新高考数学二轮精品专题二 平面向量与复数（2份打包，原卷版+教师版）

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命题趋势
1．平面向量
平面向量是高考的重点和热点，在选择题、填空题、解答题中均有出现．选择题、填空题主要考查平面向量的基本运算，难度中等偏低；解答题中常与三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系问题相结合，通常涉及向量共线与数量积．
2．复数
复数的考查主要为复数的运算、复数的几何意义、复数概念的考查．
考点清单
一、平面向量
1．平面向量基本定理
如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．
其中，不共线的非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
3．平面向量共线的坐标表示
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
4．平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量 SKIPIF 1 < 0 叫做向量和的数量积，
记作．
规定：零向量与任一向量的数量积为．
（2）投影： SKIPIF 1 < 0 叫做向量在方向上的投影．
（3）数量积的坐标运算：设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则① SKIPIF 1 < 0
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② SKIPIF 1 < 0
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ SKIPIF 1 < 0
④ SKIPIF 1 < 0
5．三角形“四心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对的边长分别为，
则：为内心
为外心 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
为重心 SKIPIF 1 < 0
（4）为垂心 SKIPIF 1 < 0
二、复数
1．形如的数叫做复数，复数通常用字母表示．
全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示．其中，分别叫做复数的实部与虚部．
2．复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
如果，那么且．
特别地，，．
两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．
3．复数的分类
复数，时为实数；时为虚数，，时为纯虚数，
即复数（，） SKIPIF 1 < 0 ．
4．复平面
直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数对应复平面内的点．
5．共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
复数的共轭复数用表示，即如果，那么．
（2）共轭复数的性质
①；②非零复数是纯虚数；③，；④；； SKIPIF 1 < 0 ．
（3）两个共轭复数的积
两个共轭复数，的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即．
6．复数的模
向量的模叫做复数的模(或长度)，记作或．
由模的定义可知（显然，）．
当时，复数表示实数，此时．
7．复数的加法与减法
两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，
即．
8．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
复数乘法按多项式乘法法则进行，设，，
则它们的积．
（2）复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何，
有① (交换律)；
② (结合律)；
③ (分配律)．
9．复数的除法
复数除法的实质是分母实数化，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
精题集训
（70分钟）
经典训练题
一、选择题．
1．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．故选D．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，结合向量的线性运算即可解题，属于基础题．
2．已知向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且与反向，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．36B．48C．57D．64
【答案】A
【解析】因为与反向，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题考查了平面向量的数量积，属于基础题．
3．设向量，，，且，则（ ）
A．B．C． SKIPIF 1 < 0 D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
当时，则有，解得，故选A．
【点评】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量，，
则当时，．
4．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，所以三角形是直角三角形，故选B．
【点评】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边．在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理．
5．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】，圆方程为，
由 SKIPIF 1 < 0 ，由，，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由，，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为在双曲线上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，，解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
故选A．
【点评】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得．
6．复数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
7．在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由复数的运算法则，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对应的点 SKIPIF 1 < 0 位于第四象限，故选D．
【点评】本题主要考了复数的运算，以及复数平面的概念，属于基础题．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 为实数，复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，
则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】本题主要考查了复数的相关概念，属于基础题．
9．对于给定的复数z，若满足 SKIPIF 1 < 0 的复数对应的点的轨迹是圆，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 的复数对应的点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题考查复数的几何意义， SKIPIF 1 < 0 表示复平面上 SKIPIF 1 < 0 对应点 SKIPIF 1 < 0 到原点的距离， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 间的距离，而 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点在以 SKIPIF 1 < 0 对应点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，利用几何意义题中问题转化为求定点到圆心的距离即可得．
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题．
11．（多选）设 SKIPIF 1 < 0 为复数， SKIPIF 1 < 0 ．下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】由复数模的概念可知， SKIPIF 1 < 0 不能得到 SKIPIF 1 < 0 ，例如 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
取 SKIPIF 1 < 0 ，显然满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，D错误，
故选BC．
【点评】本题主要考了复数的一些抽象概念，难度中等偏易．
二、填空题．
12．已知，，若，则与的夹角为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】，
，，解得，
即，
SKIPIF 1 < 0 ，
又与的夹角的范围是，则与的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题考查了向量的垂直，向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查计算能力．
高频易错题
一、填空题．
1．平面向量，的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
精准预测题
一、选择题．
1．已知向量，，若与反向，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】若与共线，则，解得，
∴，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题考查了向量共线的条件以及向量的坐标运算，属于基础题．
2．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算，属于基础题．
3．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为单位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．25B．7C．5D．
【答案】D
【解析】因为平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单位向量，且向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故故选D．
【点评】本题考查了向量模长的计算，运用“遇模则平方”的思想即可解题．
4．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（ ）
A．0B．1C．D．7
【答案】D
【解析】将向量放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，
则，
，，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
，故选D．
【点评】本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．
5．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，在第三象限，故选C．
【点评】本题考点为复数的运算和复数的概念属于基础题．
6．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意，复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点评】本题主要考了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．
7．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点评】本题考点为复数的运算及复数的相关概念，属于基础题．
8．若i为虚数单位，复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 表示以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆及其内部，
又 SKIPIF 1 < 0 表示复平面内的点到 SKIPIF 1 < 0 的距离，据此作出如下示意图：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【点评】常见的复数与轨迹的结论：
（1） SKIPIF 1 < 0 ：表示以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆；
（2） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ：表示以 SKIPIF 1 < 0 为端点的线段；
（3） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ：表示以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆；
（4） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ：表示以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线．
9．复数 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，在第一象限，故选A．
【点评】本题主要考查了复数的周期性、复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题．
二、填空题．
10．已知向量| SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则的最大值为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴与的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，化简得，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
11．在中， SKIPIF 1 < 0 ，，点在边上．若， SKIPIF 1 < 0 ，则的值为_________．
【答案】
【解析】设，故，
即，
故，
，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此式代入（1）式可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
代入（1）式可得，
故答案为．
【点评】本题考查平面向量的基本定理、数量积的运算，以及方程思想的运用，属于中档题．