湖南省长沙市实验中学2023-2024学年高一上学期第一阶段性检测数学试题（原卷及解析版）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则为
A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}
2.已知集合和的关系如下图，则阴影部分所表示集合为（ ）

A B.C.D.
3.已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A.2B.4C.6D.8
4.设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.设命题：，，则为（ ）
A.，B.，
C.，D.，
6.已知，，，则的最小值是（ ）
A.B.4C.D.5
7.若不等式解集为，则不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
8.若，，则一定有（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设集合，，则下列结论正确是（ ）
A.B.C.D.
10.下列说法正确的是（ ）
A.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件
B.设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件
C.设，一元二次方程有整数根的充要条件是
D.函数的图象关于直线对称的充要条件是
11.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（），其全程的平均时速为v，则（ ）
A.B.C.D.
12.下列说法正确的是（ ）
A.函数的最小值为2
B.若正数x，y满足，则的最大值是2
C.已知实数x，y满足且，则
D.若对任意，恒成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知集合，，则中元素的个数为________．
14.已知，，若集合，则的值为__________.
15.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是________．
16.设集合，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
18.学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．

（1）当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式；
（2）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）．
19.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为150平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为200元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．

（1）写出总造价y（元）与污水处理池的宽x（米）的关系式；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
20.解下列问题：
（1）已知，，且，求的最大值；
（2）已知，求函数的最大值；
（3）若正数，满足，求的最小值．
21.我国明朝科学家徐光启在他的《几何原本》中，首创使用几何方法研究代数问题，后来这一方法“几何代数法”成了西方数学家处理问题的重要依据．运用这个方法，很多代数公式、定理都能够通过图形实现证明，数学上称之为“无字证明”．设，，称为a，b的调和平均数；为a，b的几何平均数；为a，b的算术平均数；为a，b的平方平均数．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，点D在半圆O上，且，于点E，过点O作AB的垂线，交半圆于F，连结CF，设，．

（1）求线段DE与CF长度；
（2）证明：．
22.已知二次函数．
（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）解关于的不等式（其中）．