湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高三上学期8月阶段检测数学试卷（原卷版+解析版）

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满分：150分 时间：120分钟
命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. 7B. 8C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数.
【详解】由且可知，可以取，则可取，
即，故集合的真子集个数为.
故选：C.
2. 若复数满足，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法法则求得，可求.
【详解】由，可得，
所以，
所以.
故选：A.
3. 已知向量，且，则等于（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据得到，再计算即可.
【详解】因为，，
所以，解得
所以，，
故选：A
4. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据切化弦可得，结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，即，可得，
又因为，可得，
所以.
故选：B.
5. 如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的半径为，高为，母线长为，结合题意面积比得到，再计算二者的体积比即可.
【详解】设圆锥的半径为，高为，母线长为，
则母线长为，
所以圆锥的侧面积是，
半球的面积，
由题意可得，
解得，
所以圆锥的体积为，半球的体积为，
所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为，
故选：B.
6. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数在上为增函数列式，结合集合的包含关系即可求得结果.
【详解】因为在上单调递增，
所以，
所以是的必要不充分条件，即是“在上单调递增”的必要不充分条件，
故选：C.
7. 已知函数和函数图象相交于三点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，求出两个函数的图象的交点坐标，再根据面积公式可求出结果.
【详解】由，得，得，
得或，
又，所以或或，
所以，，，
所以不妨设，，，
所以的面积为.
故选：B
8. 已知函数满足，当时，，则（ ）
A. 为奇函数B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断A，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解B，代值逐步求解即可判断CD.
【详解】令，，，所以；
令，，则．
令，得，故为偶函数．A错误，
任取，，，则，
则，故在上为减函数．
由已知，可得，故，解得，且．B错误，
若，则，C正确，
若，则，，
，所以，故D错误，
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（ ）
A. 该地水稻的平均株高约为B. 该地水稻株高的方差约为100
C. 该地株高超过的水稻约占68.27％D. 该地株高低于的水稻约占99.87％
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.
【详解】由题意可知，，，故A，B正确；
由题意得，
所以，故C错误；
所以，故D正确；
故选：ABD.
10. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】假设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据正弦的对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD．
【详解】设三角形的斜边长为，则 ①，
所以，
对于A，当时，由①式得，，
所以，故A错误；
对于B，的对称轴为 ，，
当时，，即的图像关于直线对称，故B正确；
对于CD，，
因为，当且仅当时，等号成立，
又由①可得，，
所以，
因为为锐角，所以，所以,，
所以,，所以,，
所以,，所以，
即，故C正确，D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：根据旋转的性质结合锐角三角函数得到，进而根据三角形面积公式得面积表达式.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是偶函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用特值法求出值，再证明是偶函数即可.
【详解】函数，是偶函数，
，则，解得，
当时，，
，故是偶函数.
综上所述，.
故答案为：.
13. 若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】易得双曲线渐近线为，再利用两直线垂直斜率之积为求出，结合离心率公式即可求解.
【详解】双曲线（）的渐近线方程为，直线斜率为，
由一条渐近线与直线垂直得，解得，
所以离心率为.
故答案为：
14. 在概率论中，全概率公式指是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】设相应事件，结合全概率公式列式求解即可.
【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为，
则，
可得
，
解得，则的最大值为6．
故答案为：6.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且．
（1）求角A；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用三角形面积公式及余弦定理结合辅助角公式即可求解;
（2）应用余弦定理及正弦定理，结合辅助角公式，二倍角公式即可求解.
【小问1详解】
由三角形面积公式可得：
，
即，
则，
即，
则，
则
因为，所以.
【小问2详解】
，
则，由正弦定理得，
，
又，则，
所以
16. 已知椭圆的右顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于另一点，若，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助右顶点坐标及离心率计算即可得椭圆方程；
（2）设出直线方程联立曲线计算可表示出点坐标，借助两点间距离公式计算即可得直线的方程.
【小问1详解】
由题意可得，．因为，所以，
则，故椭圆的方程为；
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立，得，
易知．设，则，
所以，，
因为，
所以，
即，解得，
所以直线的方程为，即．
17. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，侧面底面分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形三线合一证明线线垂直，再证明平面，由此得线线垂直；
（2）建立平面直角坐标系，利用法向量方法求直线与平面所成角；
（3）利用法向量方法求二面角的平面角.
【小问1详解】
取的中点，连接．
．
又平面，平面，，
则平面，平面，
；
【小问2详解】
平面平面，平面平面，
又平面，,
平面，又.
在中，.
在等边中，.
如图所示，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
由分别为的中点，则，
所以．
设平面的法向量为，
则，
今，则，
故为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
由（2）可知为平面的一个法向量，
而为平面的一个法向量．
设二面角的大小为，又二面角是锐角，
，
二面角的余弦值等于
18. 已知函数.
（1）若恒成立，求的最小值；
（2）求证：；
（3）已知恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）求恒成立，即等价于，求出的最大值，大于等于的最大值，即可求出的最小值；
（2）当时，得，即，，代入化简即可证明.
（3）由题意知恒成立，即分离参数后得，再结合第二问的结论，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
等价于，令，当时，，当时，.则在上单调递增，在上单调递减，，则，的最小值为.
【小问2详解】
证明：当时，由（1）得，即.令，则，即.
【小问3详解】
恒成立，即恒成立, ，由（2）知恒成立， ，故的取值范围为.
19. 若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
（1）已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
（2）若函数有三个零点，其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
（3）若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．
【答案】（1）只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；
（2）利用导数研究三次函数的性质结合零点个数相同及“对数凹性”数列的定义计算即可；
（3）将互换计算可得，令，可证明是等差数列，结合等差数列得通项公式可知，利用及的关系可得，并判定为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算结合基本不等式放缩证明其大于0即可.
【小问1详解】
根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中不成立，
所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；
而数列1，2，4，3，2中均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；
【小问2详解】
根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，
所以，
又，所以，
显然，即不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
则有三个零点，
所以有两个零点，
所以同上有，
故数列为“对数凹性”数列
【小问3详解】
将互换得：，所以，
令，得，
所以，故数列是等差数列，
记，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，所以为单调递增的等差数列，
所以.
所以
所以，数列是“对数凹性”数列
【点睛】思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定，再判定零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定即可；第三问根据条件将互换得，利用赋值法证明是等差数列，再根据及的关系可得从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算结合基本不等式放缩证明其大于0即可.