新高考数学三轮冲刺小题必练17 新定义类创新题（2份打包，原卷版+教师版）

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高考数学试题坚持以能力为立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想．以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新的定义，考查学生的现场学习能力(即自学能力)、阅读理解能力、探究与猜想等创新能力，并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法．
1．【2020全国Ⅱ卷】 SKIPIF 1 < 0 周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则称其为 SKIPIF 1 < 0 周期序列，并称满足 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 为这个序列的周期，对于周期为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 序列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是描述其性质的重要指标，下列周期为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 序列中，满足 SKIPIF 1 < 0 的序列是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 知，序列 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于选项A，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，不满足；
对于选项B，
SKIPIF 1 < 0 ，不满足；
对于选项D，
SKIPIF 1 < 0 ，不满足，
故选C．
【点睛】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，根据定义将各选项一一代入，然后分别判断即可．
2．【2020山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 的信息熵 SKIPIF 1 < 0 ，（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，随机变量 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】对于A选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A选项正确；
对于B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两者相等，所以B选项错误；
对于C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，所以C选项正确；
对于D选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，随机变量 SKIPIF 1 < 0 的所有可能的取值为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D选项错误，
故选AC．
【点睛】本题主要考查新定义“信息熵”的理解和应用，需要结合对数运算、对数函数及不等式性质进行求解．
一、单选题．
1．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义一种运算“ SKIPIF 1 < 0 ”．向量 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图象上运动，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图象上运动且满足 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意知，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图象上运动，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足 SKIPIF 1 < 0 的解析式，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故应选B．
2．数列 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意的 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，总存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称
数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”，现有以下四个数列：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ，其中是“ SKIPIF 1 < 0 数列”的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
【答案】C
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 不是“ SKIPIF 1 < 0 数列”；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 不是“ SKIPIF 1 < 0 数列”；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”，
综上，“ SKIPIF 1 < 0 数列”的个数为 SKIPIF 1 < 0 ．
二、多选题．
3．在 SKIPIF 1 < 0 上定义运算： SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则下列实数 SKIPIF 1 < 0 的
描述中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
4．能够把椭圆 SKIPIF 1 < 0 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 SKIPIF 1 < 0 称为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的“亲和函数”，下列函数是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的“亲和函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】椭圆的中心为原点，选项BC中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数；
选项A非奇非偶函数，选项D为偶函数，故不是亲和函数．
三、填空题．
5．定义运算 SKIPIF 1 < 0 ，则关于正实数 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
6．设全集 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 的子集可表示由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 组成的 SKIPIF 1 < 0 位字符串，如： SKIPIF 1 < 0 表示的是第 SKIPIF 1 < 0 个字符为 SKIPIF 1 < 0 ，第 SKIPIF 1 < 0 个字符为 SKIPIF 1 < 0 ，其余均为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 位字符串 SKIPIF 1 < 0 ，并规定空集表示的字符串为 SKIPIF 1 < 0 ．（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 位字符串为_______．（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 表示的字符串为 SKIPIF 1 < 0 ，则满足条件的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数为_______个．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】① SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 位字符串是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 位字符串为 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 表示的字符串为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴集合 SKIPIF 1 < 0 可能是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故满足条件的集合 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个．
7．丹麦数学家琴生（ SKIPIF 1 < 0 ）是 SKIPIF 1 < 0 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凸函数”，已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凸函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“凸函数”，∴在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
8．如果定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
则称 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 函数”．给出下列函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 ，其中“ SKIPIF 1 < 0 函数”的个数是 ．
【答案】②③
【解析】∵对于任意给定的不等实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴不等式等价为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的不减函数（即无递减区间）．
①函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 函数为减函数，不满足条件；
② SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递增，满足条件；
③ SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，满足条件；
④ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，函数单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数单调递减，不满足条件，
故答案为②③．