高考数学二轮精品专题六 平面向量（文） (2份打包，教师版+原卷版)

平面向量的命题以客观题为主，以熟知的平面图形为背景，考查平面向量的基本定理及基本运算，另外向量作为工具进行考查，三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题的形式出现．

一、平面向量及其线性运算

1．向量的有关概念

2．向量的线性运算

3．共线向量定理

向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得．

二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示

1．平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．

其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设，，则，，，

．

3．平面向量共线的坐标表示

设，，其中．

．

三、平面向量的数量积

1．定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做向量和的数量积，

记作．

规定：零向量与任一向量的数量积为．

2．投影：叫做向量在方向上的投影．

3．数量积的坐标运算：设向量，，则

（1）

（2）

（3）

一、选择题．

1．已知向量，，且，则（    ）

A． B．1 C．4 D．7

【答案】C

【解析】因为，所以，所以，故选C．

【点评】本题考点为向量的模长，以及向量的坐标运算，属于基础题．

2．已知单位向量满足，若向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为是单位向量，所以．

因为，所以．

所以，

所以，故选B．

【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．

3．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，圆方程为，

由，由，，解得，即，

设，由，，

得，，

因为在双曲线上，∴，，

解得或（舍去），故选A．

【点评】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得．

4．设为单位向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为为单位向量，且，所以，

所以，解得，

所以，故选B．

【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查．

5．若向量满足，，则在方向上的投影为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】设的夹角为，

则，

则，即在方向上的投影为，故选B．

【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

6．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，，

故选B．

【点评】本题考查了向量的加法法则以及向量的数乘运算，属于基础题．

一、选择题．

1．已知平面上三点满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

故为直角三角形，且，，

，

故选D．

【点评】本题主要考查了向量的运算，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，

属于基础题．

二、填空题．

2．已知，，，的夹角为，当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值

范围        ．

【答案】

【解析】，

因为向量与的夹角为锐角，所以，

由，得，

当向量与方向相同时，，

即当时，虽然，但向量与夹角为，

所以的取值范围是．

【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，考查数量积与夹角的关系，考查计算能力，是中档题．

一、选择题．

1．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，，则的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．6

【答案】C

【解析】，

又，，

又三点共线，，即得，易知，，

当且仅当，即时，取等号，故选C．

【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．

2．若向量，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，

所以，，，

则，，所以，故选A．

【点评】本题考查了三角形面积的求法，考查向量的数量积公式、向量的夹角公式、三角形面积公式、平面向量的坐标运算，向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，是基础题．

3．在平行四边形中，，且．则（    ）

A． B． C．5 D．6

【答案】A

【解析】因为，所以，

则，所以，故选A．

【点评】解答本题的关键是根据图形特点以及点的位置利用、表示出，从而完成求解．

4．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，．若，

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，，设，，

则，，

因为，且，，三点共线，则由，可得，

所以，即，

解得或（舍去），所以．

设直线的方程为，与抛物线方程联立，

得，消去，得，则，所以，

则．

所以，故选D．

【点评】解题关键是求出的值，本题中设直线方程并代入抛物线方程，整理后应用韦达定理求出，

并结合向量，列出等式确定．

二、填空题．

5．已知向量，，若与垂直，则在方向上的投影为________．

【答案】

【解析】，，，

又，在方向上的投影为，故答案为．

【点评】本题主要考查向量垂直，以及向量投影的计算，属于基础题型．

6．已知，，若，则与的夹角为________．

【答案】

【解析】依题可得，

，，解得，

即，

，

又与的夹角的范围是，则与的夹角为，故答案为．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积公式应用问题，也考查了夹角的计算问题，是基础题型．

7．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．

【答案】

【解析】设，，=，=，

由，，，

可得A，B两点在圆上，且，

即有，即三角形为等边三角形，

，

的几何意义为点A，B两点到直线的距离与之和，

显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线平行，

可设，

由圆心O到直线AB的距离，可得，解得，

即有两平行线的距离为，

即的最大值为，

故答案为．

【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．

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