高考数学三轮冲刺小题必练11 圆锥曲线(2份打包，教师版+原卷版)

1．理解直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质．

2．重点掌握直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，用运动与变化的观点研究问题．

3．强调数形结合的思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想．

1．【2020全国Ⅰ卷文科】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】不妨令，由，

又由双曲线方程易知，∴，∴，

又，

∴，

∴的面积为．

【点睛】考查了双曲线的定义，属于中档偏易题．

2．【2020全国III卷文科】设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为_______．

【答案】

【解析】易知，则．

【点睛】考查了双曲线的基本概念以及性质，渐近线与离心率的关系，属于比较基础的题．

一、选择题．

1．若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设双曲线的一条渐近线为，即，

因为其与圆相切，故，整理可得，

故离心率为．

2．斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，

∴，∴，

∴双曲线离心率的取值范围是．

3．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，∵为的重心，∴点坐标为，

∵，∴轴，∴的纵坐标为，

在中，，，∴，

又因为为的内心，∴的纵坐标为，即为内切圆半径，内心把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，

∴，

即，∴，即离心率为．

4．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将双曲线方程化为标准方程，则，，，

设，则根据双曲线的定义，，可得，

∴，，

∵，∴．

5．已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】以线段为直径的圆与直线相切，

∴原点到直线的距离，化为．

∴椭圆的离心率．

6．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，

若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，

∵，∴，

又，∴，

∵，∴．

7．已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为直角三角形，其中为直角顶点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题设知抛物线的准线为，代入双曲线方程，

解得，

由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，，，

∴，∴．

8．已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即，

因为，∴，∴，

即，∴，即．

9．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于两点(点在第一象限)，若，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出抛物线的准线，设在上的射影分别是，

连接、，过作于．

∵，∴设，，

由点分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，．

因此，中，，得，

所以，直线的倾斜角，

得直线的斜率．

10．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵圆的圆心，半径，

∴双曲线的右焦点坐标为，即，∴，①

∵双曲线的一条渐近线方程为，

∴到渐近线的距离等于半径，即，②

由①②解得，，

∴该双曲线的方程为．

11．已知是椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若的内切圆半径为，

则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】椭圆的，，，

根据椭圆的定义可知，，

不妨设P是椭圆上的第一象限内的一点，，所以．

则．

12．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，方程表示双曲线，

则有，解可得，

要求方程表示双曲线的一个充分不必要条件，

即要求的是的真子集，依次分析选项：A符合条件．

二、填空题．

13．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足．

过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为        ．

【答案】

【解析】设，连接、，

由抛物线定义，得，，

在梯形中，．

由余弦定理得，

配方得，

又∵，

∴，得到．

∴，即的最大值为．

14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，

若，则        ．

【答案】5

【解析】设到的距离为，则由抛物线的定义可得，，

因为，则在的延长线上，∴，

∴直线的斜率为，

∵，

∴直线的方程为，与联立可得，(由于的横坐标大于)，

∴．

15．已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则该双曲线E的离心率为       ．

【答案】

【解析】由题意得右焦点，

设一渐近线OP的方程为，则另一渐近线OQ的方程为，

由FP的方程为，联立方程，可得P横坐标为，

由FP的方程为，联立方程，可得Q的横坐标为，

由，可得，即为，

由，可得，即有，解得或（舍去），

即有．

16．已知点是抛物线上的动点，点在轴上射影是，点，则的最小值是        ．

【答案】

【解析】延长交抛物线的准线于，焦点，

则，

∴要使最小，就是使最小，也就是使得最小，

显然，当、、三点共线时，最小，

最小值为，

∴的最小值为．