江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( )
A.B.C.D.
2．对A,B两地国企员工上班迟到情况进行统计,可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布,其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min）,,对应的曲线为,B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min）,,对应的曲线为,则下列图象正确的是( )
A.B.
C.D.
3．在寒假中,某小组成员去参加社会实践活动,已知该组成员有4个男生､2个女生,现将他们分配至两个社区,保证每个社区有2个男生､1个女生,则不同分配方法有________种( )
A. 6B. 9C. 12D. 24
4．设随机变量X的分布列为,,则X的数学期望( )
A.B.C.D.
5．将编号为1,2,3,4,5的小球放入编号为1,2,3,4,5的小盒中,每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知平行六面体中,,,,则( )
A.B.C.D.
7．的展开式中x的系数是( )
A.-32B.152C.88D.
8．设A,B是一个随机试验中的两个事件,且,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的是( )
A.设有一个经验回归方程为,变量增加1个单位时,平均增加2个单位
B.已知随机变量X服从超几何分布,则
C.样本相关系数r越大,两个变量的线性相关程度越强,反之,线性相关程度越弱
D.将4名老师分派到两个学校支教,每个学校至少派1人,则共有14种不同的分派方法
10．下列说法正确的是( )
A.若随机变量~,则
B.若随机变量X的方差,则
C.若,,,则事件A与事件B独立
D.若随机变量X服从正态分布,若,则
11．在棱长为2的正方体中,点F满足,则( )
A.当时,平面平面
B.任意,三棱锥的体积是定值
C.存在,使得与平面所成的角为
D.当时,平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题
12．将4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,共有___________种放法（数字作答）
13．____________
14．如图,长方体的顶点A在平面内,其余顶点均在平面的同侧,,,,若顶点B到平面的距离为2,顶点D到平面的距离为2,则顶点到平面的距离为__________.
四、解答题
15．如图,在四棱柱中,侧棱平面,,,,,E为棱的中点,M为棱的中点．
（1）证明：;
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
16．在的展开式中,前3项的系数成等差数列,且第二项的系数大于1
（1）求展开式中含的项;
（2）求展开式中系数最大的项．
17．现有编号为1,2,3的三个口袋,其中1号口袋内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号口袋内装有两个1号球,一个3号球;3号口袋内装有三个1号球,两个2号球;第一次先从1号口袋内随机抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的口袋中,第二次从该口袋中任取一个球,
（1）在第一次抽到3号球的条件下,求第二次抽到1号球的概率;
（2）求第二次取到2号球的概率;
18．在四棱柱中,已知平面,,,,,E是线段上的点．
（1）点到平面的距离;
（2）若E为的中点,求异面直线与所成角的余弦值;
（3）在线段上是否存在点E,使得二面角的余弦值为？若存在,请确定E点位置;若不存在,试说明理由．
19．有甲乙两个骰子,甲骰子正常且均匀,乙骰子不正常且不均匀,经测试,投掷乙骰子得到6点朝上的概率为p,若投掷乙骰子共6次,设恰有3次得到6点朝上的概率为,是的极大值点．
（1）求;
（2）若且等可能地选择甲乙其中的一个骰子,连续投掷3次,在得到都是6点朝上的结果的前提下,求这个骰子是乙骰子的概率;
（3）若且每次都等可能地选择其中一个骰子,共投掷了10次,在得到都是6点朝上的结果的前提下,设这10次中有X次用了乙骰子的概率为,试问当X取何值时最大？并求的最大值（精确到0.01）．(参考数据)
参考答案
1．答案：A
解析：在空间直角坐标系中,点关于平面对称点的坐标为．
故选：A.
2．答案：D
解析：由可知,由可知,
因,故曲线的对称轴应在曲线的右侧,排除A,B两项;
又因,故曲线比曲线“矮胖”,总体分布较分散,排除C项.
故选：D.
3．答案：C
解析：男生的分配方法有,女生的分配方法有,
所以总的分配方法有,
故选：C.
4．答案：A
解析：因为随机变量X的分布列为,,
所以,解得,
所以,,,
所以.
故选：A.
5．答案：B
解析：由题得任意放球共有种方法,如果有2个小球与所在的盒子的编号相同,
第一步：先从5个小球里选2个编号与所在的盒子相同,有种选法;
第二步：不妨设选的是1、2号球,则再对后面的3,4,5进行排列,且3个小球的编号与盒子的编号都不相同,则有两种,
所以有2个小球与所在的盒子的编号相同,共有种方法．
由古典概型的概率公式得恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为,
故选:B
6．答案：B
解析：因为
所以,
.
故选：B.
7．答案：C
解析：因为的展开式的通项为,
所以的展开式中x的系数是．
故选：C
8．答案：D
解析：因为,,所以,,
又,所以,
所以,
所以.
故选：D.
9．答案：BD
解析：对于A,因为回归方程的斜率参数为-2,故变量x增加1个单位时,平均减少2个单位,故A错误.
对于B,因为随机变量X服从超几何分布,
所以,故B正确.
对于C,样本相关系数r的绝对值越大,两个变量的线性相关程度越强,故C错误.
对于D,将4名老师分派到两个学校支教,每个学校至少派1人,共有,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：随机变量,则,故A正确;
随机变量X的方差,则,故B错误;
由,即事件A与事件B独立,故C正确;
随机变量X服从正态分布,,
则,故D正确．
故选：ACD．
11．答案：BC
解析：A：当时,F与重合,又,均是等边三角形,
设,则O为的中点,所以,,
所以为二面角的平面角,
在中,由正方体的棱长为2,得,,
所以,则,所以平面与平面不垂直,故A错误;
B：因为平面,,
所以对于,F到平面的距离为定值,又的面积也为定值,
所以三棱锥的体积为定值,故B正确;
C：当时,F与重合,由三垂线定理得,,
又平面,所以平面（即平面）,
此时与平面所成的角为;
当时,F与重合,此时易知平面,
设,,则H为的中点,
所以在平面（即平面）内的射影为,
故即为与平面所成的角,
又,所以.
综上,存在,使得与平面所成的角为,故C正确;
D：因为正方体的外接球的球心P为正方体的体心,且外接球的直径为正方体的体对角线,
所以,解得,
当时,F为靠近的三等分点,建立如图空间直角坐标系,
则,,,,所以,,
设平面的一个法向量为,则,
令,则,所以,故球心P到平面的距离为,
所以平面截正方体的外接球所得截面小圆半径为,
得该小圆面积为,故D错误.
故选：BC.
12．答案：35
解析：依题意,①放入一个盒子中,则有种放法;
②放入两个盒子中,首先选出两个盒子有种,个相同的小球分成两堆,有,两种方法,
若是,则放法只有一种,若是,则放法有种,
所以有种放法;
③放入三个盒子中,首先选出三个盒子有种,每个盒子给一个球,多出一个球有种放法,则有种放法;
④放入四个盒子中,则有种放法;
综上可得,一共有种放法.
故答案为：
13．答案：
解析：由题意知,
.
故答案为：
14．答案：
解析：以A为原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,
由题意可得,解得,
所以顶点到平面的距离为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为底面,,平面,
所以,
而,
所以、、两两互相垂直,
不妨以点A为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如上图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、,,
,,
因为,所以,则;
（2）,,
,
因此,异面直线与所成角的余弦值为.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）二项式通项公式为
,
所以第一项的系数为：,第二项的系数为：,第三项的系数为：,
由于前三项的系数成等差数列,所以,解得,或 （舍去）,
二项式通项公式为,
根据题意,得,解得,因此,展开式中含的项为.
（2）设第k项的系数最大,故,
即,即,
解得,因为,所以或,
故系数最大的项为或．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）记事件,分别表示第一次、第二次取到i号球,,
则第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到1号球的概率;
（2）依题意,,两两互斥,其和为,并且,,
,,,,
,,,
应用全概率公式,有.
18．答案：（1）
（2）
（3）存在,点E在D处或在靠近的三等分点处
解析：（1）过A作直线平面,
则可以点A为坐标原点,建立如下图所示的空间直角坐标系,
则有,,,,,,
则,,
设面的一个法向量为,则,
令,则,,所以,
所以点到面的距离.
（2）因为E为的中点,所以,所以,,
所以
所以异面直线与AE所成角的余弦值为．
（3）设,其中,
则,,
设面的一个法向量为,
则有,令,则,,
所以,平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,,
所以平面的一个法向量为,
所以,
若存在点E,使得二面角的余弦值为,
则,所以,解得或,
故存在或满足题意,即存在点E在D处或在靠近的三等分点处．
另解：
连接,则,易得,所以,
又平面,,
所以,,所以两两互相垂直,
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
设,,则,
所以,,,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,得,,所以,
同理可得平面的一个法向量,
所以,即,
解得或,所以存在点E在D处或在靠近的三等分点处．
19．答案：（1）
（2）
（3）时最大,且最大值为
解析：（1）设恰有3次得到6点朝上的概率为,
则,,
令,得,
当时,,单调递增;当时,,单调递减,
故的极大值点．
（2）设事件3次6点朝上,事件选择了乙骰子,
则,,
故所求概率为.
（3）设事件{10次有k次用了乙骰子,则.
设事件10次6点朝上,则.
,
,
令,,
则.
由可得,,解得
所以的最大值是,所以当时最大,
且最大值.