人教b版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系学案含解析

第2节　两条直线的位置关系

一、教材概念·结论·性质重现

1．两条直线相交、平行与重合的条件

(1)利用斜率关系判断

设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

①l1与l2相交⇔k1≠k2；

②l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2；

③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2；

④l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

(2)向量方法判断

设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.

因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．

①l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1.

②l1与l2平行或重合⇔A1B2＝A2B1.

③l1与l2重合⇔存在实数λ使得

④l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

(3)两直线相交

交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解．

(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.

(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋n＝0.

2．三种距离

(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝.

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.

应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：

(1)将方程化为最简的一般形式．

(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )

(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )

2．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)

A.   B. 

C.7   D.

D　解析：由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.

3．已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的值为

(　　)

A． B．－ 

C．2 D．－2

A　解析：由题意，＝，即m＝.

4．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)

A．1 B．2 

C． D．2

C　解析：圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)．由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.

5．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.

1　解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.

考点1　直线的平行与垂直——基础性

1．(2020·长沙明德中学3月月考)“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　解析：若l1∥l2，则即

解得m＝－3或2.

因此，“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件．

2．已知直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y－2＝0和l2：(a＋1)x＋2y＋1＝0互相垂直，则a的值为(　　)

A．－1 B．0 

C．1 D．2

A　解析：(方法一)当a＝－1时，方程分别化为x＋1＝0,2y＋1＝0，此时两条直线相互垂直，因此a＝－1满足题意．当a≠－1时，由两条直线相互垂直，可得×＝－1，解得a＝－1(舍去)．

综上a＝－1.

(方法二)由l1⊥l2得(a－1)(a＋1)＋2(a＋1)＝0，

整理得a2＋2a＋1＝0，解得a＝－1.

3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和3x－y＋4＝0的交点，并且平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程是________________．

3x＋4y＋＝0　解析：联立直线的方程得到两直线的交点坐标.

设平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为3x＋4y＋c＝0，

则3×＋4×＋c＝0，解得c＝，所以直线的方程为3x＋4y＋＝0.

4．过点的直线l满足原点到它的距离最大，则直线l的一般式方程为______________．

2x－4y－5＝0　解析：设点A，

过坐标系原点O作 OB⊥l于点B，连接OA，

则OB为原点O到直线l的距离．

在直角三角形AOB中，OA为斜边，

所以有OB<OA，所以当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大．

而kOA＝＝－2，所以kl＝，所以直线l的方程为y＋1＝×，

整理得2x－4y－5＝0.

解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”

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↓

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考点2　两条直线的交点与距离问题——应用性

(1)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)

A．   B． 

C．2 D．2

A　解析：联立

解得x＝1，y＝2.

把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0.

所以m＝－5－2n.

所以点(m，n)到原点的距离

d＝＝＝≥，

当n＝－2，m＝－1时取等号．所以点(m，n)到原点的距离的最小值为.

(2)(2020·上海青浦高级中学月考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)

A．1 B．2 

C．3 D．4

C　解析：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P为单位圆上一点．而直线x－my－2＝0过点A(2,0)，记坐标原点为O，

所以d的最大值为|OA|＋1＝2＋1＝3.故选C.

(3)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．

2或－6　解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，

即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.

又两平行线之间的距离为，

所以＝，

解得c＝2或－6.

1．求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

2．利用距离公式的注意点

(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.

(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．

1．已知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A到直线x＋y－3＝0的距离为________．

　解析：由题意，可知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0,1)，所以A(0,1)．所以点A到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.

2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为______________．

x＋3y－5＝0或x＝－1　解析：(方法一)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－.

所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

(方法二)当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

即x＋3y－5＝0.

当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．

所以直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

考点3　对称问题——应用性

考向1　中心对称问题

过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________________．

x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

中心对称问题的解法

(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(x′，y′)，则

(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决．

考向2　轴对称问题

(1)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)

A．x－2y＋3＝0 

B．x－2y－3＝0

C．x＋2y＋1＝0 

D．x＋2y－1＝0

A　解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)．

由

得

因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，

所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.

(2)已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．

(2,6)　解析：设点A′的坐标为(x，y)，

由题意可知

解得所以点A′的坐标为(2,6)．

轴对称问题的解法

(1)若点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，

则有

(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．

1．若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　)

A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0

C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0

B　解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.

令可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1)．设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，

则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)．

故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.故选B.

2．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，光线所经过的路程是(　　)

A．2 B．6 

C．3 D．2

A　解析：由题意知直线AB的方程为x＋y＝4.

设P关于直线AB的对称点Q(a，b)，

则解得即Q(4,2)．

又P关于y轴的对称点为T(－2,0)，

所以|QT|＝＝2.