2022年高考数学一轮复习考点练习23《复数及其运算》(含答案详解)

一轮复习考点练习23《复数及其运算》

一、选择题

1.设复数z满足=1－i，则z=(　　)

A.1＋i          B.1－i      C.－1＋i          D.－1－i

2.如果复数是纯虚数，那么实数m等于(　　)

A.－1          B.0         C.0或1          D.0或－1

3.若复数z满足z(1－i)=|1－i|＋i，则z的实部为(　　)

A.          B.－1      C.1          D.

4.复数z1=2＋i，若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1z2=(　　)

A.－5          B.5         C.－3＋4i          D.3－4i

5.已知复数z1=2＋6i，z2=－2i.若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=(　　)

A.          B.5        C.2          D.2

6.已知i为虚数单位，则复数的共轭复数是(　　)

A.－1＋2i         B.1－2i      C.－2＋i         D.2－i

7.设复数z满足=i，则z的虚部为(　　)

A.－2         B.0         C.－1         D.1

8.已知复数z=，则z－|z|对应的点所在的象限为(　　)

A.第一象限      B.第二象限       C.第三象限      D.第四象限

9.已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=(2a＋1)＋i的模等于(　　)

A.         B.       C.         D.

10.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“(a＋bi)2=2i”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

11.下面是关于复数z=的四个命题，其中的真命题为(　　)

p1：|z|=2；p2：z2=2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.

A.p2，p3         B.p1，p2          C.p2，p4         D.p3，p4

12.复数z1，z2满足z1=m＋(4－m2)i，z2=2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围是(　　)

A.[－1,1]       B.    C.         D.

二、填空题

13.已知复数z=x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|=，则的最大值为________.

14.若=1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|=________.

15.已知复数z1=－1＋2i，z2=1－i，z3=3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C.

若=λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________.

16.给出下列命题：

①若z∈C，则z2≥0；

②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；

③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

④若z=－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限.

其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)

0.答案解析

1.答案为：C；

解析：由题意得z====－1＋i.

2.答案为：D；

解析：法一：==，因为此复数为纯虚数，

所以解得m=－1或0，故选D.

法二：设=bi(b∈R且b≠0)，则bi(1＋mi)=m2＋i，即－mb＋bi=m2＋i，

所以解得m=－1或0，故选D.

3.答案为：A；

解析：由z(1－i)=|1－i|＋i，得z===＋i，

故z的实部为，故选A.

4.答案为：A；

解析：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，

则z2=－2＋i，z1z2=(2＋i)(－2＋i)=i2－4=－5，故选A.

5.答案为：A；

解析：因为复数z1=2＋6i，z2=－2i，z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，－2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数z=1＋2i，则|z|==.故选A.

6.答案为：C；

解析：∵z===－2－i，∴复数z的共轭复数是=－2＋i.

7.答案为：C；

解析：设z=a＋bi，a，b∈R，

∵=i，∴1－z=i＋zi，∴1－a－bi=i＋ai－b，

∴∴a=0，b=－1，故选C.

8.答案为：B；

解析：∵复数z===＋i，

∴z－|z|=＋i，∴对应的点(，)在第二象限，故选B.

9.答案为：D；

解析：因为==－i，为纯虚数，

所以解得a=1.

所以|z|=|(2a＋1)＋i|=|3＋i|==.

10.答案为：A；

解析：当a=b=1时，(a＋bi)2=(1＋i)2=2i；

当(a＋bi)2=2i时，得解得a=b=1或a=b=－1，

所以“a=b=1”是“(a＋bi)2=2i”的充分不必要条件，故选A.

11.答案为：C；

解析：因为z===－1－i，

所以|z|=，z2=(－1－i)2=1＋2i－1=2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，

所以p1，p3是假命题，p2，p4是真命题.

12.答案为：C

解析：由复数相等的充要条件可得

化简得4－4cos2 θ=λ＋3sin θ，

由此可得λ=－4cos2 θ－3sin θ＋4=－4(1－sin2 θ)－3sin θ＋4

=4sin2 θ－3sin θ=42－，因为sin θ∈[－1,1]，

所以4sin2 θ－3sin θ∈.

13.答案为：.

解析：∵|z－2|==，∴(x－2)2＋y2=3.

由图可知max==.

14.答案为：.

解析：∵a，b∈R，且=1－bi，则a=(1－bi)(1－i)=(1－b)－(1＋b)i，

∴∴∴|a＋bi|=|2－i|=.

15.答案为：1

解析：由已知条件得=(3，－4)，=(－1,2)，=(1，－1)，

根据=λ＋μ，

得(3，－4)=λ(－1,2)＋μ(1，－1)=(－λ＋μ，2λ－μ)，

∴解得∴λ＋μ=1.

16.答案为：④.

解析：由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a=－1，则(a＋1)i=0，

③错误；z3＋1=(－i)3＋1=i＋1，④正确.