辽宁省朝阳市双塔区第三中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份辽宁省朝阳市双塔区第三中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据物体的特点作答；
【详解】解：这是一个中间部分掏空的长方体，根据俯视图是从物体上面所看到的图形，
故选：C
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，根据物体的特征回答是解题的关键．
2. 下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两棵树的影子方向应该相同，两棵树的树高与影长成正比，依次判断即可．
本题考查了阳光下物体的影子，太阳光是平行光，并且同一时刻物高与影长成正比，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】A、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意；
B、影子的方向不相同，故本选项不符合题意；
C、影子的方向不相同，故本选项不符合题意；
D、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意．
故选A．
3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
4. 将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后得到抛物线表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出原二次函数的顶点坐标，再求出平移后的顶点坐标，写出解析式即可．
【详解】解：的顶点坐标为（0，1），将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标为（-2，4），抛物线表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟记抛物线平移变化规律，准确进行判断．
5. 如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为（ ）
A. 120mmB. 30mmC. 75mmD. 27mm
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用相似三角形的性质列比例式，代入可得结论．
【详解】解：由题意得：CB∥DF，
∴△ADF∽△ABC，
∴，
∵AD=3m，AB=5m，DE=45mm，
∴，
∴BC=75（mm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．
6. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【详解】解：从图中可以看出：值随着的增加而减小，呈反比例函数关系，
设，
代入，
得，
，
，
令，则，
如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，则用电器的可变电阻应控制在范围内，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象，能够读懂反比例函数的图象是解决问题的关键．
7. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：四边形内接于，
，
，
，
，
故选：B．
8. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（ ）步？
A. 15B. 12C. 20D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为x步，则长为步，根据面积建立方程即可求解．
【详解】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，
解得：，
当时，长为24，不合题意，舍去，
∴，则长为（步），
则长比宽多（步）；
故选：B．
9. 如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，，则（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，，再利用基本作图得到，垂直平分，则，，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，，然后计算即可．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
由作法得，垂直平分，
，，
，，
．
故选：C
10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正切值的求解勾股定理，在中，，延长使，连接，得，设，则，根据进行求解即可．
【详解】解：如图，在中，，延长使，连接，得，
设，则，
，
在中，
，
故选：B．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，熟记性质并准确计算是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积用m表示出n，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
12. 如图，电路上有①、②、③3个开关和一个小灯泡，若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的求解，根据题意画出树状图即可求解．
【详解】解：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：23．
13. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，，求的半径为________．

【答案】13
【解析】
【分析】连接，根据垂径定理的推论，可知，然后在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，设，
，
则，
是中弦的中点，经过圆心交于点，
，
，
，
在中，，
解得；
故答案为：13．
【点睛】此题考查了垂径定理的推论和勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论以及运用勾股定理是解答此题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的边分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点E、F且，连接，若的面积5，则k值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、矩形性质，巧妙设点B坐标是解答的关键．设，根据坐标与图形性质得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求得，，再利用割补法得到，进而可求解．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴，即，，
∵
∴由得，
故答案为：
15. 如图，已知等边，，以为边作正方形（点A、C、D、E按逆时针方向排列），和的延长线相交于F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止，点Q在线段和上运动，且始终满足垂直于正方形的边长，连接，，，当时，的面积是________.

【答案】或
【解析】
【分析】分类讨论：①当点P在上运动，点Q在上运动时，②当点P在上运动，点Q在上运动时，根据等边三角形和正方形性质、直角三角形的性质及勾股定理分别表示出、的值，再根据，列方程求解，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动时，如图，延长交于点G，
∵是等边三角形，，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
解得，
∴，，
∴，

②当点P在上运动，点Q在上运动时，延长交于点H，
∵是等边三角形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵四边形是正方形，
∴， ，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
解得，
∴，，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及矩形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相关性质是解题的关键．
三．解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 按要求完成下列各小题．
（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）5 （2），；
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值、实数的混合运算及解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算顺序和法则计算可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【小问1详解】
原式，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，，
，；
17. 2018年高一新生开始，某省全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
【答案】（1）共有12种等可能结果，见解析；（2）见解析，他们恰好都选中政治的概率为．
【解析】
【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；
（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：（1）画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能结果；
（2）画树状图如下
由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，
所以他们恰好都选中政治的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
18. 某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元；如图，在销售过程中发现销量与售价x（元）之间满足一次函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y与x的之间的函数解析式为：，自变量x的取值范围为：；
（2）W与x之间的函数关系式为：；当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大；最大利润是192元．
【解析】
【分析】考查一次函数、二次函数的应用，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．
（1）根据一次函数过，可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式，
（2）先求出总利润与的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．
【小问1详解】
解：设y与x的解析式为，把，代入，
得：，
解得：，
y与x的之间的函数解析式为：，
自变量x的取值范围为：；
【小问2详解】
解：
，抛物线开口向下，对称轴为，
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
，
当时，W最大元
答：W与x之间的函数关系式为，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
19. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

（1）当悬臂与桌面平行时，=___________°
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解；
（2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解；
（3）过作，，在中解出即可求解．
【小问1详解】
解：如图：当悬臂与桌面平行时，作

，悬臂也与桌面平行
∴
故答案为：
【小问2详解】
解：过作与交于，过作与交于

∴四边形为矩形
∴，
∵
∴
在中
∵
∴
∴
【小问3详解】
解：过作，，

∴
在中
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键．
20. 已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的表达式
（2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，MC，，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于点，如图，设 ，则，所以，再根据三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题．
【小问1详解】
把、、代入得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
设直线的解析式为把 分别代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点作轴交于点，如图，设，则，
，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为．
21. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=，求CD的长．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由相似三角形的判定及性质即可得出结果．
【详解】（1）∵ED=EC
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B
∴∠B=∠C
∴AB=AC；
（2）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∠C=∠C，∠EDC=∠B
△CDE∽△CBA，
∵AC=AB=4，
∴
∴CD=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
（1）求抛物线和抛物线的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
（3）当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
【答案】（1）抛物线；抛物线
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
点在抛物线上，点在抛物线上，
，，
，，
抛物线；抛物线；
【小问2详解】
解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆半径分别为，，
在抛物线中：当时，
，
，
，
则，
；
【小问3详解】
解：当时，由抛物线解析式可得：， ，
，
即，
解得；
则最深度为；
当时，由图象可得：， ，
可列方程：，
则，
解得；
则最深度为．
综上：杯中液体最深度为或．
23. 我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】
对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
（1）如图1，在正方形中，，交于点，则 （填比值）；
【探究证明】
（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点；
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
（3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；
【拓展运用】
（4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）；（4）．
【解析】
【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值；
（2）甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；由矩形的性质得到，，，，，则四边形、均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据直角三角形的性质可得，则，根据相似三角形的性质求解即可；
乙方案：过点作交于点，过点作交于点；根据矩形的判定与性质得出，，结合直角三角形的性质推出，结合，即可判定，根据相似三角形的性质即可得解：
（3）由矩形的性质可得，由勾股定理求得，由（2）可知，，据此计算求解即可；
（4）过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，连接，由“”可证，可得，通过证明，可得，，由勾股定理可求、、的长，结合（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；
四边形是矩形，
，，，，
四边形、均为平行四边形，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
；
乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点，
四边形是矩形，
，，，
四边形、均为矩形，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：由矩形的性质可得，，
由勾股定理得，
由（2）可知，，
即，
解得，
的长为；
（4）解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
（不合题意舍去），，
，
由（2）知，，
又，
，
，
，，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
素
材
内容
素
材
1

高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素
材
2

图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)．
图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素
材
3
已知，图2坐标系中，，记为，．