2022年新高考一轮复习考点精选练习05《基本不等式》（含详解）

2022年新高考一轮复习考点精选练习05

《基本不等式》

一         、选择题

1.在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)

A.y=x＋           B.y=cos x＋(0＜x＜)

C.y=         D.y=ex＋－2

2.设正实数a，b满足a＋b=1，则(　　)

A.＋有最大值4        B.有最小值

C.＋有最大值        D.a2＋b2有最小值

3.已知a＋b=t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t=(　 　)

A.2        B.4        C.2        D.2

4.已知x>0，y>0，且3x＋2y=xy，若2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，则实数t取值范围是(　 　)

A.(－∞，－8)∪(3，＋∞)

B.(－8,3)

C.(－∞，－8)

D.(3，＋∞)

5.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,的最大值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.0                                   B.1                                   C.                                      D.3

6.当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　 　)

A.[－2,0)∪(0,4]     B.[－4,0)∪(0,2]    C.[－4,2]      D.[－2,4]

7.当x>0时, 的最大值为(　　)

A.                       B.1           C.2                          D.4

8.设x＞0，y＞0，且x＋4y=40，则lgx＋lgy的最大值是(　 　)

A.40         B.10           C.4          D.2

9.当0<m<时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　 　)

A.[－2,0)∪(0,4]        B.[－4,0)∪(0,2]

C.[－4,2]               D.[－2,4]

10.设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017=4 034，则＋的最小值为     .

11.已知函数f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12(a<0)，且f(a2－4)=f(2a－8)，

则(n∈N*)的最小值为(　　)

A.           B.             C.              D.

12.已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(　　)

A.4　       B.16           C.9        D.3

二         、填空题

13.某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为　 　米时，可使总造价最低.

14.已知实数x，y均大于零，且x＋2y=4，则log2x＋log2y的最大值为________.

15.已知a>0，则的最小值为       .

16.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|ax2+bx+c≤0},若A∩B={x|3<x≤4},A∪B=R,则的最小值为　　　　. 

17.已知x，y为正实数，则＋的最小值为        .

18.若正数x，y满足x＋3y=5xy，则3x＋4y的最小值为　 　.

0.2022年新高考一轮复习考点精选练习05《基本不等式》（含详解）答案解析

一         、选择题

1.答案为：D

解析：当x＜0时，y=x＋≤－2，故A错误；因为0＜x＜，所以0＜cos x＜1，

所以y=cos x＋＞2，故B错误；因为y==＋≥2，

当且仅当x2＋2=1时取等号，此时x无解，故C错误；

因为ex＞0，所以y=ex＋－2≥2－2=2，

当且仅当ex=，即ex=2时等号成立，故选D.

2.答案为：C

解析：由于a>0，b>0，由基本不等式得1=a＋b≥2，当且仅当a=b时，等号成立，

∴≤，答案为：B错误；∵≤，∴ab≤，∴＋==≥4，

因此＋的最小值为4，A错误；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=1－2ab≥1－=，D错误；

(＋)2=a＋b＋2=1＋2≤1＋1=2，所以＋有最大值.故选C.

3.答案为：C.

解析：∵a>0，b>0，∴ab≤=，当且仅当a=b=时取等号.

∵ab的最大值为2，∴=2，t2=8.又t=a＋b>0，∴t==2.

4.答案为：B.

解析：∵x>0，y>0，且3x＋2y=xy，可得＋=1，

∴2x＋3y=(2x＋3y)＋=13＋＋≥13＋2=25，

当且仅当x=y=5时取等号.

∵2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，

∴t2＋5t＋1<(2x＋3y)min，∴t2＋5t＋1<25，解得－8<t<3.

5.答案为：B；

6.答案为：D；

解析：因为0＜m＜，所以×2m×(1－2m)≤×2=，

当且仅当2m=1－2m，即m=时取等号，所以＋=≥8，

又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.

所以实数k的取值范围是[－2,4]，故选D.

7.答案为：B；

8.答案为：D；

解析：因为x＋4y=40，且x＞0，y＞0，

所以x＋4y≥2=4.(当且仅当x=4y时取“=”)

所以4≤40，所以xy≤100.所以lgx＋lgy=lgxy≤lg100=2.

所以lgx＋lgy的最大值为2.

9.答案为：D.

解析：因为0<m<，所以×2m×(1－2m)≤×2=，

当且仅当2m=1－2m，即m=时取等号，所以＋=≥8，

又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.

所以实数k的取值范围是[－2,4].故选D.

10.答案为：4.

解析：由等差数列的前n项和公式，

得S2 017==4 034，则a1＋a2 017=4.

由等差数列的性质得a9＋a2 009=4，

所以＋==

=≥=4，

当且仅当a2 009=3a9时等号成立.

11.答案为：A；

解析：二次函数f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12图象的对称轴为直线x=－，

由f(a2－4)=f(2a－8)及二次函数的图象，可以得出=－，

解得a=－4或a=1，又a<0，所以a=－4，所以f(x)=x2＋4x，

所以===n＋1＋＋2

≥2＋2=2＋2，又n∈N*，所以当且仅当n＋1=，

即n=－1时等号成立，当n=2时，=，

n=3时，=＋2=<，所以最小值为，故选A.

12.答案为：B

解析：因为a>0，b＞0，所以－－≤0恒成立等价于m≤(3a＋b)

=10＋＋恒成立.因为＋≥2=6，当且仅当a=b时等号成立，

所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.故选B.

二         、填空题

13.答案为：15；

解析：设泳池的长为x米，则宽为米，

总造价f(x)=400×＋100×＋60×200=800×＋12 000

≥1 600＋12 000=36 000(元)，当且仅当x=(x＞0)，

即x=15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.

14.答案为：1

解析：因为log2x＋log2y=log2xy=log2=log2(2xy)－log22=log2(2xy)－1

≤log22－1=2－1=1，

当且仅当x=2y=2，即x=2，y=1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.

15.答案为：-1.

解析：==4a－5＋.

∵a>0，∴4a－5＋≥2－5=－1，当且仅当4a=，即a=时取等号，

∴的最小值为－1.

16.答案为：1.5；

17.答案为：.

解析：∵x，y为正实数，则＋=＋＋1=＋＋1，

令t=，则t>0，∴＋=＋t＋1

=＋t＋＋≥2＋=，当且仅当t=时取等号.

∴＋的最小值为.

18.答案为：5；

解析：法一　由x＋3y=5xy可得＋=1，

∴3x＋4y=(3x＋4y)=＋＋＋≥＋=5

(当且仅当=，即x=1，y=时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.

法二　由x＋3y=5xy，得x=，

∵x＞0，y＞0，∴y＞，∴3x＋4y=＋4y=＋4y

=＋·＋4≥＋2=5，当且仅当y=时等号成立，

∴(3x＋4y)min=5.