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九年级上册3.1 圆的对称性完整版教学课件ppt
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3.1圆的对称性（同步练习）（解析版）一、单选题1．下列语句中正确的是（ ）A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所在直线是圆的对称轴【答案】D【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以此选项不符合题意；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．2．如图所示,点M是半径为5的内一点,且OM=3,在过点M的所有的弦中,弦长为整数的弦的条数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】如图，OM⊥AB，那么AB是过M的最短的弦，过M的最长的弦是圆的直径，首先根据垂径定理和勾股定理可以求出AB的长度，然后结合已知条件就可以求出弦长为整数的弦的条数．【详解】如图,OM⊥AB,那么AB是过M的最短的弦,过M的最长的弦是圆的直径,在Rt△AMO中,AM=AB，OA=5，OM=3，∴AM=4，∴AB=8，∴过M所有O的弦中，最短的弦长度为8，最长的弦长度为10，∴弦的长度可以分别为8、9、10，当弦长为8、10时，过M点的弦分别为弦AB和过M点的直径，分别有一条；而圆是轴对称图形，当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；∴弦长为整数的弦的条数为4，一条长度8，一条长度为10，两条长度为9.故选C.【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理及推论，解决本题的关键是先求出圆中最长弦和最短弦的长度.3．如图，的半径为10，弦，M是弦上的动点，则不可能为（ ） A．5 B．6 C．7 D．10【答案】A【分析】先过O作于D，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围．【详解】解：过O作于D，连接， ∵，，∴，∴，∴，即．∴四个选项中只有A选项符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂线段最短，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．下列说法中正确的是（ ）A．平分弦的直径平分弦所对的弧；B．圆内接正六边形，一条边所对的圆周角是30°；C．相等的圆周角所对的弧也相等；D．若两条平行直线被一个圆截得的线段长度相等，则圆心到这两条直线的距离相等．【答案】D【分析】根据垂径定理的推论可判断A项，根据圆周角定理及其推论可判断B、C两项，根据弦与弦心距的关系可判断D项，进而可得答案．【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、圆内接正六边形，一条边所对的圆周角是30°或150°，故本选项说法错误，不符合题意；C、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故本选项说法错误，不符合题意；D、若两条平行直线被一个圆截得的线段长度相等，则圆心到这两条直线的距离相等，故本选项说法正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及弧、弦与弦心距的关系等知识，属于基础题型，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．5．下列说法中正确的说法有（ ）个①对角线相等的四边形是矩形 ②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等 ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形 ，故错误； ②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；故选：A．【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．6．如图，中，是的直径，，，是上一动点，的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出C′D为直径，从而得解．【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，AB为直径，∴C′D为直径．则CD′=AB=8（cm）．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．7．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为（ ）A．3分米 B．4分米 C．5分米 D．10分米【答案】C【分析】如图,油面AB上升1分米得到油面CD,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得,,设OE=x,则OF=x-1,在中和中,根据勾股定理求得OA、OC的长度,然后由,列方程求x即可求半径OA,得出直径MN.【详解】:如图,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得,,设OE=x,则OF=x-1,在中, ,在中, ,,,解得x=4,半径分米=5分米,故选C.【点睛】本题考查了垂径定理的运用.关键是利用垂径定理得出两个直角三角形,根据勾股定理表示半径的平方,根据半径相等列方程求解.8．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（ ）A．5 B．2 C．2 D．+1【答案】B【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，则AD＝4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC＝CD＝DE，则AF＝DF＝2，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可．【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图， ∵⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，∴为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为∠ABC，∴，∴AC＝CD＝DE，∴AF＝DF＝2，在Rt△OCF中，CF＝＝4，在Rt△CDF中，CD＝＝ ，．故选：B．【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系是解题的关键．9．如图，已知等边的边长为10．点P是AB边上的一点且．直线是经过点P的一条直线，把沿直线折叠，点B的对应点是点．在直线的变化过程中，则面积的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的特征、圆与三角形综合问题，过点作，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，利用等边三角形的性质得，进而可得，可得，进而可得，再利用三角形的面积公式即可求解，找准当的延长线交圆于点时面积最大是解题的关键．【详解】解：过点作，如图：由题意得，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，当的延长线交圆于点时面积最大，在中，，，，是等边三角形，，，，，，的最大值为：，故选B．10．如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边经过圆心，某一时刻，斜边AB在上截得的线段，且，则的长为（ ）A．3cm B．207cm C．cm D．cm【答案】A【分析】利用垂径定理得ME=DM=1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO的关系式，解得结果．【详解】解：过O点作OM⊥AB，∴ME=DM=1cm，设MO=h，CO=DO=x，∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，∴∠MAO=45°，∴AO=h∵AO=7-x，∴h＝7−x，在Rt△DMO中，h2=x2-1，∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17（舍去）或x=3，故选A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，作出适当的辅助线，数形结合，建立等量关系是解答此题的关键．二、填空题11．如图，在中，已知，，则 ． 【答案】【分析】根据在同圆中，同弧所对的圆心角是相等的可得出结果．【详解】解：∵，∴，∴（同弧所对的圆心角相等），故答案为：．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同一个圆中同弧所对的圆心角相等是解题的关键．12．如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为 ． 【答案】4【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案．【详解】连接OA，∵AB⊥OP，∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，∴OP＝＝＝4，故答案为：4. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．13．已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数是 ．【答案】15°或75°【分析】分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E，根据垂径定理和勾股定理可得．【详解】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得,根据特殊角的三角函数值可得∠AOE＝60°，∠AOD＝45°，∴∠BAO＝45°，∠CAO＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAC＝45°+30°＝75°，或∠BAC′＝45°﹣30°＝15°．故答案为：15°或75°．【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况．14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，如果弧AC=弧AD，∠C比∠D大40°，则∠A为 度．【答案】25．【分析】根据垂径定理求出，根据已知求出、的度数，即可求出答案．【详解】∵AB是⊙O的直径，CD是弦， ，∴，∵∠C比∠D大40°，∴的度数比的度数大80°，∵的度数是180°，∴的度数是130°，的度数是50°，∴的度数是50°，∴∠A＝×50°＝25°，故答案为25．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．15．如图，某桥拱可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，则桥拱离路面最大距离为 m．【答案】50【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得再由勾股定理求出然后求出的长即可．【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：则∴，∴，即桥拱离路面最大距离为，故答案为：50．三、解答题16．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．【答案】．【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，∴，即，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．17．如图，我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备直径多大的管道？ 【答案】修理工人应准备直径为的管道．【分析】连接，作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．【详解】解：如图，过O作于C，连接，设圆的半径为x， ∴，，在中，，∴，解得．∴直径为．答：修理工人应准备直径为的管道．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．如图所示，在中，直径弦，点H为垂足，，求的面积．【答案】【分析】连接，设的半径为r，则，根据垂径定理得出，再利用勾股定理得出，求解即可得出答案．【详解】解：连接，设的半径为r，则，∵为的直径，且，∴，在中，有，即，解之，得，所以，的面积为．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，正确作出辅助线是解题的关键．19．如图，已知在中，，，经过的顶点A、C，交边于点D，，点C是的中点．(1)求的半径长；(2)联结，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）联结，易得，为等腰三角形，利用三线合一，以及垂径定理，进行求解即可；（2）过点作，勾股定理求出的长，进而得到的长，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．【详解】（1）解：联结，则：，∵点C是的中点，∴，，∴，∴，∴，设圆的半径为，则：，∴，在中，，即：，解得：，∴的半径长为．（2）解：由（1）知：，∴，∴，过点作于点，则，即：，∴，由（1）知：，∴．【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握等弧对等弦对等角，是解题的关键．20．如图， 弦垂直于的直径， 垂足为， 且， 求的长．【答案】【分析】连接，由垂进定理求得，勾股定理求得，设的半径为，求得，则，在中，，求得，进而求得直径的长．【详解】解：如图，连接，∵弦垂直于的直径，垂足为，，∴，，在中，设的半径为，∴，∴，在中，，，解得．∴．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确垂径定理是解题的关键．
3.1圆的对称性（同步练习）（解析版）一、单选题1．下列语句中正确的是（ ）A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所在直线是圆的对称轴【答案】D【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以此选项不符合题意；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．2．如图所示,点M是半径为5的内一点,且OM=3,在过点M的所有的弦中,弦长为整数的弦的条数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】如图，OM⊥AB，那么AB是过M的最短的弦，过M的最长的弦是圆的直径，首先根据垂径定理和勾股定理可以求出AB的长度，然后结合已知条件就可以求出弦长为整数的弦的条数．【详解】如图,OM⊥AB,那么AB是过M的最短的弦,过M的最长的弦是圆的直径,在Rt△AMO中,AM=AB，OA=5，OM=3，∴AM=4，∴AB=8，∴过M所有O的弦中，最短的弦长度为8，最长的弦长度为10，∴弦的长度可以分别为8、9、10，当弦长为8、10时，过M点的弦分别为弦AB和过M点的直径，分别有一条；而圆是轴对称图形，当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；∴弦长为整数的弦的条数为4，一条长度8，一条长度为10，两条长度为9.故选C.【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理及推论，解决本题的关键是先求出圆中最长弦和最短弦的长度.3．如图，的半径为10，弦，M是弦上的动点，则不可能为（ ） A．5 B．6 C．7 D．10【答案】A【分析】先过O作于D，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围．【详解】解：过O作于D，连接， ∵，，∴，∴，∴，即．∴四个选项中只有A选项符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂线段最短，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．下列说法中正确的是（ ）A．平分弦的直径平分弦所对的弧；B．圆内接正六边形，一条边所对的圆周角是30°；C．相等的圆周角所对的弧也相等；D．若两条平行直线被一个圆截得的线段长度相等，则圆心到这两条直线的距离相等．【答案】D【分析】根据垂径定理的推论可判断A项，根据圆周角定理及其推论可判断B、C两项，根据弦与弦心距的关系可判断D项，进而可得答案．【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、圆内接正六边形，一条边所对的圆周角是30°或150°，故本选项说法错误，不符合题意；C、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故本选项说法错误，不符合题意；D、若两条平行直线被一个圆截得的线段长度相等，则圆心到这两条直线的距离相等，故本选项说法正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及弧、弦与弦心距的关系等知识，属于基础题型，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．5．下列说法中正确的说法有（ ）个①对角线相等的四边形是矩形 ②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等 ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形 ，故错误； ②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；故选：A．【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．6．如图，中，是的直径，，，是上一动点，的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出C′D为直径，从而得解．【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，AB为直径，∴C′D为直径．则CD′=AB=8（cm）．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．7．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为（ ）A．3分米 B．4分米 C．5分米 D．10分米【答案】C【分析】如图,油面AB上升1分米得到油面CD,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得,,设OE=x,则OF=x-1,在中和中,根据勾股定理求得OA、OC的长度,然后由,列方程求x即可求半径OA,得出直径MN.【详解】:如图,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得,,设OE=x,则OF=x-1,在中, ,在中, ,,,解得x=4,半径分米=5分米,故选C.【点睛】本题考查了垂径定理的运用.关键是利用垂径定理得出两个直角三角形,根据勾股定理表示半径的平方,根据半径相等列方程求解.8．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（ ）A．5 B．2 C．2 D．+1【答案】B【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，则AD＝4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC＝CD＝DE，则AF＝DF＝2，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可．【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图， ∵⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，∴为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为∠ABC，∴，∴AC＝CD＝DE，∴AF＝DF＝2，在Rt△OCF中，CF＝＝4，在Rt△CDF中，CD＝＝ ，．故选：B．【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系是解题的关键．9．如图，已知等边的边长为10．点P是AB边上的一点且．直线是经过点P的一条直线，把沿直线折叠，点B的对应点是点．在直线的变化过程中，则面积的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的特征、圆与三角形综合问题，过点作，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，利用等边三角形的性质得，进而可得，可得，进而可得，再利用三角形的面积公式即可求解，找准当的延长线交圆于点时面积最大是解题的关键．【详解】解：过点作，如图：由题意得，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，当的延长线交圆于点时面积最大，在中，，，，是等边三角形，，，，，，的最大值为：，故选B．10．如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边经过圆心，某一时刻，斜边AB在上截得的线段，且，则的长为（ ）A．3cm B．207cm C．cm D．cm【答案】A【分析】利用垂径定理得ME=DM=1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO的关系式，解得结果．【详解】解：过O点作OM⊥AB，∴ME=DM=1cm，设MO=h，CO=DO=x，∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，∴∠MAO=45°，∴AO=h∵AO=7-x，∴h＝7−x，在Rt△DMO中，h2=x2-1，∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17（舍去）或x=3，故选A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，作出适当的辅助线，数形结合，建立等量关系是解答此题的关键．二、填空题11．如图，在中，已知，，则 ． 【答案】【分析】根据在同圆中，同弧所对的圆心角是相等的可得出结果．【详解】解：∵，∴，∴（同弧所对的圆心角相等），故答案为：．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同一个圆中同弧所对的圆心角相等是解题的关键．12．如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为 ． 【答案】4【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案．【详解】连接OA，∵AB⊥OP，∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，∴OP＝＝＝4，故答案为：4. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．13．已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数是 ．【答案】15°或75°【分析】分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E，根据垂径定理和勾股定理可得．【详解】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得,根据特殊角的三角函数值可得∠AOE＝60°，∠AOD＝45°，∴∠BAO＝45°，∠CAO＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAC＝45°+30°＝75°，或∠BAC′＝45°﹣30°＝15°．故答案为：15°或75°．【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况．14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，如果弧AC=弧AD，∠C比∠D大40°，则∠A为 度．【答案】25．【分析】根据垂径定理求出，根据已知求出、的度数，即可求出答案．【详解】∵AB是⊙O的直径，CD是弦， ，∴，∵∠C比∠D大40°，∴的度数比的度数大80°，∵的度数是180°，∴的度数是130°，的度数是50°，∴的度数是50°，∴∠A＝×50°＝25°，故答案为25．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．15．如图，某桥拱可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，则桥拱离路面最大距离为 m．【答案】50【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得再由勾股定理求出然后求出的长即可．【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：则∴，∴，即桥拱离路面最大距离为，故答案为：50．三、解答题16．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．【答案】．【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，∴，即，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．17．如图，我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备直径多大的管道？ 【答案】修理工人应准备直径为的管道．【分析】连接，作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．【详解】解：如图，过O作于C，连接，设圆的半径为x， ∴，，在中，，∴，解得．∴直径为．答：修理工人应准备直径为的管道．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．如图所示，在中，直径弦，点H为垂足，，求的面积．【答案】【分析】连接，设的半径为r，则，根据垂径定理得出，再利用勾股定理得出，求解即可得出答案．【详解】解：连接，设的半径为r，则，∵为的直径，且，∴，在中，有，即，解之，得，所以，的面积为．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，正确作出辅助线是解题的关键．19．如图，已知在中，，，经过的顶点A、C，交边于点D，，点C是的中点．(1)求的半径长；(2)联结，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）联结，易得，为等腰三角形，利用三线合一，以及垂径定理，进行求解即可；（2）过点作，勾股定理求出的长，进而得到的长，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．【详解】（1）解：联结，则：，∵点C是的中点，∴，，∴，∴，∴，设圆的半径为，则：，∴，在中，，即：，解得：，∴的半径长为．（2）解：由（1）知：，∴，∴，过点作于点，则，即：，∴，由（1）知：，∴．【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握等弧对等弦对等角，是解题的关键．20．如图， 弦垂直于的直径， 垂足为， 且， 求的长．【答案】【分析】连接，由垂进定理求得，勾股定理求得，设的半径为，求得，则，在中，，求得，进而求得直径的长．【详解】解：如图，连接，∵弦垂直于的直径，垂足为，，∴，，在中，设的半径为，∴，∴，在中，，，解得．∴．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确垂径定理是解题的关键．
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