福建省莆田第十中学2024-2025学年高三毕业班高考模拟考试数学试题

这是一份福建省莆田第十中学2024-2025学年高三毕业班高考模拟考试数学试题，共4页。试卷主要包含了55，则PX⩽1=等内容，欢迎下载使用。

（在此卷上答题无效）
2024-2025学年高三毕业班高考模拟考试
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 .若随机变量X服从正态分布N3,σ2,PX⩽5=0.55，则PX⩽1=（ ）
C.0.1 D.0.9
2 .已知A=xmx+1mx−1≤0，若2∈A，则 m 的取值范围是（ ）
A. −12≤m<12 B. −12≤m≤12
C.m≤−12或 m>12 D.m≤−12或 m≥12
3 .若抛物线y2=2mx的准线经过双曲线x2−y2=2的右焦点，则m的值为（ ）
A.4 B. −2 C.2 D. −4
4 .已知四棱锥P−ABCD的各顶点在同一球面上，若AD=2AB=2BC=2CD=4，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，则该球的表面积为（ ）
A. 133π B. 16π C. 523π D. 20π
5 .已知正项等比数列{an}中，a1=1，Sn为an的前 n 项和，S5=5S3−4，则S4=（ ）
A.7 B.9 C.15 D.20
6 .已知函数fx=aln⁡x+bb，其中 a ， b 均为正数．若f(8b)−f(3b)=2，则e−1a=（ ）
A. 2e B. e2 C. 23 D. 49
7 .有一组样本数据：x1,x2，⋯，x8，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：x1,x2，⋯，x8，2，那么这两组样本数据一定有相同的（ ）
A.众数 B.中位数 C.方差 D.极差
8 .若曲线 y=ax+1ex有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数 a 的值为（ ）
A. 14 B. 24 C. 13 D. 33
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 .若a=lg3⁡0.3，b=30.3，c=0.33，则（ ）
A. b 10 .古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 A 、 B 的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知O(0,0)，A2,0，点 P 满足PAPO=2，设点 P 的轨迹为圆 C ，下列结论正确的是（ ）
A.圆 C 的方程是 (x+2)2+y2=9
B.过点 A 且斜率为12的直线被圆 C 截得的弦长为 4305
C.圆 C 与圆(x−1)2+(y−4)2=8有四条公切线
D.过点 A 作直线 l ，若圆 C 上恰有三个点到直线 l 距离为2，该直线斜率为 ±77
11 .已知函数f(x)的定义域为R，fx+y=fxey+fyex，且f1=1，则（ ）
A. f(0)=0 B. f−1=e2
C.exfx为奇函数 D.f(x)在0，+∞上具有单调性
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 .已知复数z=2cs⁡θ+i\sinθ1+iθ∈R的实部为0，则tan⁡2θ= ．
13 .已知空间中有三点O0,0,0，A1,−1,1，B1,1,0，则点 O 到直线AB的距离为 .
14 .已知2x2+y2−2xy−2x−1=0．若y>x>1，求y的最大值为 ；若x>1且x>y，求2x−y的最大值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 .（13分）
某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．
(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；
(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4×100米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选4×100米接力的人数记作 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
16 .（15分）
在如图所示的几何体中，PA⊥平面ABCD，PA//QD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=60∘，∠BAC=90∘，AB=PA=1，PQ=22．
(1)求证：直线PB//平面DCQ；
(2)求直线PB与平面PCQ所成角的正弦值；
(3)求平面PCQ与平面DCQ夹角的正弦值．
17 .（15分）
三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.
(1)证明：sin⁡3x=3sin⁡x−4sin3⁡x；
(2)若sin⁡10∘∈1n+1，1n，n∈N∗，求n的值.
18 .（17分）
已知 P 为平面上的动点，记其轨迹为 Γ .(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应的Γ的方程.
①已知点T−1,0，直线l:x=−4，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为12；
②设E是圆O:x2+y2=4上的动点，过E作直线EG垂直于x轴，垂足为G，且GP→=32GE→.
(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左､右两个顶点分别为A,B，若过点K1,0的直线m的斜率存在且不为0，设直线m交曲线Γ于点M,N，直线n过点T−1,0且与x轴垂直，直线AM交直线n于点P，直线BN交直线n于点Q，则线段的比值TPTQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19.（17分）
对于数列{an}，数列an+1−an称为数列{an}的差数列或一阶差数列.{an}差数列的差数列，称为{an}的二阶差数列.一般地，{an}的k阶差数列的差数列，称为{an}的k+1阶差数列.如果{an}的k阶差数列为常数列，而k−1阶差数列不是常数列，那么{an}就称为k阶等差数列.
(1)已知20，24，26，25，20是一个k阶等差数列{an}的前5项.求k的值及a6；
(2)证明：二阶等差数列bn的通项公式为bn=b1+n−1b2−b1+12n−1n−2b3−2b2+b1；
(3)证明：若数列cn是k阶等差数列，则cn的通项公式是n的k次多项式，即cn=i=0kλini（其中λi（i=0，1，⋯，k）为常实数）