高考数学二轮复习专题03 复数问题(2份打包，教师版+原卷版)

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1．(2022·全国乙理) 已知z＝1－2i，且z＋aeq \(z,\s\up3(－))＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
1．答案 A 解析 eq \(z,\s\up3(－))＝1＋2i，z＋aeq \(z,\s\up3(－))＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2i)i，由z＋aeq \(z,\s\up3(－))＋b
＝0，得a＝1，b＝－2，故选A．
2．(2022·全国乙文) 设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
2．答案 A 解析 因为a，b为实数，(a＋b)＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝0，解得，a＝1，b＝－1．
故选A．
3．(2022·全国甲理) 若z＝－1＋eq \r(3)i，则eq \f(z,zeq \(z,\s\up3(－))－1)＝( )
A．－1＋eq \r(3)i B．－1－eq \r(3)i C．－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i D．－eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),3)i
3．答案 C 解析 eq \(z,\s\up3(－))＝－1－eq \r(3)i，zeq \(z,\s\up3(－))＝(－1＋eq \r(3)i)(－1－eq \r(3)i)＝4，eq \f(z,zeq \(z,\s\up3(－))－1)＝eq \f(z,3)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i．故选C．
4．(2022·全国甲文) 若z＝1＋i．则|iz＋3eq \(z,\s\up3(－))|＝( )
A．4eq \r(5) B．4eq \r(2) C．2eq \r(5) D．2eq \r(2)
4．答案 D 解析 因为z＝1＋i．所以iz＋3eq \(z,\s\up3(－))＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3eq \(z,\s\up3(－))|＝2eq \r(2)．故选D．
5．(2022·新高考Ⅰ) 若i(1－z)＝1，则z＋eq \(z,\s\up3(－))＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．答案 D 解析 由题设有1－z＝eq \f(1,i)＝－i，所以z＝1＋i，故z＋eq \(z,\s\up3(－))＝2，故选D．
6．(2022·新高考Ⅱ) (2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i
6．答案 D 解析 (2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i，故选D．
7．(2022·北京) 若复数z满足iz＝3－4i＝，则|z|＝( )
A．1 B．5 C．7 D．25
7．答案 B 解析 由题意有z＝eq \f(3－4i,i)＝1＋i，故|z|＝eq \r((－4)2＋(－3)2)＝5．故选B．
8．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i) i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
8．答案 B 解析 a＋3i＝－1＋bi，而a，b为实数，故a＝－1，b＝3，故选B．
【知识总结】
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数eq \x\t(z)＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2).
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中a，b，c，d∈R))
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
【同类问题】
题型一 复数的概念
1．(2021·浙江)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
1．答案 C 解析 方法一 因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3．
方法二 因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝eq \f(3＋i,i)＝1－3i，所以a＝－3．
2．(2020·全国Ⅲ)若eq \x\t(z)(1＋i)＝1－i，则z等于( )
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
2．答案 D 解析 因为eq \x\t(z)＝eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(1－i2,1＋i1－i)＝－i，所以z＝i．
3．若复数z满足eq \f(z1＋ii3,2－i)＝1－i，则复数eq \x\t(z)的虚部为( )
A．i B．－i C．1 D．－1
3．答案 C 解析 ∵eq \f(z1＋ii3,2－i)＝1－i，∴z(1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)，∴z(1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z＝2－i，
∴eq \x\t(z)＝2＋i，∴eq \x\t(z)的虚部为1．
4．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于( )
A．0 B．1 C．eq \r(2) D．2
4．答案 D 解析 方法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2．
方法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2．
5．已知eq \f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i
5．答案 B 解析 由eq \f(x,1＋i)＝1－yi，得eq \f(x1－i,1＋i1－i)＝1－yi，即eq \f(x,2)－eq \f(x,2)i＝1－yi，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y，))解得x
＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i．
6．(2021·上海)已知z＝1－3i，则|eq \(z,\s\up6(－))－i|＝________．
6．答案 eq \r(5) 解析 ∵z＝1－3i，∴eq \(z,\s\up6(－))＝1＋3i，∴eq \(z,\s\up3(－))－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|eq \(z,\s\up6(－))－i|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)．
7．如果复数eq \f(2＋bi,i)(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝( )
A．－2 B．1 C．2 D．4
7．答案 A 解析 eq \f(2＋bi,i)＝eq \f(（2＋bi）（－i）,i（－i）)＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选
A．
8．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
8．答案 －1 解析 ∵z为纯虚数，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－1＝0，,x－1≠0，))∴x＝－1．
9．(多选)若复数z＝eq \f(2,1＋i)，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．|z|＝eq \r(2) C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
9．答案 ABC 解析 z＝eq \f(2,1＋i)＝eq \f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq \f(2－2i,2)＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；对于
B，模长|z|＝eq \r(2)，正确；对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1＋i，错误．
10．(多选)(2022·武汉模拟)下列说法正确的是( )
A．若|z|＝2，则z·eq \x\t(z)＝4
B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0
C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等
D．“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件
10．答案 AD 解析 若|z|＝2，则z·eq \x\t(z)＝|z|2＝4，故A正确；设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，
b2∈R)，由|z1＋z2|＝|z1－z2|，可得|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＝|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2则a1a2＋b1b2＝0，而z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝a1a2－b1b2＋a1b2i＋b1a2i＝2a1a2＋a1b2i＋b1a2i不一定为0，故B错误；当z＝1－i时，z2＝－2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数，则a2－1≠0，即a≠±1，所以“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确．
题型二 复数的四则运算
11．(2021·新高考全国Ⅰ)已知z＝2－i，则z(eq \x\t(z)＋i)等于( )
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
11．答案 C 解析 因为z＝2－i，所以z(eq \x\t(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i．
12．(2021·北京)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝( )
A．1 B．i C．1－i D．1＋i
12．答案 D 解析 由题意可得z＝eq \f(2,1－i)＝eq \f(2·（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1＋i．
13．(2020·新高考全国Ⅰ)eq \f(2－i,1＋2i)等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
13．答案 D 解析 eq \f(2－i,1＋2i)＝eq \f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(－5i,5)＝－i．
14．(2021·全国乙)设iz＝4＋3i，则z等于( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
14．答案 C 解析 方法一 (转化为复数除法运算)因为iz＝4＋3i，所以z＝eq \f(4＋3i,i)＝eq \f((4＋3i)(－i),i－i)＝
eq \f(－4i－3i2,－i2)＝3－4i．
方法二 (利用复数的代数形式)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－b＝4，,a＝3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－4，))所以z＝3－4i．
方法三 (巧用同乘技巧)因为iz＝4＋3i，所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，所以z＝3－4i．
15．(2021·全国乙)设2(z＋eq \(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq \(z,\s\up6(－)))＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
15．答案 C 解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，代入2(z＋eq \(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq \(z,\s\up6(－)))＝4＋6i，可得4a＋6bi＝
4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i．
16．(2021·全国甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－eq \f(3,2)i B．－1＋eq \f(3,2)i C．－eq \f(3,2)＋i D．－eq \f(3,2)－i
16．答案 B 解析 z＝eq \f(3＋2i,（1－i）2)＝eq \f(3＋2i,－2i)＝eq \f(3i－2,2)＝－1＋eq \f(3,2)i．
17．(多选)(2022·湛江一模)若复数z＝eq \r(3)－i，则( )
A．|z|＝2 B．|z|＝4 C．z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))＝eq \r(3)＋i D．z2＝4－2eq \r(3)i
17．答案 AC 解析 依题意得|z|＝eq \r(（\r(3)）2＋（－1）2)＝2，故A正确，B错误；eq \(z,\s\up6(－))＝eq \r(3)＋i，C正确；
z2＝(eq \r(3)－i)2＝3－2eq \r(3)i＋i2＝2－2eq \r(3)i，D错误．
18．若z＝(a－eq \r(2))＋ai为纯虚数，其中a∈R，则eq \f(a＋i7,1＋ai)＝________．
18．答案 －i 解析 ∵z为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－\r(2)＝0，,a≠0，))∴a＝eq \r(2)，∴eq \f(a＋i7,1＋ai)＝eq \f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq \f(\r(2)－i1－\r(2)i,1＋\r(2)i1－\r(2)i)
＝eq \f(－3i,3)＝－i．
19．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且eq \f(\x\t(z),1－i)＝3＋2i，则a＝________，b＝________．
19．答案 5 1 解析 由z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则eq \x\t(z)＝a－bi，所以eq \f(\x\t(z),1－i)＝eq \f(1＋i,2)(a－bi)＝eq \f(a＋b,2)
＋eq \f(a－b,2)i＝3＋2i，故eq \f(a＋b,2)＝3，eq \f(a－b,2)＝2，所以a＝5，b＝1．
20．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若eq \x\t(z)2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
20．答案 BC 解析 由|i|＝|1|，知A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正
确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又eq \x\t(z)2＝z3，所以|z2|＝|eq \x\t(z)2|＝|z3|，故C正确，令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误．
题型三 复数的几何意义
21．(2021·新高考全国Ⅱ)复数eq \f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．答案 A 解析 eq \f(2－i,1－3i)＝eq \f(2－i1＋3i,10)＝eq \f(5＋5i,10)＝eq \f(1＋i,2)，所以该复数在复平面内对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，该点
在第一象限．
22．已知i是虚数单位，则复数z＝i2 023＋i(i－1)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．答案 C 解析 因为z＝i2 023＋i(i－1)＝－i－1－i＝－1－2i，所以复数z在复平面内对应的点是(－1，
－2)，位于第三象限．
23．若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值
范围为( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2)) B．(－eq \r(2)，0) C．(0，eq \r(2)) D．[0，eq \r(2))
23．答案 B 解析 z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a<0，,a2－2<0，))解得
－eq \r(2)24．如图，若向量eq \(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z，则z＋eq \f(4,z)表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i
24．答案 D 解析 由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋eq \f(4,z)＝1－i＋eq \f(4,1－i)＝1－i＋eq \f(41＋i,1－i1＋i)
＝1－i＋eq \f(4＋4i,2)＝1－i＋2＋2i＝3＋i．
25．(2020·北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z等于( )
A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i
25．答案 B 解析 由题意知，z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i．
26．在复平面内，复数eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(5i,3－4i)(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为( )
A．(3，4) B．(－4，3) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(3,5)))
26．答案 D 解析 因为eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(5i,3－4i)＝eq \f(5i（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝eq \f(3i－4,5)＝－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i，所以z＝－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i，所以复数z
所对应的点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(3,5)))．
27．(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
27．答案 C 解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|
＝1，∴x2＋(y－1)2＝1．
28．(2020·全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________．
28．答案 2eq \r(3) 解析 方法一 设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝eq \r(3)＋i，所以2z1＝(eq \r(3)＋a)＋(1
＋b)i，2z2＝(eq \r(3)－a)＋(1－b)i．因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以eq \r(\r(3)＋a2＋1＋b2)＝4，①，eq \r(\r(3)－a2＋1－b2)＝4，②，①2＋②2，得a2＋b2＝12．所以|z1－z2|＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(3)．
方法二 设复数z1，z2在复平面内分别对应向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，则z1＋z2对应向量eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))．由题意知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量eq \(BA,\s\up6(→))，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2，可得|eq \(BA,\s\up6(→))|＝2|eq \(OA,\s\up6(→))|sin 60°＝2eq \r(3)．故|z1－z2|＝|eq \(BA,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)．
29．已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为( )
A．1 B．eq \r(2)－1 C．eq \r(2) D．eq \r(2)＋1
29．答案 B 解析 令z＝x＋yi(x，y∈R)，则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，∴|z|的最小值即为圆(x－1)2
＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z|的最小值为eq \r(2)－1．
30．(多选)欧拉公式exi＝cs x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复
数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第二象限 B． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数
C．复数eq \f(exi,\r(3)＋i)的模长等于eq \f(1,2) D． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
30．答案 ABC 解析 对于A，e2i＝cs 2＋isin 2，因为eq \f(π,2)<2<π，即cs 2<0，sin 2>0，复数e2i对应的点
位于第二象限，A正确；对于B， SKIPIF 1 < 0 ＝cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2)＝i， SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，B正确；对于C，eq \f(exi,\r(3)＋i)＝eq \f(cs x＋isin x,\r(3)＋i)＝eq \f((cs x＋isin x)(\r(3)－i),(\r(3)＋i)(\r(3)－i))＝eq \f(\r(3)cs x＋sin x,4)＋eq \f(\r(3)sin x－cs x,4)i，于是得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(exi,\r(3)＋i)))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)cs x＋sin x,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)sin x－cs x,4)))2)＝eq \f(1,2)，C正确；对于D， SKIPIF 1 < 0 ＝cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i，其共轭复数为eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i，D不正确．