新高考数学三轮冲刺小题必练4 等差数列与等比数列（2份打包，原卷版+教师版）

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1．掌握等差数列与等比数列通项公式．
2．掌握等差数列与等比数列的性质及其应用．
3．掌握等差数列与等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式．
1．【2020全国高考真题（理）】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 SKIPIF 1 < 0 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 SKIPIF 1 < 0 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 SKIPIF 1 < 0 块，向外每环依次也增加 SKIPIF 1 < 0 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 SKIPIF 1 < 0 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 块B． SKIPIF 1 < 0 块C． SKIPIF 1 < 0 块D． SKIPIF 1 < 0 块
【答案】C
【解析】设第 SKIPIF 1 < 0 环天石心块数为 SKIPIF 1 < 0 ，第一层共有 SKIPIF 1 < 0 环，
则 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为下层比中层多 SKIPIF 1 < 0 块，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
2．【2020海南高考真题】将数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公共项从小到大排列得到数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式，属于基础题．
一、单选题．
1．已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】利用方程思想列出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用通项公式即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值．
设正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
2．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，各项都是正数，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】试题分析：由已知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选C．
3．数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】在等式 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选C．
4．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
下列等式不可能成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即可表示出题中 SKIPIF 1 < 0 ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
对于A，因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
根据等差数列的下标和性质，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D不正确，
故选D．
5．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由等差中项公式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
6．一个等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则前 SKIPIF 1 < 0 项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…成等比数列，
题中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据等比中项性质有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故本题正确选项为A．
7．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此数列前 SKIPIF 1 < 0 项和等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】数列前 SKIPIF 1 < 0 项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，
因此和为 SKIPIF 1 < 0 ，选B．
8．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
所以由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由等比数列的性质知, SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
二、多选题．
9．设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项的和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最大值
【答案】BD
【解析】根据题意，设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，依次分析选项：
SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
又由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
而C选项， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，显然C选项是错误的；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最大值，故D正确，
故选BD．
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误
的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列
【答案】ABC
【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确，
故选ABC．
11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
【答案】ABD
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，A正确；
公差为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不适合此表达式，因此C错；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等比数列，D正确，
故选ABD．
12．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，设其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最大，
故选BD．
三、填空题．
13．记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 等差数列的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
根据等差数列通项公式： SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵根据等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式： SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值
是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
15．记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
16．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案是 SKIPIF 1 < 0 ．