新高考数学三轮冲刺小题必练7 直线与圆（2份打包，原卷版+教师版）

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1．直线与方程．
①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
②能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
2．斜截式与一次函数的关系．
①能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
②掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
3．圆与方程
①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
5．空间直角坐标系
了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式．
1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】解法一：∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
依题意可知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值．
此时 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的其中一条切线为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 最小，即 SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 ，
过直线外一点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线所得切点弦所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以选D．
【点睛】考查直线和圆的位置关系、最值问题．
2．【2020全国 = 2 \* ROMAN II卷理科】若过点 SKIPIF 1 < 0 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离
为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线的距离都是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式．
一、单选题．
1．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 内一点，过点 SKIPIF 1 < 0 的圆 SKIPIF 1 < 0 的最短弦所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，那么（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离B． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
C． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交D． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离
【答案】A
【解析】∵点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内部，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知，当 SKIPIF 1 < 0 时，过点 SKIPIF 1 < 0 的弦最短，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离，故选A．
2．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交
所得弦长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
3．若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的
位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，故圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ．
由于直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，故选A．
4．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为任意实数，则直线
与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．与 SKIPIF 1 < 0 的值有关
【答案】B
【解析】将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程整理为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆内部，所以直线和圆恒有 SKIPIF 1 < 0 个交点，
即直线和圆相交，故选B．
5．动圆 SKIPIF 1 < 0 与定圆 SKIPIF 1 < 0 相外切，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则动圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 满足的方程
为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴动圆圆心轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
6．若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的公共点，那么点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定
【答案】A
【解析】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的圆心的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆外，故选A．
7．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 都相切，圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】圆心在 SKIPIF 1 < 0 上，圆心的纵橫坐标值相反，显然能排除C、D；
验证： SKIPIF 1 < 0 中圆心 SKIPIF 1 < 0 到两直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，故选B．
8．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ．若直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心且半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心且半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
即圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
二、多选题．
9．已知圆方程为 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【解析】由题意，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 变形得 SKIPIF 1 < 0 ，得直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；
由平面几何知识可知，当直线与过定点 SKIPIF 1 < 0 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C对，
故选AC．
10．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心不重合，
直线 SKIPIF 1 < 0 ．下列说法正确的是（ ）
A．若两圆相交，则 SKIPIF 1 < 0 是两圆的公共弦所在直线
B．直线 SKIPIF 1 < 0 过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点
C．过直线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 （在两圆外）作两圆的切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直
【答案】ACD
【解析】联立两圆方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，为两圆的公共弦所在直线，故A正确；
设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当两圆半径相等时成立，故B错误；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由切线长定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，故D正确，
故选ACD．
11．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心在定直线 SKIPIF 1 < 0 上B．圆 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．圆 SKIPIF 1 < 0 的半径的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D．满足条件的所有圆 SKIPIF 1 < 0 的半径之积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】∵圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 上，A正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，∴圆 SKIPIF 1 < 0 半径 SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，圆 SKIPIF 1 < 0 面积最大，为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时，圆 SKIPIF 1 < 0 半径最小，为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
满足条件的所有半径之积为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确，
故选ABD．
12．已知直线过点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的方程（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】当斜率不存在时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立；
当斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线与圆相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
综上：直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选AC．
三、填空题．
13．圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦所在的直线方程是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．若圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，则满足条件的直线 SKIPIF 1 < 0 有________条．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心关于 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．圆上的点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相交所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆的方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设所求圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 仍在这个圆上，
∴圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，①，且 SKIPIF 1 < 0 ；②
又直线 SKIPIF 1 < 0 截圆所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
且圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据垂径定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ③，
由方程①②③组成方程组，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 无公共点， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，若在直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0
使得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 无公共点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故在直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
即在直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离小于等于 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．