，并对导函数进行整理，整理成因式乘积的形式，然后根据不同的对的导函数正负的影响进行讨论，从而得到的单调性；
（3）由（2）可以得到，，结合，得到取不同范围时的范围，再结合函数的单调性，从而判断和的大小关系．
【小问1详解】
，x∈0,1时f'x<0，x∈1,+∞时f'x>0，
∴fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴fx在处取到极小值，没有极大值．
【小问2详解】
情形一 若，可得恒成立，且，
时，，故在单调递减；
时，，故在单调递增；
情形二 若，，则，
在单调递增；
情形三 若，令，解得或，
又由（1）知当时，可得，
时，，故在单调递减；
和时，，故和单调递增．
综上所述，若，时，单调递减，时，单调递增；
若，，在单调递增；
若，时，单调递减，和时，单调递增．
【小问3详解】
由（2）知，只能是，，
由，则，解得且，
又当时，，，由在0,1上单调递减可知；
当时，，，由在1,+∞上单调递增可知．
综上所述，时，；时，．
19. 对于一个非零整数和质数，我们称中含幂次为定义为最大的非负整数，使得存在非零整数，有，例如等．定义一个非零有理数的，如，且规定．现在对于任意一个有理数，我们定义其“示数”为，其中，规定．记两个有理数的“示数距离”为．
（1）直接写出的值；
（2）证明：对于一个正整数，存在一列非整数的正有理数使；
（3）给定质数，若一个无穷集合中任意一数列，对于任意，则我们称集合是“紧致的”，是否存在质数，使得整数集是“紧致的”？若存在，求出所有；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）不存在质数，使得整数集是“紧致的”，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义分别计算即可；
（2）取，，则为非整数的正有理数，结合定义及指数函数单调性即可证明；
（3）取，，则，故，结合定义及指数函数单调性即可说明理由．
【小问1详解】
由已知得，，，
所以；
，，；
由，，
所以．
【小问2详解】
取，，则为非整数的正有理数，
有，
因为函数在0,+∞上单调递减，且，
所以成立．
【小问3详解】
不存在，理由如下：
取，，
则，故，
则，其中，
故，
因为为质数，所以在0,+∞单调递减，且时，，
所以，
所以不存在质数，使得整数集是“紧致的”．
【点睛】关键点睛：第（2）问中，解题关键是取，，则；第（3）问中，解题关键是取，，则．
年份
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车购买数量（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80