2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算-专项训练【含解析】，共11页。试卷主要包含了 下列说法， 化简以下各式等内容，欢迎下载使用。

1. （改编）下列说法：
①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若a=b，则a=±b；
③若四边形ABCD满足AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形；
④若m=n，n=k，则m=k；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段；
⑥任何一个非零向量都可以平行移动.
其中不正确的个数是（ ）.
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. （改编）下列说法正确的是（ ）.
A. 零向量没有方向
B. 平行向量不一定是共线向量
C. 对于任意向量a,b，必有a+b≤a+b
D. 若a,b满足a>b且a与b反向，则a>b
3. 化简以下各式：①AB+BC+CA；②AB+AC−BD+CD；③OA−OD+AD；④NQ+QP+MN−MP.其中结果为零向量的个数是（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 设a，b是单位向量，则下列四个结论正确的是（ ）.
A. a=bB. a//bC. a⋅b=1D. a2=b2
5. 在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB=a，CA=b，a=2，b=1，则CD=（ ）.
A. 23a+13bB. 13a+23bC. 35a+45bD. 45a+35b
. 6. （改编）如图，在平面四边形ABCD中，−2AF=CA，2DE=DB，那么（ ）.
A. EF=12AB+12DCB. EF=12AB−12DC
C. EF=−12AB+12DCD. EF=−12AB−12DC
7. （改编）设a，b是两个不共线的向量，且向量a+λb与3λ+2a+b是平行向量，则实数λ 的值为（ ）.
A. 13B. −1C. −1或13D. 1或−13
8. 如图，已知平面向量OA,OB,OC满足OA=OB=OC,⟨OA,OB⟩=120∘ ,OB⊥OC，则（ ）.
A. 2OA+OB+3OC=0B. OA+2OB+3OC=0
C. 2OA+3OB+OC=0D. 3OA+2OB+OC=0
综合提升练
9. （多选题）设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）.
A. 若AM=12AB+12AC，则M是BC的中点
B. 若AM=2AB−AC，则点M在边BC的延长线上
C. 若AM=−BM−CM，则点M是△ABC的重心
D. 若BM=23BC，则AM=13AB+23AC
.
10. （多选题）下列说法正确的是（ ）.
A. 若a//b，b//c，则a//c
B. 两个非零向量a，b，若a−b=a+b，则a与b共线且反向
C. 若a//b，则存在唯一实数λ ,使得a=λb
D. 若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，S△AOB分别表示△AOC，△AOB的面积，则S△AOC:S△AOB=1:3
11. 关于非零向量a有如下说法：①2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a的方向相同；②−13a的长度是a的长度的13，且−13a与a的方向相反；③若λ=0，则λa=0；④若λ=1a，则λa是与a同向的单位向量.其中说法正确的是________.
12. （双空题）已知在△ABC中,M,N分别是边AB,AC上的点（不包括端点）,CM与BN交于点P,若AP=37AB+17AC,则AM=_______MB,AN=_______ NC.
应用情境练
13. 勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，书中的“勾股圆方图”被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E为BF的中点，则AE=_______ .（用a，b表示）
14. 某石碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形ABCDEFGH，如图所示，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且AC=xAB+yAHx,y∈R，则x+y=_______ .
创新拓展练
15. 已知M为△ABC所在平面内一动点，且M满足AM=13λAB+231−λAC，AC=3，A=π3，若点M的轨迹与直线AB，AC围成的封闭区域的面积为32，则BC=_______
16. 已知在△ABC中，P为△ABC所在平面内一点.
（1）若点P在边BC上，且BP=13PC，用AB，AC表示AP.
（2）若点P是△ABC的重心.
①求证：PA+PB+PC=0.
②若35sin A⋅PA+21sin B⋅PB+15sin C⋅PC=0，求cs∠BAC.
6.1-平面向量的概念及其线性运算-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. （改编）下列说法：
①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若a=b，则a=±b；
③若四边形ABCD满足AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形；
④若m=n，n=k，则m=k；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段；
⑥任何一个非零向量都可以平行移动.
其中不正确的个数是（ B ）.
A. 2B. 3C. 4D. 5
[解析]对于①，当两个向量相等时，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若a=b，方向不确定，则a,b不一定是相等向量或相反向量，②错误；
对于③，若AB=DC，则AB,DC不一定相等，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若m=n，n=k，则m=k，④正确；
对于⑤，因为向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，⑤错误；
对于⑥，任何一个非零向量都可以平行移动，⑥正确.
综上，不正确的是②③⑤，共3个，故选B.
2. （改编）下列说法正确的是（ C ）.
A. 零向量没有方向
B. 平行向量不一定是共线向量
C. 对于任意向量a,b，必有a+b≤a+b
D. 若a,b满足a>b且a与b反向，则a>b
[解析]对于A，零向量的方向是任意的，故A 错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故B 错误；
对于C，若a,b同向共线，则a+b=a+b，若a,b反向共线，则a+b≤a+b，若a,b不共线，则根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知a+b对于D，两个向量不能比较大小，故D 错误.故选C.
3. 化简以下各式：①AB+BC+CA；②AB+AC−BD+CD；③OA−OD+AD；④NQ+QP+MN−MP.其中结果为零向量的个数是（ C ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
[解析]对于①，AB+BC+CA=AC+CA=0，故①为零向量；
对于②，AB+AC−BD+CD=AB+AD+DB=AB+AB=2AB，故②不为零向量；
对于③，OA−OD+AD=OD−OD=0，故③为零向量；
对于④，NQ+QP+MN−MP=NP+PM+MN=NM+MN=0，故④为零向量.
故结果为零向量的个数是3.故选C.
4. 设a，b是单位向量，则下列四个结论正确的是（ D ）.
A. a=bB. a//bC. a⋅b=1D. a2=b2
[解析]由a,b是单位向量知，a=b=1，但单位向量的方向不确定，所以A，B和C 均错误，D正确.故选D.
5. 在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB=a，CA=b，a=2，b=1，则CD=（ B ）.
A. 23a+13bB. 13a+23bC. 35a+45bD. 45a+35b
[解析]因为CD 平分∠ACB，所以BDDA=BCAC=ab=2，所以BD=2DA=23BA=23CA−CB=23b−23a，所以CD=CB+BD=a+23b−23a=13a+23b.故选B.
6. （改编）如图，在平面四边形ABCD中，−2AF=CA，2DE=DB，那么（ C ）.
A. EF=12AB+12DCB. EF=12AB−12DC
C. EF=−12AB+12DCD. EF=−12AB−12DC
[解析]由题意可知，FE=FA+AB+BE=12CA+12BD+AB=12CD+DA+12BC+CD+AB=12DA+12BC+CD+AB，
又DA+AB+BC+CD=0，
所以FE=12−AB−CD+CD+AB=12AB+12CD=12AB−12DC，即EF=−12AB+12DC.故选C.
7. （改编）设a，b是两个不共线的向量，且向量a+λb与3λ+2a+b是平行向量，则实数λ 的值为（ C ）.
A. 13B. −1C. −1或13D. 1或−13
[解析]因为向量a+λb 与3λ+2a+b 是平行向量，所以存在唯一的实数k，使3λ+2a+b=ka+λb=ka+kλb，因为a，b是两个不共线的向量，所以3λ+2=k，
1=kλ ，则3λ+2λ=1，即3λ2+2λ−1=0，解得λ=−1 或λ=13.故选C.
8. 如图，已知平面向量OA,OB,OC满足OA=OB=OC,⟨OA,OB⟩=120∘ ,OB⊥OC，则（ A ）.
A. 2OA+OB+3OC=0B. OA+2OB+3OC=0
C. 2OA+3OB+OC=0D. 3OA+2OB+OC=0
[解析]设OF=−OC，过点F 分别作OA,OB的平行线，分别交OB,OA于点E，D,如图，
不妨设OA=OB=OC=3，因为⟨OA,OB⟩=120∘ ,OB⊥OC，
所以∠EOF=∠OFD=90∘ ,∠DOF=30∘ ，则OD=2,OE=FD=1，
从而−OC=OF=OD+OE=23OA+13OB，故2OA+OB+3OC=0.故选A.
综合提升练
9. （多选题）设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ACD ）.
A. 若AM=12AB+12AC，则M是BC的中点
B. 若AM=2AB−AC，则点M在边BC的延长线上
C. 若AM=−BM−CM，则点M是△ABC的重心
D. 若BM=23BC，则AM=13AB+23AC
[解析]对于A,由AM=12AB+12AC，可得AM−AB=AC−AM，即BM=MC，则M 是边BC 的中点，故A 正确；
对于B,由AM=2AB−AC，可得AM−AB=AB−AC，即BM=CB，则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误；
对于C,设BC 的中点为D，则AM=−BM−CM=MB+MC=2MD，由三角形重心的性质可知，点M 是△ABC 的重心，故C 正确；
对于D,因为BM=23BC，则AM−AB=23AC−AB，整理得AM=13AB+23AC，故D 正确.故选ACD.
10. （多选题）下列说法正确的是（ BD ）.
A. 若a//b，b//c，则a//c
B. 两个非零向量a，b，若a−b=a+b，则a与b共线且反向
C. 若a//b，则存在唯一实数λ ,使得a=λb
D. 若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，S△AOB分别表示△AOC，△AOB的面积，则S△AOC:S△AOB=1:3
[解析]对于A，若a//b，b//c，则当b=0 时，不一定有a//c，故A 错误；
对于B，两个非零向量a,b，若a−b=a+b，则a 与b 共线且反向，故B 正确；
对于C，若b=0，则不存在唯一的实数λ ，使得非零向量a=λb，故C 错误；
对于D，因为2OA+OB+3OC=0，整理得2OA+2OC=−OB+OC，如图所示,
分别取BC，AC的中点E,F，则4OF=−2OE，即2OF=−OE，所以O，E，F三点共线，故OE=2OF，OE=23EF，所以OE=13AB，OF=16AB，S△AOC=16S△ABC，S△AOB=12S△ABC，故S△AOC:S△AOB=1:3，故D 正确.故选BD.
11. 关于非零向量a有如下说法：①2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a的方向相同；②−13a的长度是a的长度的13，且−13a与a的方向相反；③若λ=0，则λa=0；④若λ=1a，则λa是与a同向的单位向量.其中说法正确的是①②④.
[解析]对于①，2a的长度是a 的长度的2倍，且2a 与a 的方向相同，故①正确；对于②，−13a的长度是a 的长度的13，且−13a 与a 的方向相反，故②正确；对于③，若λ=0,则λa=0，不是零，故③错误；对于④，若λ=1a，则λa=aa 是与a 同向的单位向量，故④正确.
12. （双空题）已知在△ABC中,M,N分别是边AB,AC上的点（不包括端点）,CM与BN交于点P,若AP=37AB+17AC,则AM=1MB,AN=13 NC.
[解析]设AM=mAB0应用情境练
13. 勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，书中的“勾股圆方图”被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E为BF的中点，则AE=45a+25b .（用a，b表示）
[解析]AE=AB+BE=AB+12BF=AB+12AD−12AE=AB+12AD−14AE，整理得AE=45AB+25AD=45a+25b.
14. 某石碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形ABCDEFGH，如图所示，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且AC=xAB+yAHx,y∈R，则x+y=2+2 .
[解析]由图可知，外角θ=45∘ ，作平行四边形AHCM，则∠BCM=180∘−2θ=90∘ ，设八边形的边长为1，则BM=2，AC=AM+AH=xAB+yAH，所以x=AMAB=1+21=1+2，y=1，所以x+y=2+2.
创新拓展练
15. 已知M为△ABC所在平面内一动点，且M满足AM=13λAB+231−λAC，AC=3，A=π3，若点M的轨迹与直线AB，AC围成的封闭区域的面积为32，则BC=3.
[解析]如图，设AD=13AB,AE=23AC，则AE=2.
因为M 满足AM=13λAB+231−λAC，所以AM=λAD+1−λAE，所以M,D,E三点共线，所以点M 的轨迹为直线DE.因为点M 的轨迹与直线AB，AC围成的封闭区域的面积为32，所以12AD⋅AEsin A=32，即12AD⋅2sinπ3=32，所以AD=1，即AB=3，所以AB=AC，所以△ABC 为等边三角形，所以BC=3.
16. 已知在△ABC中，P为△ABC所在平面内一点.
（1）若点P在边BC上，且BP=13PC，用AB，AC表示AP.
（2）若点P是△ABC的重心.
①求证：PA+PB+PC=0.
②若35sin A⋅PA+21sin B⋅PB+15sin C⋅PC=0，求cs∠BAC.
[解析]（1）如图1,过点P 作PD//CA 交AB 于点D，PE//BA交AC 于点E，则四边形ADPE 为平行四边形，
所以AP=AD+AE，由BP=13PC，得ADAB=CPCB=34，即AD=34AB，
同理，AEAC=BPBC=14，即AE=14AC，所以AP=34AB+14AC.
（2）①如图2,延长AP 交BC 于点F，因为点P 是△ABC 的重心，所以F 为BC 的中点，且AP=2PF，所以PA=−2PF，即PA+2PF=0，
又PB+PC=2PF，所以PA+PB+PC=0.
②当点P为△ABC 的重心时，由①知PA+PB+PC=0,
因为35sin A⋅PA+21sin B⋅PB+15sin C⋅PC=0，所以35sin A:21sin B:15sin C=1:1:1，所以sin A:sin B:sin C=3:5:7，由正弦定理知a:b:c=sin A:sin B:sin C=3:5:7，不妨设a=3t,b=5t,c=7tt>0，由余弦定理得cs∠BAC=b2+c2−a22bc=25t2+49t2−9t22⋅5t⋅7t=1314.